专题01 有理数100道计算题训练14大题型（专项训练）数学新教材苏科版七年级上册

**基本信息** 14大题型系统覆盖有理数运算，从基础到拓展，以题载能，培养运算能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|题型1-5（约40题）|单一运算（加减乘除乘方）|从概念到基本运算，构建运算基础| |综合应用|题型6-9（约30题）|含绝对值、混合运算、简便计算|运算规则综合应用，提升运算技巧| |拓展创新|题型10-14（约30题）|规律计算、二进制、程序流程图等|从具体到抽象，培养推理与应用意识|

专题01 有理数100道计算题训练14大题型 常考题型·精准突破 考点一 有理数的计算题训练 题型一 有理数的加法运算 题型二 有理数的减法运算 题型三 有理数的乘法运算 题型四 有理数的除法运算 题型五 有理数的乘方运算（高频） 题型六 含乘方的有理数混合运算（重） 题型七 含绝对值的有理数计算（重） 题型八 含绝对值、相反数和倒数的文字计算题（高频） 题型九 有理数的简便计算 题型十 有理数的规律计算题（难） 题型十一 二进制计算（难） 题型十二 程序流程图与有理数计算 题型十三 算24点 题型十四 有理数的新定义运算（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 有理数的计算题训练 ◆题型1 有理数的加法运算 1．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 2．（24-25六年级上·山东烟台·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： ． 3．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握有理数的加法法则和交换律\结合律是解题的关键． （1）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可； （2）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可． 【详解】（1）解∶原式 ； （2）解∶原式 ． 4．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数加法运算，涉及加法运算律，熟练掌握有理数加法运算法则是解决问题的关键． （1）先由加法交换律和结合律恒等变形，再由有理数加法运算法则求解即可得到答案； （2）先将小数化为分数，再由加法交换律和结合律恒等变形，最后由有理数加法运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数加法的运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键．利用有理数的加法交换律和结合律计算即可． 【详解】解：原式 ． 6．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1)0 (2) (3)6 (4) (5)8 (6) (7) (8) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据两个相反数的和为0直接得出结果； （2）根据同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加计算即可． （3）根据异号两数相加，绝对值相等时，和为零；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值计算； （4）根据加减法混合计算法则计算即可； （5）可以利用加法的交换律和结合律凑整简化计算； （6）可以利用加法的交换律和结合律凑整简化计算； （7）可以利用加法的交换律和结合律凑整简化计算； （8）利用可以利用加法的结合律进行分组，可得每组和相等即可计算． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） ◆题型2 有理数的减法运算 7．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 8．（25-26七年级上·重庆九龙坡·周测）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)13 (2) (3) (4)18.18 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 9．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了有理数的减法运算和有理数的加减混合运算，解决本题的关键是根据有理数的减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，再根据有理数的加法法则进行计算． （1）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （2）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （3）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （4）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （5）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （6）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：； （5）解： ； （6）解： ． 10．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）先将减法转化为加法，再利用有理数的加法法则计算即可； （2）先将小数化为带分数，再所有的带分数进行拆分，紧接着将减法转化为加法，再利用加法交换律和结合律，将同分母分数结合进行简便计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 11．（24-25七年级上·重庆万州·阶段检测）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)1.5 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键. （1）先化简绝对值，再计算减法即可； （2）先去括号，再计算加减即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： . 12．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）计算题： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)5 (4)0 【分析】本题考查了有理数的加法，减法，加减混合运算． （1）按照有理数加法法则进行计算即可； （2）先通分，再按照有理数加法法则进行计算； （3）先用加法交换律和结合律，将算术整理，再进行计算即可； （4）先将绝对值化简，将利用加法交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． ◆题型3 有理数的乘法运算 13．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的乘法法则． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）根据有理数的乘法法则计算即可； （4）根据有理数的乘法法则计算即可； （5）根据有理数的乘法法则计算即可； （6）根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 14．（25-26七年级上·江苏·阶段检测）耐心算一算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法运算律，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． （）根据乘法运算律进行简便运算即可； （）根据乘法运算律逆用进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．（25-26七年级上·湖南永州·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则以及运算律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： 16．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据乘法交换律简化计算即可； （2）根据乘法交换律和结合律简化计算即可； （3）根据乘法分配律进行计算即可； （4）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．（2024七年级上·江苏徐州·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． （1）根据有理数的乘法运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 18．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】本题考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解决问题的关键． （1）根据有理数乘法运算法则直接求解即可得到答案． （2）根据因数有0，则相乘的结果为0，即可作答． （3）奇数个负数相乘的结果是负数，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． ◆题型4 有理数的除法运算 19．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式 ． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 所以，原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_____错误． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题主要考查了分数的除法，解题的关键是掌握倒数法． （1）根据分数的除法法则进行判断即可； （2）利用倒数法进行求解即可． 【详解】（1）解：解法一错误， 故答案为：一； （2）解：原式的倒数为 所以，原式． 20．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）计算： 【答案】2 【分析】本题考查有理数的运算，掌握算理是解决问题的关键．将除法转化为乘法，再用乘法分配律计算，最后计算加减法即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 21．（25-26七年级上·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的除法运算： （1）变除法为乘法，再约分化简即可； （2）变小数为分数，再变除法为分数乘法，最后约分化简； （3）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可； （4）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：. 22．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2)2 (3)3 (4) 【分析】本题考查有理数的除法运算．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；符号法则：同号得正，异号得负．对于连续除法，从左到右依次计算或统一转换为乘法后计算． （1）根据除法计算即可； （2）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （3）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （4）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 23．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的除法，有理数的除法法则是除以一个数等于乘以这个数的倒数，解决本题的关键是根据有理数的除法法则把除法转化为乘法，再根据有理数的乘法法则进行计算． (1)根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可得：原式，再根据有理数的乘法法则计算； (2)根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可得：原式，再根据有理数的乘法法则计算； (3)先将小数化为分数，再根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可得：原式，再根据有理数的乘法法则计算； (4)根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可得：原式，再根据有理数的乘法法则计算； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 24．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的除法运算，掌握算理是解决问题的关键． （1）先转化为乘法运算，然后利用有理数乘法运算法则即可解答； （2）先转化为乘法运算，再利用乘法分配律运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ◆题型5 有理数的乘方运算 25．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 26．（26-27七年级·江苏徐州·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】（1）；（2）；（3）； （4）0.001；（5）；（6）1 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：. 27．（26-27七年级·江苏徐州·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解：； （4）解：． 28．（26-27七年级·江苏徐州·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 29．（25-26六年级下·江苏徐州·单元复习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练运用乘方的运算法则是解本题的关键． （1）根据有理数乘方运算法则计算即可； （2）根据有理数乘方运算法则计算即可； （3）根据有理数乘方运算法则计算即可； （4）根据有理数乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 30．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方的运算法则是关键． （1）按照有理数的乘方运算法则计算即可． （2）按照有理数的乘方运算法则计算即可． （3）按照有理数的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解： （3）解： ◆题型6 含乘方的有理数混合运算 31．（25-26七年级下·四川绵阳·开学考试）计算： 【答案】 【分析】按照先算乘方、再算乘除、最后算加减的顺序计算，结合绝对值的性质计算即可． 【详解】解：原式 ． 32．（26-27六年级·上海·小升初衔接）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用乘法运算律计算即可得出结果； （2）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 33．（24-25六年级上·上海·阶段检测）计算：； 【答案】 【详解】解： ． 34．（26-27七年级·江苏徐州·小升初衔接）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)6 (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 35．（26-27七年级·江苏徐州·小升初衔接）计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 36．（26-27七年级·江苏徐州·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)22 (2) (3)9 (4) (5) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． ◆题型7 含绝对值的有理数计算 37．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2)0 【分析】本题考查了绝对值的定义，解题的关键是按照运算顺序依次计算． （1）先根据绝对值的性质计算各数的绝对值，再算减法运算即可； （2）先根据绝对值的性质计算各数的绝对值，再利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式=； （2）解：原式=． 38．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了绝对值的性质以及有理数的四则运算，掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）根据绝对值的性质“负数的绝对值是它的相反数”，然后根据绝对值的结果进行加法运算即可求解； （2）根据绝对值的性质“负数的绝对值是它的相反数”，然后根据绝对值的结果进行减法运算即可求解； （3）根据绝对值的性质“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”，将带分数化为假分数，然后根据绝对值的结果进行乘法运算即可求解； （4）根据绝对值的性质“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”，然后根据绝对值的结果进行除法运算即可求解； 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 39．（第05讲绝对值与相反数（6种题型）-【暑假自学课】2023年新七年级数学暑假精品课（苏科版））计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)7 (3) 【分析】（1）运用绝对值的意义进行求解即可； （2）运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果； （3）运用绝对值的意义进行求解即可． 【详解】（1）解：， （2） （3） 【点睛】题目主要考查绝对值的化简及有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 40．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 41．（24-25六年级上·山东烟台·期中）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 42．（24-25六年级上·山东烟台·期中）计算下列各式 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 ◆题型8 含绝对值、相反数和倒数的文字计算题 43．（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）若a与3互为相反数，b与互为倒数，c的相反数等于它本身，d的绝对值是4，请求出的值． 【答案】或 【分析】本题考查相反数，倒数，绝对值及有理数的运算，根据相反数，倒数，绝对值的定义求得的值，然后将其代入中计算即可． 【详解】解：∵a与3互为相反数，b与互为倒数，c的相反数等于它本身，d的绝对值是4， ∴，，，， 当时， ； 当时， ； 综上，原式的值为或． 44．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的相反数是1，求代数式的值． 【答案】0 【分析】本题考查了相反数，倒数，代数式求值．熟练掌握相反数，倒数，代数式求值是解题的关键． 由题意得，，，，然后代值求解即可． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， ∴值是0． 45．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）列式计算求值： (1)求的相反数与的倒数的差； (2)已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为3，求的值． 【答案】(1)0 (2)9 【分析】（1）根据题意列式求解即可； （2）由相反数，倒数，绝对值的含义求解，，的值，再整体代入即可得到答案． 【详解】（1）根据题意得， ； （2）解： 、互为相反数， ， 、互为倒数， ， 的绝对值是3， ，， ∴ ． 【点睛】本题考查的是相反数，倒数，绝对值的含义，代数式的求值，掌握以上知识及整体代入求代数式的值是解题的关键． 46．（24-25七年级上·广东湛江·期中）若，的绝对值相等，且，异号，，互为倒数，，是绝对值最小的有理数，求的值． 【答案】0 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，绝对值，倒数；根据题意得到，，，，分别代入到原式计算即可． 【详解】解：依题意，得，，，， 所以， 所以当时，原式； 当时，原式． 综上所述，原式． 47．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）已知a、b互为相反数，是绝对值最小的数，的绝对值为2． (1)_______，_______，_______． (2)求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了相反数的定义、绝对值的性质，代入求值，准确读懂题意并准确计算是解题的关键． （1）根据相反数的定义、绝对值的性质，求出； （2）把、、的值代入计算即可解题． 【详解】（1）解：∵a、b互为相反数，是绝对值最小的数，的绝对值为2， ∴， 故答案为：． （2）解：当时，； 当时，； 综上所述，式子的值为或． 48．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）已知是最小的正整数，是绝对值最小的有理数，的倒数是的绝对值是5．求的值．（说明表示与的乘积） 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，绝对值，以及倒数，解本题的关键是求出，及，的值． 根据题意求出，及，的值，代入计算即可求出值． 【详解】解：根据题意得：，，，， 则 ． ◆题型9 有理数的简便计算 49．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）计算下列各题（能简便运算的请简便计算）． (1) (2) 【答案】(1)1 (2)4 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）利用乘法分配律计算即可； （2）先算乘方、绝对值、除法，再算乘法，后算加法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 50．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）能简便计算的要进行简便计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算及带分数乘法的简便计算，解题的关键是（1）掌握“有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数”，将减法转化为加法后简便计算；（2）将带分数拆分为整数与真分数的差，利用“乘法分配律”简化运算． （1）先根据有理数减法法则，将式子中的减法转化为加法，即；再分别合并正数项和负数项，最后计算两者的和； （2）先将带分数拆分为；再利用乘法分配律，将其与分别相乘，再将所得的两个积相加． 【详解】（1）解： （2）解： 51．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）计算： (1)； (2)简便计算：； (3)简便计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是有理数的混合运算. （1）先把减法化为加法运算，再计算即可. （2）根据有理数加减运算法则结合运算律求解即可； （3）根据有理数乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解： . （2）解： . （3）解： . 52．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）简便计算：必须用简便方法进行计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据有理数的加减运算进行计算即可求解； （2）先将除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】（1）解：              ； （2）解： ． 53．（25-26六年级上·江苏徐州·期末）脱式计算，能简便的用简便方法计算． (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)80 (2)112 (3)45 (4)750 (5)75 (6)0.4 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则运算顺序． （1）先计算乘除，再计算加法； （2）将除法化为乘法，并利用结合律求解； （3）利用交换律和结合律进行简便计算； （4）先将原式变形，再利用结合律进行乘法计算； （5）先将百分数和分数化为小数，再逆用乘法分配律计算； （6）先计算小括号内加法，再计算中括号内除法，最后计算减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： ； （5）解： （6）解： 54．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）用简便方法计算（过程要有体现简便的步骤）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，加法和乘法运算律，掌握相关运算法则和运算律简便计算是解题关键． （1）将小数化为分数，再利用加法交换律和结合律简便计算即可； （2）先把除法换成乘法，再利用乘法分配律展开计算，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ◆题型10 有理数的规律计算题 55．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算：   (1)利用上述规律计算： (2)计算： 【答案】(1)5151 (2) 【分析】本题考查了规律探索，有理数的混合运算，观察所给算式，得出运算的规律是解决问题的关键． （1）根据所给算式得出，然后代入计算即可； （2）利用规律对原式进行变形，然后计算即可． 【详解】（1）解：由题意得出规律：， ∴， 故答案为：5151； （2）解： ． 56．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）阅读探究： ①； ②； ③； ④；…… (1)根据上述规律，则⑤______； (2)根据以上式子的规律，请写出第个式子； (3)利用你发现的规律，计算下面算式的值：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、数字的变化规律，解决本题的关键是根据阅读材料中所给的式子，找到式子的变化规律，根据规律解决问题． 根据阅读材料中从开始的连续正整数的平方和的计算规律进行计算即可； 根据阅读材料中从开始的连续正整数的平方和的计算规律，写出从到的连续正整数的平方和的计算公式； 利用中得到的计算规律可得：，由可知，两个等式求差，即可得到结果． 【详解】（1）解：根据规律可得：； （2）解：根据规律可得：第个式子是： （3）解：由可知， ， 由可知：， ． 57．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）观察下列算式，你会发现什么规律？ …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)找出规律并计算：______=______； (2)用含有n的式子表示上面的规律：______； (3)用找到的规律解决下面的问题： 计算：______． 【答案】(1)64， (2) (3) 【分析】（1）根据有理数的运算法则计算即可；掌握有理数的运算法则是解题的关键； （2）观察发现一个正整数乘以比这个正整数大2的数再加1就等于这个正整数加1的平方，即可总结出含有n的式子表示的规律；发现数字间的关系是解题的关键； （3）将原式变形为知，，然后再利用（2）的规律计算即可；灵活对原式进行变形是解题的关键． 【详解】（1）解：． 故答案为：64，． （2）解：观察发现一个正整数乘以比这个正整数大2的数再加1就等于这个正整数加1的平方，则第n个等式为：． 故答案为:． （3）解： ． 故答案为． 58．（25-26七年级上·河南平顶山·期中）观察下列式子： ；；；；… (1)发现规律：________；用含n的代数式表示规律：________（n为正整数）． (2)应用计算：． (3)拓展规律：当________时，（n为正整数）． 【答案】(1)， (2) (3)95 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，数字规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真观察式子特征，直接作答即可； （2）利用，则原式，再进行加减运算，即可作答． （3）先分析得出，整理原式，结合，故，即可作答． 【详解】（1）解：观察题中已有的过程，得出，； （2）解：由（1）得， 则 ； （3）解：， ， …… 以此类推，得， ∴ ， ∵， ∴， ∵n为正整数 ∴ 则， ∴， 则， ∴， 即当时，． 59．（25-26七年级上·广东东莞·期中）综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… （1）独立思考：解答王老师提出的问题： 按上规律列出第5个等式为：____________________； 按上规律列出第n个等式为：____________________． （2）实践探究：在（1）中找出规律，并利用规律计算：； （3）问题拓展：求． 【答案】（1）；；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查有理数的数字规律，理解题意，掌握有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据已知条件得到第一个式子的分母是，第二个式子的分母是，第三个式子的分母是，由此即可求解第五个式子和第个式子； （2）根据题意，将每个式子拆成，由此即可求解； （3）根据题意，将每个式子拆成，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… ∴第五个式子是， 第个式子是； 故答案为：；； （2） ； （3） ． 60．（24-25七年级上·云南昭通·期中）观察下列等式： 等式1：； 等式2：； 等式3：； …． (1)根据规律可得 ； (2)根据规律可得 ；（n为正整数） (3)根据规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算规律的探究，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题干提示两个因数的规律求解即可． （2）利用（1）的特点，总结归纳即可． （3）利用（1）中的规律，拆项求解即可． 【详解】（1）解：等式1：； 等式2：； 等式3：； ∴； （2）解：由（1）归纳可得： ； （3）解： ． ◆题型11 二进制计算 61．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）二进制在计算机科学中有着广泛的应用．计算机内部的所有操作都是基于二进制完成的，包 括数据的存储、传输和处理．此外，二进制还用于数字电路设计、通信技术等领域，所以我们很有必要研究二进制．将十进制中数“65”转换为二进制数为（    ） A．1000001 B．1000011 C．1001111 D．1111111 【答案】A 【分析】本题考查有理数的运算，根据二进制转化为十进制的方法：除以2取余法，进行求解即可． 【详解】解： ， ∴65转换成二进制为； 故选A． 62．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）日常生活中，我们用十进制来表示数，如，而计算机中则采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数．二进制数与十进制数可相互转换，如二进制中的，表示的就是十进制中的26．则二进制中的110101表示的是十进制中的（   ） A．23 B．25 C．52 D．53 【答案】D 【分析】本题考查了有理数乘方．将二进制写成2的乘方的形式，进而根据有理数的乘方和加法运算计算即可． 【详解】解：． ∴二进制中的数110101表示的是十进制中的53． 故选：D． 63．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）我们常用的数是十进制数，如，在电子计算机中用的二进制，如二进制中等于十进制的数6．八进制数字3752换算成十进制是_____． 【答案】2026 【分析】本题考查了有理数的乘方运算．将八进制数转换为十进制数，需将每一位数字乘以8的相应幂次（从右向左，幂次从0开始），然后求和，即可作答． 【详解】解：依题意，八进制数3752换算为十进制： ， 故答案为：2026． 64．（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）我们常用的十进制数，如，也有七进制数，如将七进制数2635转换为十进制数为，还有二进制，八进制，十二进制等，根据以上理解，将二进制10011转换成十进制，则__________． 【答案】19 【分析】本题考查了有理数的乘方以及有理数的混合运算，根据题意将二进制数10011转换成十进制数，即可求解． 【详解】解：二进制数转换成十进制数为：， 故答案为：． 65．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）【阅读理解】二进制数的加法运算是一种基本的数学运算，它和十进制数的加法原理类似，只是运算的基数不同在二进制数的加法运算中，我们需要将两个二进制数按位相加，并且需要考虑进位的情况首先，让我们回顾一下二进制数的基本规则：；；（二进制进位）．举个例子，我们来计算二进制数和的加法：，从最低位开始相加，，没有进位；，这里需要进位；，没有进位；，这里也需要进位，最终的结果是． 【学以致用】 (1)计算：； (2)请将二进制数，，及（1）中所得结果转化为十进制数，验算（1）中的计算结果是否正确 【答案】(1) (2)正确 【分析】本题考查了有理数的混合运算．关键是掌握二进制和十进制的转换方法． （1）关于二进制之间的运算，利用“逢二进一”、“借一当二”的运算法则计算即可； （2）根据二进制与十进制转换的方法求解验证即可． 【详解】（1）解:； （2）， ， ， 因为， 所以（1）中的计算结果正确． 66．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）课本再现 国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法． 提示：八卦中称为阳爻，对应数字1，称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法．每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为． 观察发现 （1）从左起第四个符号表示的二进制数为___________． 拓展延伸 二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为，依此类推），后相加，例如：． （2）图2中的记数符号由四个二进制数组成，将它们依次转换为十进制数，得到一个四位数，求出这个四位数； 类比迁移 （3）仿照二进制的说明与算法，将八进制数：转换成十进制数，请求出结果． 【答案】（1）；（2）3745；（3）1045 【分析】本题主要考查了二进制数与十进制数的转换，八进制与十进制数的转换： （1）根据题意即可得到答案； （2）根据二进制数与十进制数的转换方法分别求出图2中四个二进制数转换成十进制数的结果即可得到答案； （3）仿照二进制数与十进制数的转换方法将八进制数各位上的数字乘以8的相应次方再求和即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得，从左起第四个符号表示的二进制数为； 故答案为：； （2）图2对应的二进制数从左往右依次为，，，， ∵， ， ， ， ∴这个四位数是3745； （3）． ◆题型12 程序流程图与有理数计算 67．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图是一个程序图，若输入的，则输出的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，先根据已知条件中的，按照程序图的步骤进行计算，直到满足输出条件即可． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴最后输出的结果是15， 故选：C． 68．（24-25七年级上·广东揭阳·期中）如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第一次计算输出的结果是，第二次计算输出的结果是，…，这样下去，第次计算输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字的变化规律，通过计算探索出输出结果的循环规律是解题的关键； 通过计算发现，每次输出的结果循环出现，则可知第次计算输出的结果与第次计算输出的结果相同，由此求解即可． 【详解】解：第一次计算输出的结果是， 第二次计算输出的结果是， 第三次计算输出的结果是， 第四次计算输出的结果是， 第五次计算输出的结果是， 第六次计算输出的结果是， 第七次计算输出的结果是， 第八次计算输出的结果是， 第九次计算输出的结果是， 第十次计算输出的结果是，…， ∴从第二次开始，每次输出的结果循环出现， ， ∴第次计算输出的结果是， 故选：A． 69．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的为2，则第1次输出的结果是0，第2次输出的结果是，第3次输出的结果是3，…，以此类推，第次输出的结果是___________． 【答案】 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键． 【详解】解：设输出的数为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据题意，得每6次输出的结果循环一次， 又，与的数字一致， ∴2026次输出结果为， 故答案为：． 70．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小亮输入1，3这两个数时，则两次输出的结果依次为______，______； (2)当小亮输入数时，求出输出的结果； (3)若小亮操作时输出结果是2，请你判断：小亮输入的正整数有可能是（   ）． A．　B．　C．　D． 【答案】(1)1， (2)0 (3)A 【分析】本题考查程序流程图（数值转换机）的理解与应用，有理数的运算，代数式求值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据流程图，分别将输入值1和3按照流程计算即可； （2）将输入值按照流程图逐步计算； （2）设输入正整数为，减5至不大于2后的数记为，则之后取相反数并判断：由题意，若，则输出为，若，则输出为，根据输出为2，分类讨论并结合选项判断即可． 【详解】（1）解：当输入为1时， ，取相反数得， 非正，取绝对值得1， 故输出为1； 当输入为3时，， 执行， ，取相反数得2， 2为正，取倒数得， 故输出为． 故答案为：1， ； （2）解：当输入为时，， ， ， ， 取相反数得0， 0非正，取绝对值得0， 故输出为0； （3）解：设输入正整数为，减5至不大于2后的数记为，则之后取相反数并判断： 若，由题意则输出为， 若，由题意则输出为． 由题意输出为2： 若，则，即经过数次减5后等于2，故（为非负整数）． 若，则，解得，不是整数，舍去． ∴输入满足， 选项中的数除以5的余数分别为： ， ， ， ， 只有满足条件． 故选：A． 71．（25-26七年级上·江苏南京·期中）下图是一个数值转换器． 通过数值转换器转换的部分数值如下表所示． ．．． 1 3 5 ．．． ．．． 14 12 20 ．．． 根据以上信息，回答下列问题： (1)求的值； (2)的值为___________； (3)若输出的的值为16，则输入的的值为___________． 【答案】(1)2 (2)10 (3)2或4 【分析】本题主要考查有理数的混合运算和一元一次方程的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）把代入程序进行计算即可求出的值； （2）把代入计算即可； （3）分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：； （2）解：当时，， 故答案为：10； （3）解：当时，， 解得； 当时，， 解得； 故答案为：2或4． 72．（24-25七年级上·山西朔州·期中）数学活动小组设计出如下的运算程序：任给一个正整数n，若n是偶数，则将n除以2；若n是奇数，则将n乘以3再加1．重复这样的运算，经过有限次后，得到结果为1并输出． 根据运算程序，解答下列问题： (1)小组同学输入7，求运算一次后的结果； (2)小组同学输入一个数，在没有输出前，每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1，请直接写出同学们输入的数． 【答案】(1)22 (2)16 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出算式． （1）根据题干提供的信息列式计算即可； （2）根据每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1，列出算式，得出运算结果即可． 【详解】（1）解：根据题意，输入7，运算一次后的结果为： ； （2）解：∵每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1， ∴这个同学们输入的数为：． ◆题型13 算24点 73．（25-26七年级上·江苏·期中）不改变数的顺序，请用“”“”运算符号把数，，，组成一个算式：__________，使其运算结果为． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算的应用，通过为数字之间的运算符号选择减号或加号，调整每个数字在算式中的实际符号，使代数和为24． 【详解】解：数字顺序固定为，，，． 在6与之间插入减号 算式为； 在与之间插入加号， 算式为； 与之间插入减号，算式为． 故答案为：． 74．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）有4张写着不同数字的卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 75．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）算“24点”是一种数学游戏：把所给的四个数字用运算符号（可以有括号）连结起来，使得运算结果为24，注意：每个数字只能用一次，请你用“”这4个数字算“24点”，列出的算式是_____． 【答案】 【分析】利用运算符号将四个数连接，结果为24即可．此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：根据题意得：． ∴列出的算式是． 76．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）小明有五张写着不同数的卡片（如图），请你按要求选择卡片，回答下列问题∶ (1)若从中选择两张卡片，使这两张卡片上的数的乘积最大，则这两张卡片上的数分别是？ (2)若从中选择两张卡片，使这两张卡片上的数的商最小，则最小商是多少？ (3)从中选择四张卡片，每张卡片的数只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为24，写出算式（写出一种即可）． 【答案】(1)， (2) (3)（答案不唯一） 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）找出两个数字，要使其积最大，必须是同号相乘，即可作答； （2）找出两个数字，要使其商最小，必须是异号，即可作答； （3）利用24点游戏规则判断即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∵ ∴这两张卡片上的数字分别是，此时积最大； 故答案为：，； （2）解：根据题意得：找出两个数字，要使其商最小，必须是异号， ∴，， ，， ∵， ∴这个最小的商为； （3）解：由题意得： ． 77．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）“算24”的扑克牌游戏曾经风靡许多国家，深受青少年朋友的喜爱．这种游戏将两张王牌去掉，规定扑克牌中的J为11，Q为12，K为13，A为1．从扑克牌中按要求抽取若干张牌，将牌面所表示的数进行有理数的加、减、乘、除运算（每张牌用且只用一次），算得“24”即可． 【问题情境】 假设已抽取如下的牌，能不能根据牌面所表示的数算“24”呢？如果能，怎么算？ 可列算式：． 根据上图中4张牌，还可以列出不同的算式 ． 【思考探究】 （1）用两张牌算“24”：①；②；③；④用三张牌算“24”：可以将其中两张牌整合，转化为（1）中情况来思考，例如：抽到的牌为2、3、4，可以列式为，转化为（1）中的①．问题：抽到的牌为2、3、4，还可以转化为（1）中的③，即列式为 ． （2）用四张牌算“24”：可以一三分组，也可以两两分组，例如：抽到的牌为8、9、12、13，我们可以一三分组，列式为，转化为（1）中的①；请你用8、9、12、13四张牌进行有理数的加、减、乘、除运算再列一个算式，使得算式结果为24． （3）用五张牌算“24”：请你考虑这九个数字中，若恰巧五张牌的数字都相同（五个1，五个2，…五个9），会有哪些情况可以算出“24”． 【答案】问题情境：；思考探究：（1）；（2）；（3）5个数字2，5个数字3，5个数字4，5个数字5，5个数字6和5个数字8可以算出24点． 【详解】解：问题情境：， 故答案为：； 思考探究：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）5个1不能算出24点； ，则5个2可以算出24点； ，则5个3可以算出24点； ，则5个4可以算出24点； ，则5个5可以算出24点； ，则5个6 可以算出24点； 5个7不可以算出24点， ，则5个8可以算出24点； 5个9不可以算出24点； 综上所述，5个数字2，5个数字3，5个数字4，5个数字5，5个数字6和5个数字8可以算出24点． 78．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大．这两张卡片上的数字分别是 ； (2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小．则这个最小的商为 ； (3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出运算式子及运算过程．（写出一种即可） 【答案】(1) (2) (3)（答案不唯一），运算过程见解析． 【分析】（1）找出两个数字，要使其积最大，必须是同号相乘，即可作答； （2）找出两个数字，要使其商最小，必须是异号，即可作答； （3）利用24点游戏规则判断即可． 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∵ ∴这两张卡片上的数字分别是，此时积最大； 故答案为：，； （2）解：根据题意得：，， ∵， ∴这个最小的商为； 故答案为：； （3）解：由题意得： ． ◆题型14 有理数的新定义运算 79．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）定义一种新运算：．例如，． (1)计算：________； (2)根据上述定义解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，解一元一次方程； （1）由新定义得，进行有理数混合运算，即可求解； （2）由新定义得，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原方程可化为 ， ， ， ， 解得． 80．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）我们定义一种新运算：． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，读懂题中的新运算方法，根据规定运算写出运算算式以及方程是解题的关键． （1）利用题中的新定义计算即可； （2）根据新定义运算列出方程即可求出x的值． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 81．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）定义新运算：，如，计算下列各式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了新定义问题，有理数的乘方及加减运算，理解新定义运算是解题的关键； （1）根据新定义运算求解即可； （2）根据新定义先算，再算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：因为， 所以． 82．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）我们定义一种新运算：．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了新定义，含乘方的有理数混合计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据题意得出算式，然后通过运算法则即可求解； （）由（）得，根据题意得出算式，然后通过运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（）得，， ∴ ． 83．（25-26七年级上·云南昆明·期中）现定义一种新运算：，如：，则等于（    ） A．15 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】此题考查了新定义，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据新运算的定义，先计算括号内的运算，再计算括号外的即可． 【详解】解：∵ ，   ∴ ，   ∴ ．   故选：A． 84．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称，现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如，现定义，例如，则_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的加减计算，熟练掌握新定义是解题的关键． 先根据新定义求出，再根据代入计算即可． 【详解】解：因为表示不超过的最大整数， 所以． ． 故答案为：． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26七年级上·广西桂林·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据乘法分配律计算即可； （2）先算乘方，同时去绝对值，然后算乘法，最后算加减法即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ． 2．（25-26六年级上·山东泰安·期中）计算∶ (1)； (2) (3) (4)． 【答案】(1)0 (2)3 (3)28 (4)13 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）计算，能简算的要简算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用加法结合律进行简便计算； （2）利用乘法分配律进行简便计算； （3）利用乘法分配律进行简便计算； （4）计算时按照先算乘方，再算乘除运算，最后计算加减运算；有括号先算括号内的顺序进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．（25-26七年级下·河南焦作·期中）为了求的值， 令．① 则．② ②①，得，即． 仿照以上解题过程，计算：． 【答案】 【分析】仿照题干给定的方法，令，则，两式相减后，即可得出结果． 【详解】解：令，则， ∴， ∴， ∴，即． 5．（25-26七年级上·辽宁营口·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 6．（25-26七年级上·西藏·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 7．（25-26六年级上·山东烟台·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)3 【分析】（1）根据含有乘方的混合运算求解即可； （2）化除法为乘法，然后应用分配律，最后加减计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 8．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 9．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）先阅读下面的材料，再回答后面的问题： 计算：． 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上面三种解法得到的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的； (2)请用两种不同的方法解决下面的问题：计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】（1）本题考查有理数运算的法则．除法不存在分配律，解法一错误使用了分配律展开计算，因此解法一错误． （2）本题可采用两种正确方法计算，第一种先通分计算括号内的结果，再计算除法；第二种先计算原式的倒数，利用乘法计算后再求原式的值，均符合有理数运算法则． 【详解】（1）解 ：除法不满足分配律，不能将除以多个项和的运算拆分为分别除以各项再求和，因此解法一是错误的． （2）方法一： 原式 ． 方法二：原式的倒数为 ． 所以原式 10．（25-26六年级上·山东烟台·期中）计算题： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3)6 (4)1 【分析】（1）根据交换律和结合律计算即可； （2）先计算乘方、绝对值，然后计算乘除，最后进行加减计算； （3）先计算乘方，然后计算括号内减法，最后计算除法； （4）先处理符号，再利用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 11．（25-26七年级上·山西晋中·期中）如图所示，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数a，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“●”表示一个有理数． (1)若“●”表示3，输入数为，求计算结果； (2)若“●”表示的数为最大的负整数，当计算结果为2时，求输入的数a的值． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，程序框图中的有理数的混合运算，解题的关键是正确理解程序框图的计算顺序． （1）将“●”表示3代入程序框图中的运算程序进行计算即可； （2）先确定“●”表示的数为，再由题意得方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：由题意得：“●”表示的数为 ， 解得：． 12．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取，最大值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这两张卡片数相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？ (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子．（写出一种运算式）． 【答案】(1)一个数抽，另一个数是时，最大值是 (2)一个数抽，另一个数是时，它们相除的最小值是 (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算； （1）从中抽张卡片，要使这张卡片上数字的乘积最大，则两个数必须同号，据此求解即可； （2）从中抽取张卡片，要使这两张卡片数相除的商最小，则一个是正数，另一个是负数，据此求出最小值是多少即可． （3）用学过的运算方法，构造出算式，使结果为即可． 【详解】（1）， ， 因为， 所以其中的一个数抽，另一个数是时，最大值是； （2）， 所以其中的一个数抽，另一个数是时，它们相除的最小值是； （3）从中取出张卡片，用学过的运算方法，使结果为，运算式子为： ． 13．（25-26七年级上·河南开封·阶段检测）生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一，例：； 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：； 其他进制也有类似的算法…… (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制数是___________． (2)【迁移】将八进制数“72”转化为十进制数； (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 【答案】(1)46 (2)58 (3)42天 【分析】（1）根据二进制转换十进制的方法列式计算即可； （2）仿照二进制转换十进制的方法进行计算即可； （3）满五进一，类似于五进制数，仿照二进制转换十进制的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：101110转化为十进制数是 ， 故答案为：46； （2）； （3）由于满五进一，类似于五进制数，图示表示的五进制数为132，转化为十进制数为 所以，孩子已经出生了42天． 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，正确理解题中二进制转换十进制的计算方法是解题的关键． 14．（25-26七年级上·江苏南通·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 为区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数（十进制数一般不标注基数）． 可知：一个其它进位制数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转化成一个十进制数，反之，可以将一个十进制数表示成一个其它进位制数． 规定：当时，． 例如：，即； ，即； ，即． 【初步感知】 （1）①请把转化为十进制数为______； ②请把转化为八进制数； 【类比探究】 （2）类比十进制数的四则运算可进行其它进位制数的运算， 例如：． 计算：①； ②． 【拓展提升】 （3）小聪发现不同进制数都可以化为十进制数，故不同进制数也可以进行加法运算． 例如：． 若，则_____（结果用十进制数表示）． 【答案】（1）①142；②；（2）①；②；（3）51 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用． （1）根据题意将三进制化为十进制即可求解． （2）根据题意，类比十进制的运算规则，在相应进位制下进行计算即可求解． （3）根据题意例题进行计算先求得，，根据即可求解． 【详解】（1）①把 ， 故答案为： ② ， 即：． （2）① ② （3）∵， ， ， ， ，，且、为正整数， ，， 故答案为： 15．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）定义一种新运算“☆”，规则为：，例如：．据此解答下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查新运算，有理数的混合运算，理解规定的运算是关键． （1）按照规定的新运算进行计算即可； （2）按照规定的新运算先算括号里的新运算，再算括号外的新运算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 16．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，记作，读作“的下4次方”一般地，把记作，读作“a的下n次方”． （1）直接写出计算结果：______，______． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：． （2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式：______，______． （3）将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：______． （4）【结论应用】计算：． 【答案】（1），2；（2），；（3）；（4） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，涉及新定义． （1）由新定义列出算式计算即可； （2）根据新定义列出算式，化为乘方形式即可； （3）根据（2）的计算结果得出规律即可； （4）先根据乘方的定义和（3）的计算结果计算，再算乘除和加减即可． 【详解】解：（1）； ， 故答案为：，2； （2） ， ， 故答案为：，； （3） ， 故答案为：； （4） ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数100道计算题训练14大题型 常考题型·精准突破 考点一 有理数的计算题训练 题型一 有理数的加法运算 题型二 有理数的减法运算 题型三 有理数的乘法运算 题型四 有理数的除法运算 题型五 有理数的乘方运算（高频） 题型六 含乘方的有理数混合运算（重） 题型七 含绝对值的有理数计算（重） 题型八 含绝对值、相反数和倒数的文字计算题（高频） 题型九 有理数的简便计算 题型十 有理数的规律计算题（难） 题型十一 二进制计算（难） 题型十二 程序流程图与有理数计算 题型十三 算24点 题型十四 有理数的新定义运算（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 有理数的计算题训练 ◆题型1 有理数的加法运算 1．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 2．（24-25六年级上·山东烟台·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3) (4)； 3．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 4．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 5．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：． 6．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) ◆题型2 有理数的减法运算 7．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 8．（25-26七年级上·重庆九龙坡·周测）计算 (1) (2) (3) (4) 9．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 10．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 11．（24-25七年级上·重庆万州·阶段检测）计算 (1) (2) 12．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）计算题： (1) (2) (3) (4) ◆题型3 有理数的乘法运算 13．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 14．（25-26七年级上·江苏·阶段检测）耐心算一算： (1)； (2)． 15．（25-26七年级上·湖南永州·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（2024七年级上·江苏徐州·专题练习）计算： (1)； (2)． 18．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)； (3)． ◆题型4 有理数的除法运算 19．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式 ． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 所以，原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_____错误． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算：． 20．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）计算： 21．（25-26七年级上·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 23．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 24．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． ◆题型5 有理数的乘方运算 25．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 26．（26-27七年级·江苏徐州·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 27．（26-27七年级·江苏徐州·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 28．（26-27七年级·江苏徐州·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 29．（25-26六年级下·江苏徐州·单元复习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 30．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)； (3)． ◆题型6 含乘方的有理数混合运算 31．（25-26七年级下·四川绵阳·开学考试）计算： 32．（26-27六年级·上海·小升初衔接）计算： (1)； (2)． 33．（24-25六年级上·上海·阶段检测）计算：； 34．（26-27七年级·江苏徐州·小升初衔接）计算： (1) (2) (3) 35．（26-27七年级·江苏徐州·小升初衔接）计算： (1)． (2) 36．（26-27七年级·江苏徐州·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． ◆题型7 含绝对值的有理数计算 37．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）计算： (1)； (2)． 38．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 39．（第05讲绝对值与相反数（6种题型）-【暑假自学课】2023年新七年级数学暑假精品课（苏科版））计算： (1) (2) (3) 40．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）计算： (1)； (2)． 41．（24-25六年级上·山东烟台·期中）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 42．（24-25六年级上·山东烟台·期中）计算下列各式 (1) (2) (3) (4) ◆题型8 含绝对值、相反数和倒数的文字计算题 43．（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）若a与3互为相反数，b与互为倒数，c的相反数等于它本身，d的绝对值是4，请求出的值． 44．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的相反数是1，求代数式的值． 45．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）列式计算求值： (1)求的相反数与的倒数的差； (2)已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为3，求的值． 46．（24-25七年级上·广东湛江·期中）若，的绝对值相等，且，异号，，互为倒数，，是绝对值最小的有理数，求的值． 47．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）已知a、b互为相反数，是绝对值最小的数，的绝对值为2． (1)_______，_______，_______． (2)求的值． 48．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）已知是最小的正整数，是绝对值最小的有理数，的倒数是的绝对值是5．求的值．（说明表示与的乘积） ◆题型9 有理数的简便计算 49．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）计算下列各题（能简便运算的请简便计算）． (1) (2) 50．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）能简便计算的要进行简便计算： (1) (2) 51．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）计算： (1)； (2)简便计算：； (3)简便计算： 52．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）简便计算：必须用简便方法进行计算． (1) (2) 53．（25-26六年级上·江苏徐州·期末）脱式计算，能简便的用简便方法计算． (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 54．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）用简便方法计算（过程要有体现简便的步骤）： (1)； (2)． ◆题型10 有理数的规律计算题 55．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算：   (1)利用上述规律计算： (2)计算： 56．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）阅读探究： ①； ②； ③； ④；…… (1)根据上述规律，则⑤______； (2)根据以上式子的规律，请写出第个式子； (3)利用你发现的规律，计算下面算式的值：． 57．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）观察下列算式，你会发现什么规律？ …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)找出规律并计算：______=______； (2)用含有n的式子表示上面的规律：______； (3)用找到的规律解决下面的问题： 计算：______． 58．（25-26七年级上·河南平顶山·期中）观察下列式子： ；；；；… (1)发现规律：________；用含n的代数式表示规律：________（n为正整数）． (2)应用计算：． (3)拓展规律：当________时，（n为正整数）． 59．（25-26七年级上·广东东莞·期中）综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… （1）独立思考：解答王老师提出的问题： 按上规律列出第5个等式为：____________________； 按上规律列出第n个等式为：____________________． （2）实践探究：在（1）中找出规律，并利用规律计算：； （3）问题拓展：求． 60．（24-25七年级上·云南昭通·期中）观察下列等式： 等式1：； 等式2：； 等式3：； …． (1)根据规律可得 ； (2)根据规律可得 ；（n为正整数） (3)根据规律计算：． ◆题型11 二进制计算 61．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）二进制在计算机科学中有着广泛的应用．计算机内部的所有操作都是基于二进制完成的，包 括数据的存储、传输和处理．此外，二进制还用于数字电路设计、通信技术等领域，所以我们很有必要研究二进制．将十进制中数“65”转换为二进制数为（    ） A．1000001 B．1000011 C．1001111 D．1111111 62．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）日常生活中，我们用十进制来表示数，如，而计算机中则采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数．二进制数与十进制数可相互转换，如二进制中的，表示的就是十进制中的26．则二进制中的110101表示的是十进制中的（   ） A．23 B．25 C．52 D．53 63．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）我们常用的数是十进制数，如，在电子计算机中用的二进制，如二进制中等于十进制的数6．八进制数字3752换算成十进制是_____． 64．（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）我们常用的十进制数，如，也有七进制数，如将七进制数2635转换为十进制数为，还有二进制，八进制，十二进制等，根据以上理解，将二进制10011转换成十进制，则__________． 65．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）【阅读理解】二进制数的加法运算是一种基本的数学运算，它和十进制数的加法原理类似，只是运算的基数不同在二进制数的加法运算中，我们需要将两个二进制数按位相加，并且需要考虑进位的情况首先，让我们回顾一下二进制数的基本规则：；；（二进制进位）．举个例子，我们来计算二进制数和的加法：，从最低位开始相加，，没有进位；，这里需要进位；，没有进位；，这里也需要进位，最终的结果是． 【学以致用】 (1)计算：； (2)请将二进制数，，及（1）中所得结果转化为十进制数，验算（1）中的计算结果是否正确 66．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）课本再现 国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法． 提示：八卦中称为阳爻，对应数字1，称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法．每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为． 观察发现 （1）从左起第四个符号表示的二进制数为___________． 拓展延伸 二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为，依此类推），后相加，例如：． （2）图2中的记数符号由四个二进制数组成，将它们依次转换为十进制数，得到一个四位数，求出这个四位数； 类比迁移 （3）仿照二进制的说明与算法，将八进制数：转换成十进制数，请求出结果． ◆题型12 程序流程图与有理数计算 67．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图是一个程序图，若输入的，则输出的结果是（　　） A． B． C． D． 68．（24-25七年级上·广东揭阳·期中）如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第一次计算输出的结果是，第二次计算输出的结果是，…，这样下去，第次计算输出的结果是（   ） A． B． C． D． 69．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的为2，则第1次输出的结果是0，第2次输出的结果是，第3次输出的结果是3，…，以此类推，第次输出的结果是___________． 70．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小亮输入1，3这两个数时，则两次输出的结果依次为______，______； (2)当小亮输入数时，求出输出的结果； (3)若小亮操作时输出结果是2，请你判断：小亮输入的正整数有可能是（   ）． A．　B．　C．　D． 71．（25-26七年级上·江苏南京·期中）下图是一个数值转换器． 通过数值转换器转换的部分数值如下表所示． ．．． 1 3 5 ．．． ．．． 14 12 20 ．．． 根据以上信息，回答下列问题： (1)求的值； (2)的值为___________； (3)若输出的的值为16，则输入的的值为___________． 72．（24-25七年级上·山西朔州·期中）数学活动小组设计出如下的运算程序：任给一个正整数n，若n是偶数，则将n除以2；若n是奇数，则将n乘以3再加1．重复这样的运算，经过有限次后，得到结果为1并输出． 根据运算程序，解答下列问题： (1)小组同学输入7，求运算一次后的结果； (2)小组同学输入一个数，在没有输出前，每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1，请直接写出同学们输入的数． ◆题型13 算24点 73．（25-26七年级上·江苏·期中）不改变数的顺序，请用“”“”运算符号把数，，，组成一个算式：__________，使其运算结果为． 74．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）有4张写着不同数字的卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式_______． 75．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）算“24点”是一种数学游戏：把所给的四个数字用运算符号（可以有括号）连结起来，使得运算结果为24，注意：每个数字只能用一次，请你用“”这4个数字算“24点”，列出的算式是_____． 76．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）小明有五张写着不同数的卡片（如图），请你按要求选择卡片，回答下列问题∶ (1)若从中选择两张卡片，使这两张卡片上的数的乘积最大，则这两张卡片上的数分别是？ (2)若从中选择两张卡片，使这两张卡片上的数的商最小，则最小商是多少？ (3)从中选择四张卡片，每张卡片的数只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为24，写出算式（写出一种即可）． 77．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）“算24”的扑克牌游戏曾经风靡许多国家，深受青少年朋友的喜爱．这种游戏将两张王牌去掉，规定扑克牌中的J为11，Q为12，K为13，A为1．从扑克牌中按要求抽取若干张牌，将牌面所表示的数进行有理数的加、减、乘、除运算（每张牌用且只用一次），算得“24”即可． 【问题情境】 假设已抽取如下的牌，能不能根据牌面所表示的数算“24”呢？如果能，怎么算？ 可列算式：． 根据上图中4张牌，还可以列出不同的算式 ． 【思考探究】 （1）用两张牌算“24”：①；②；③；④用三张牌算“24”：可以将其中两张牌整合，转化为（1）中情况来思考，例如：抽到的牌为2、3、4，可以列式为，转化为（1）中的①．问题：抽到的牌为2、3、4，还可以转化为（1）中的③，即列式为 ． （2）用四张牌算“24”：可以一三分组，也可以两两分组，例如：抽到的牌为8、9、12、13，我们可以一三分组，列式为，转化为（1）中的①；请你用8、9、12、13四张牌进行有理数的加、减、乘、除运算再列一个算式，使得算式结果为24． （3）用五张牌算“24”：请你考虑这九个数字中，若恰巧五张牌的数字都相同（五个1，五个2，…五个9），会有哪些情况可以算出“24”． 78．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大．这两张卡片上的数字分别是 ； (2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小．则这个最小的商为 ； (3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出运算式子及运算过程．（写出一种即可） ◆题型14 有理数的新定义运算 79．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）定义一种新运算：．例如，． (1)计算：________； (2)根据上述定义解方程：． 80．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）我们定义一种新运算：． (1)求的值； (2)若，求x的值． 81．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）定义新运算：，如，计算下列各式． (1)； (2)． 82．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）我们定义一种新运算：．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 83．（25-26七年级上·云南昆明·期中）现定义一种新运算：，如：，则等于（    ） A．15 B． C．3 D． 84．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称，现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如，现定义，例如，则_________． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26七年级上·广西桂林·期末）计算： (1)； (2)． 2．（25-26六年级上·山东泰安·期中）计算∶ (1)； (2) (3) (4)． 3．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）计算，能简算的要简算 (1) (2) (3) (4) 4．（25-26七年级下·河南焦作·期中）为了求的值， 令．① 则．② ②①，得，即． 仿照以上解题过程，计算：． 5．（25-26七年级上·辽宁营口·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 6．（25-26七年级上·西藏·期末）计算 (1) (2) 7．（25-26六年级上·山东烟台·期末）计算： (1)； (2)． 8．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）先阅读下面的材料，再回答后面的问题： 计算：． 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上面三种解法得到的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的； (2)请用两种不同的方法解决下面的问题：计算：． 10．（25-26六年级上·山东烟台·期中）计算题： (1)； (2)； (3) (4)． 11．（25-26七年级上·山西晋中·期中）如图所示，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数a，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“●”表示一个有理数． (1)若“●”表示3，输入数为，求计算结果； (2)若“●”表示的数为最大的负整数，当计算结果为2时，求输入的数a的值． 12．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取，最大值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这两张卡片数相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？ (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子．（写出一种运算式）． 13．（25-26七年级上·河南开封·阶段检测）生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一，例：； 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：； 其他进制也有类似的算法…… (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制数是___________． (2)【迁移】将八进制数“72”转化为十进制数； (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 14．（25-26七年级上·江苏南通·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 为区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数（十进制数一般不标注基数）． 可知：一个其它进位制数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转化成一个十进制数，反之，可以将一个十进制数表示成一个其它进位制数． 规定：当时，． 例如：，即； ，即； ，即． 【初步感知】 （1）①请把转化为十进制数为______； ②请把转化为八进制数； 【类比探究】 （2）类比十进制数的四则运算可进行其它进位制数的运算， 例如：． 计算：①； ②． 【拓展提升】 （3）小聪发现不同进制数都可以化为十进制数，故不同进制数也可以进行加法运算． 例如：． 若，则_____（结果用十进制数表示）． 15．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）定义一种新运算“☆”，规则为：，例如：．据此解答下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 16．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，记作，读作“的下4次方”一般地，把记作，读作“a的下n次方”． （1）直接写出计算结果：______，______． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：． （2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式：______，______． （3）将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：______． （4）【结论应用】计算：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $