第一章特殊的平行四边形提升测试 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

2026-2027年北师大版九年级上册数学第一章特殊的平行四边形提升测试 时间:120分 满分:120分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 2．（本题3分）2026年“山河之上是生活”山西文旅体验季在晋城王莽岭景区举办，为美化全新投用的卧龙场步行街广场，景区规划修建一处菱形绿化花池用来摆放太行特色花卉．如图，已知这个菱形花池的周长是12米，，则花坛对角线的长为（     ） A．米 B．6米 C．米 D．3米 3．（本题3分）如图，菱形的对角线相交于点，添加一个条件能使菱形变为正方形的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，则顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，在正方形中，将，分别沿，向正方形内部折叠，此时与重合（A，C都落在点G处），若，，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（本题3分）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，于点E，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点O作于点F，交于点E，若，，则的长为（     ） A．12 B． C． D． 8．（本题3分）如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，连接．若，，则的长为（     ） A． B．2 C．3 D． 9．（本题3分）如图，在正方形中，对角线与交于点O，E是边上一点，连接，过点O作的垂线交于点F，若，，则正方形的边长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 10．（本题3分）雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第次得到的点的坐标（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）如图，在平行四边形中，添加一个条件______使平行四边形是矩形． 12．（本题3分）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则______． 13．（本题3分）四个正方形如图摆放，除点，，，外，其余各点均为所在线段的中点．其中最小的正方形的边长为，则最大正方形的边长是______． 14．（本题3分）如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点B落在上的点M处，将边沿折叠，使点D落在上的点N处，易证四边形是平行四边形．若四边形是菱形，则的度数是_____． 15．（本题3分）如图，菱形的顶点的坐标分别为轴，将菱形平移，使点B与原点O重合，则平移后点D的对应点的坐标为______． 16．（本题3分）正方形和正方形中，点D在上，，，H是的中点，那么的长是 __ ． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）如图，为等腰三角形，，为中点，延长至点，使，连接，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求菱形的面积． 18．（本题8分）在菱形中，过点作于点，点在边上，，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 19．（本题8分）如图，矩形纸片中，，，现将，重合，使纸片折叠压平，折痕为，连接． (1)证明：． (2)判断四边形是什么特殊四边形？证明你的结论． 20．（本题8分）如图，在四边形中，，．对角线、相交于点，有下列条件：①，②． (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 21．（本题9分）如图，正方形的边，将正方形沿折叠，使落到处，交于点M，交于点N，，连接． (1)求的面积； (2)试判断与的位置和数量关系，并说明理由． 22．（本题9分）如图，是等腰三角形，，点，分别是，的中点，连接并延长至点，使，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的面积． 23．（本题10分）如图1，已知正方形，，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接，． (1)_________°，线段，，之间的数量关系为_________； (2)如图2，连接，若，求线段的长； (3)如图3，在点运动过程中，作的平分线交延长线于，若，求的长． 24．（本题12分）如图，在梯形中，，，，，，点P从点A以的速度向点D运动，点Q从点C以的速度同时向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒， (1)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)当t为何值时，四边形是矩形？ (3)若只改变线段的长度，其余条件都不变，在整个运动过程中，当四边形是正方形时，请求出t的值和线段的长． (4)在整个运动过程中，是否存在t值，使得四边形是菱形．请说明理由． 第8页（共8页） 第7页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年北师大版九年级上册数学第一章特殊的平行四边形提升测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A C B B B D A B 1．C 【分析】根据矩形得到，，，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线与交于点O， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 2．D 【分析】先由菱形的性质可得，进而根据等边三角形的判定方法可得是等边三角形，最后根据等边三角形性质求解即可． 【详解】解：∵菱形花池的周长是12米， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴． 3．A 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴添加能使菱形变为正方形，故A符合题意； 添加，，都不能使菱形变为正方形，故B，C，D不符合题意． 4．C 【分析】连接交于点，根据正方形对角线互相垂直平分且相等的性质，求出和的长，进而确定点的坐标． 【详解】解：连接交于点，如图， 四边形是正方形， ，与互相平分且相等， 点的坐标为， ，且在轴上， ，， ， 点的坐标为． 5．B 【分析】先根据折叠的性质可得，再根据勾股定理得，然后代入数值即可得出答案． 【详解】解：根据折叠的性质可得， ∵四边形是正方形， ∴． 在中，， 即，则， ∴ 即， 解得． 6．B 【分析】根据矩形得到，则，然后求出的度数，再由直角三角形锐角互余、角度和差进行求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ∴， ， ， ∵， ∴， ． 7．B 【分析】根据菱形的性质结合勾股定理求出的长，等积法求出的长即可. 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ，，． 在中，． ， ， ． 8．D 【分析】根据菱形的性质得到，结合菱形的面积公式求出的长，则可利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：∵在菱形中，对角线、交于点， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∵点是的中点， ∴． 9．A 【分析】证明得到，据此求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在正方形中，对角线与交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的边长为7． 10．B 【分析】过作轴于H，连接，根据旋转性质得到每6次一个循环，旋转第次得到的点的坐标与的坐标相同．根据菱形的性质和含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求得的坐标，根据对称性质可得与关于原点对称，进而求得的坐标即可． 【详解】解：过作轴于H，连接， ∵将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转， ∴每6次一个循环， ∵， ∵四边形是菱形，B的坐标是，， ∴，， ∴， ∴， ∴的坐标为， 由题意得，与关于x轴对称，与B关于x轴对称，与关于原点对称， ∴的坐标为， ∴旋转第次得到的点的坐标为． 11．（答案不唯一） 【分析】本题已知四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理，添加合适条件，证明该平行四边形为矩形．可以添加对角线相等，或者有一个内角是直角这类条件． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形． 故添加一个条件使平行四边形是矩形（答案不唯一）． 12．120 【分析】根据菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的对角线互相平分，则可推出，，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算求解即可． 【详解】解：∵菱形的对角线、相交于点， ∴点O为的中点，， ∵， ∴， ∴． 13． 【分析】根据题意，内层正方形的顶点是外层正方形各边的中点，利用勾股定理可得外层正方形边长是内层正方形边长的倍，由内向外逐层计算即可． 【详解】解：设最小正方形的边长为，向外依次为，，，其中，， ∵点，分别为线段，的中点，且四边形为正方形， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴， 同理，点，分别为，的中点， ∴， 又∵点，分别为，的中点， ∴，即最大正方形的边长是． 14． 【分析】根据折叠的性质，菱形的性质，矩形的性质，得到，，解答即可． 【详解】解：边沿折叠，使点B落在上的点M处，边沿折叠，使点D落在上的点N处， ，，，， 四边形是菱形， ， ， 矩形， ， ， ， ． 15． 【分析】先利用勾股定理求出，然后利用菱形的性质求出点D的坐标，最后利用平移的性质求解即可． 【详解】解：∵点的坐标分别为， ∴， 在菱形中，， ∵轴， 轴， 点坐标为， ∵将菱形平移，使点B与原点O重合， ∴菱形向右平移2个单位，向上平移1个单位， ∴平移后点D的对应点的坐标为． 16． 【分析】连接，由正方形的性质和勾股定理可推出的长，以及，利用勾股定理求出的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形和正方形中，，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵H是的中点， ∴． 17．(1)证明：∵为中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； (2)48 【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，然后结合即可证明四边形为菱形； （2）设，，由菱形的性质得到，根据勾股定理求出，然后利用菱形的面积公式求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴设，， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，即， 解得， ∴，， ∴菱形的面积． 18．(1)证明：四边形是菱形， ，． ， ， 四边形是平行四边形． ， ， 四边形是矩形． (2)2 【分析】（1）根据菱形的性质，推出四边形是平行四边形，再根据，得到，即可得证； （2）设，在中，利用勾股定理列出方程求出的值，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：， ． 四边形是菱形， 设， ， 在中， ， ， 即． 19．(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴， 由翻折的性质可知： ，，， ∴； (2)四边形是菱形，证明如下： 连接，由折叠可知，垂直平分， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 由折叠可知：， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）由翻折的性质可知：，，，由可证； （2）由折叠可知，，；由四边形是矩形，可得对边互相平行，再由两直线平行内错角相等可得，由折叠得，等量代换可得，所以得，由四边相等的四边形为菱形，即可证得四边形是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 20．(1)选①： 证明：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是矩形； 选②： 证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是矩形． (2)12 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再根据所选情况证明四边形是矩形； （2）根据勾股定理求出的长，进而求出的面积． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是矩形， ， ，， ， 矩形的面积为：． 21．(1) (2)，．理由如下： 过点F作于点H， 则，． 由折叠的性质，得， ， ． 在和中， ， ， ． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ． 由折叠的性质，得，设， 则． 在中，，由勾股定理，得， 解得：， ， 的面积为． （2）略 22．(1)证明：∵是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，是中点， ∴，即， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形ADCF是平行四边形，再证明，从而可证四边形是矩形； （2）先证明是等边三角形，得出，在中，勾股定理求出，即可解答； 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是中点， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴矩形的面积． 23．(1)45， (2) (3) 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，利用全等三角形的性质证明，即可解决问题； （2）证出，设， ，，由勾股定理得出则可得出答案； （3）过点H作，交的延长线于点M，，交的延长线于点N，证明，由全等三角形的性质得出，由角平分线的性质得出，根据三角形面积公式可得出答案． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， 点关于直线的对称点为， ，，，， ，， ， ， ， ，， 故答案为：45，； （2）解：四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， ∴， 又∵， ， 设，则，， ， ， ， ； （3）解：过点H作，交的延长线于点M，，交的延长线于点N， 点关于直线的对称点为， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分，，， ， ， ，，， ， ， ， ． 24．(1) (2) (3)，线段的长为 (4)不存在t值，使得四边形是菱形，理由如下： 如图，过点D作于点E， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 由（1）得，当时，四边形是平行四边形， ∴此时， ∴不存在t值，使得四边形是菱形． 【分析】（1）首先求出，然后表示出，，然后根据平行四边形的判定定理列方程求解； （2）首先表示出，然后根据矩形的判定定理列方程求解； （3）首先表示出，然后根据正方形的判定定理列方程组求解； （4）过点D作于点E，证明四边形是矩形，得到，，然后利用勾股定理求出，然后由（1）求出当时，四边形是平行四边形，此时，即可判断． 【详解】（1）解：∵，，点P从点A以的速度向点D运动，点Q从点C以的速度同时向点B运动， ∴点P到达点D的时间为，点Q到达点B的时间为， ∵规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒， ∴， 根据题意得，，， ∴， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴当时，四边形是矩形， ∴， 解得， ∴当时，四边形是矩形； （3）解：设线段的长为x， ∴， ∵，， ∴当时，四边形是正方形， ∴ 解得， ∴线段的长为； （4）略 答案第10页（共16页） 答案第9页（共16页） 学科网（北京）股份有限公司 $