精品解析：湖北黄石市大冶市还地桥教联体 2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

大冶市临空初级中学2026年秋九年级数学学月检测 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，①；②；③；④；⑤，是一元二次方程的有  （ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A. 化为 B. 化为 C. 化为 D. 化为 3. 若是关于的二次函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 或 4. 若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 已知二次函数，当时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数与二次函数在同一直角坐标系中大致的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中、、，抛物线经过区域（包括边界），则a的取值范围是（ ） A. 或a≥2 B. 或 C. 或 D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 请写出一个开口向下的二次函数的表达式__________． 12. 已知点，是抛物线上的两点，当时，的值是__________． 13. 某校九（1）班共有名学生，在毕业典礼上同学们互赠照片以表留念，每人给其他同学送一张照片，共送出张照片，则与之间的函数关系式为______________． 14. 若实数满足 ，则的值为____． 15. 若是方程的一个根，则代数式 的值为______________． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 16. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 四、解答题：本题共8小题，共67分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 先化简，再求值：，其中是方程的根． 18. 有1个人不小心感染了某种流感病毒，由于该种流感病毒传染性强，经过两轮传染后共有36人感染了该种流感病毒，则每轮传染中平均1个人传染了几个人？ 19. 将进货单价为元的商品按元售出时，能卖出件，已知这种商品每涨元，其销售量就减少件．如果希望能获得利润元，并且使顾客得到实惠，那么售价应定多少元？ 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； （1）求的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，且，求的值． 21. 如图，抛物线的图象经过点． （1）这个函数的解析式为 ； （2）抛物线上与点关于轴对称的点的坐标是 ，的面积是 ； （3）抛物线上一点满足，求点的坐标． 22. 电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害。“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段，阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的铁栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），铁栅栏的形状如“山”字形． （1）若车棚占地面积，试求出电动车车棚的长； （2）若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，保持“山”字形不变，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 23. 在平面直角坐标系中，已知点在轴正半轴上． （1）如图（1），菱形的顶点，，在二次函数的图象上，且轴，已知点，求抛物线解析式及菱形的边长． （2）如图（1），已知菱形的顶点，，在二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长． （3）如图（2），已知正方形的顶点，在二次函数的图象上，点，在轴的同侧，且点在点的左侧，设点，的横坐标分别为，，探究是否为定值如果是，求出这个值如果不是，请说明理由． 24. 若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称这个方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如：“快乐方程”的两个根均为整数，其“快乐数”．若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． （1）“快乐方程”的“快乐数”为________； （2）若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； （3）若关于x的一元二次方程与（m，n均为正整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，直接写出n的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大冶市临空初级中学2026年秋九年级数学学月检测 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，①；②；③；④；⑤，是一元二次方程的有  （ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】首先明确一元二次方程的判定标准：只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程、二次项系数不为0．逐个分析题干中的方程：若方程符合上述全部判定标准，则属于一元二次方程．若方程存在分母含未知数、整理后最高次低于2、未明确二次项系数不为0的情况，则不属于一元二次方程．统计符合条件的方程数量，匹配对应选项． 【详解】要判断一元二次方程，需紧扣初中定义：只含一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程，同时二次项系数不能为0，逐个分析： ①：符合所有要求，是一元二次方程． ②：没有说明，若则二次项消失，不一定是一元二次方程． ③：展开化简后得，未知数最高次数是1，是一元一次方程，不是一元二次方程． ④：分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，因此不是一元二次方程． ⑤：符合所有要求，是一元二次方程． 综上，一共有2个一元二次方程． 2. 用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A. 化为 B. 化为 C. 化为 D. 化为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程的步骤即可判断，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤． 【详解】解：、∵， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴，原选项错误，符合题意； 、∵， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 故选：． 3. 若是关于的二次函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【点睛】本题考查对二次函数的定义的理解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义：形如（a，b，c为常数且）可得且，然后进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵， ． 故选：C． 4. 若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的意义是解题的关键．能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将已知根代入方程即可求出m的值. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为1， ∴将代入方程得：， 即， 整理得：， 解得：， 故选：A． 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题意可知：且， 且 6. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 7. 已知二次函数，当时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，可知二次函数的开口向上，进而即可求解． 【详解】∵二次函数的对称轴为y轴，当时，y随x增大而增大， ∴二次函数的图像开口向上， ∴a-1＞0，即：， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键． 8. 某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出与之间的函数关系式． 【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意得： 与满足的函数关系式是 ． 故选：D 9. 一次函数与二次函数在同一直角坐标系中大致的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据经过点，结合一次函数的图象判断的符号，再与二次函数图象比较，即可求解． 【详解】解：∵经过点，故排除A，B选项， C选项中，一次函数，二次函数中，矛盾，故该选项不正确，不符合题意； D选项中，一次函数，二次函数中，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数图象的性质，熟练掌握一次函数与二次函数图象的性质是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中、、，抛物线经过区域（包括边界），则a的取值范围是（ ） A. 或a≥2 B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征．二次函数的二次项系数决定了抛物线开口的方向和开口的大小，，开口向上，，开口向下，越大，开口越小，据此分两种情况讨论即可． 【详解】解：如图所示： 分两种情况进行讨论： 当时， 抛物线经过点时，，抛物线的开口最小，取得最大值， 抛物线经过区域（包括边界）， 的取值范围是：； 当时， 抛物线经过点时，，抛物线的开口最小，取得最小值， 抛物线经过区域（包括边界）， 的取值范围是：； 综上，抛物线经过区域（包括边界），则a的取值范围是或， 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 请写出一个开口向下的二次函数的表达式__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次函数开口向下，二次项系数为负，可据此写出满足条件的函数解析式． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， 则二次项系数为负，即， 满足条件的二次函数的表达式为． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，二次函数的图象开口向下，二次项系数为负，此题比较简单． 12. 已知点，是抛物线上的两点，当时，的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性即可解答． 【详解】解：点，关于抛物线的对称轴对称， 对称轴为直线， 抛物线的对称轴为y轴，即直线， ， ， 当时，． 13. 某校九（1）班共有名学生，在毕业典礼上同学们互赠照片以表留念，每人给其他同学送一张照片，共送出张照片，则与之间的函数关系式为______________． 【答案】 【解析】 【详解】解：一个同学送出张，名学生共送出张， 与之间的函数关系式为． 14. 若实数满足 ，则的值为____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求解方法为解题关键．设，则原方程变形为，运用因式分解法解得，然后确定的值． 【详解】解：设，则， ，即， 解得：， ， ． 故答案为：1． 15. 若是方程的一个根，则代数式 的值为______________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由是方程的一个根， 则， ∴， ∴， ∴ ． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 16. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ，即或， ，． 【小问2详解】 解：， ， ∵，，， ， ， ，． 四、解答题：本题共8小题，共67分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 先化简，再求值：，其中是方程的根． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 由方程得， 解得， 把代入得． 18. 有1个人不小心感染了某种流感病毒，由于该种流感病毒传染性强，经过两轮传染后共有36人感染了该种流感病毒，则每轮传染中平均1个人传染了几个人？ 【答案】5个人 【解析】 【分析】设每轮传染中平均1个人传染了x个人，开始1个人感染，第一轮他是传染源，他传染了x个人，第一轮后就有个人感染病毒；第二轮传染中，这些人的每一个人又传染了x个人，用代数式表示被传染人数为人，则两轮后一共有人感染病毒，结合题中经过两轮后感染病毒的人数列出方程，解方程即可解答． 【详解】解：设每轮传染中平均1个人传染了x个人， 依题意得， ∴ 解得（负值已舍去）， 答：每轮传染中平均1个人传染了5个人． 19. 将进货单价为元的商品按元售出时，能卖出件，已知这种商品每涨元，其销售量就减少件．如果希望能获得利润元，并且使顾客得到实惠，那么售价应定多少元？ 【答案】售价应定元 【解析】 【分析】设这种商品涨元，根据利润（实际售价进价）销售量建立方程求解即可． 【详解】解：设这种商品涨元， 由题意列方程得， 整理得， 解得，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 此时售价为元 答：售价应定元． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； （1）求的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，且，求的值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根的判别式确定参数的取值范围，并结合根与系数的关系求解参数的值． （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，判别式，计算判别式并解不等式，得到的取值范围； （2）利用根与系数的关系，结合方程的两根之积为10，列方程求解，再根据（1）中的范围进行验证取舍． 【小问1详解】 解：根据题意可得： 即： 解得：； 【小问2详解】 解：在方程中，， 所以． 已知，因此： 移项得： 解得：或． 由（1）知，所以不符合条件，舍去． 因此，的值为3． 21. 如图，抛物线的图象经过点． （1）这个函数的解析式为 ； （2）抛物线上与点关于轴对称的点的坐标是 ，的面积是 ； （3）抛物线上一点满足，求点的坐标． 【答案】（1） （2） ， （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将点代入解析式求出即可； （2）关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可直接写出点的坐标，得到线段的长度，再进一步计算面积； （3）由（2）可算出的面积，再由线段的长可求出的高，利用高线的长度算出点的纵坐标，再代入解析式求出横坐标即可． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线中可得：， ∴， ∴这个函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵点和点关于轴对称，， ∴， ∴轴，， ∴． 【小问3详解】 解：由得 ，， ． 设以为底的 的高为，， ， 解得． 当时，， 解得， ∴点 的坐标为或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，关于坐标轴对称的点的坐标特征，二次函数有关面积问题等，解决问题的关键是能灵活运用这些知识． 22. 电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害。“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段，阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的铁栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），铁栅栏的形状如“山”字形． （1）若车棚占地面积，试求出电动车车棚的长； （2）若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，保持“山”字形不变，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）电动车车棚的长为 （2） 解：不能围成占地面积为的电动车车棚，理由如下： 设电动车车棚的宽 为，则车棚的长， 根据题意可得 ， 化简可得， ， 故方程无解， 则不能围成占地面积为的电动车车棚． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【小问1详解】 解：设电动车车棚的宽为，则车棚的长， 根据题意可得， 解得，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 故电动车车棚的长为； 【小问2详解】 略 23. 在平面直角坐标系中，已知点在轴正半轴上． （1）如图（1），菱形的顶点，，在二次函数的图象上，且轴，已知点，求抛物线解析式及菱形的边长． （2）如图（1），已知菱形的顶点，，在二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长． （3）如图（2），已知正方形的顶点，在二次函数的图象上，点，在轴的同侧，且点在点的左侧，设点，的横坐标分别为，，探究是否为定值如果是，求出这个值如果不是，请说明理由． 【答案】（1）；菱形的边长为 （2）菱形的边长为 （3）是， 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入解析式即可求出解析式，根据抛物线的对称性可知点，关于轴对称，由此得到线段的长，即为菱形边长； （2）设交轴于点，菱形的边长为，由此表示出点，即得到的长，利用勾股定理表示出，由此得到点的坐标，将其代入解析式即可求出的值，进一步得到菱形边长； （3）由题可得，，，,过点作轴于点，过点作轴于点，构造出“一线三垂直”的模型，得到，得到对应边相等，即，，根据图中的线段关系可得,从而得出，化简可得． 【小问1详解】 解：由题意可知，点 代入得， 则抛物线解析式为． 由题意可知，关于轴对称， 即菱形的边长为． 【小问2详解】 设交轴于点，菱形的边长为， 则． 由题意可知，关于轴对称， ， ， ， ， ， ． 把代入，得， 解得或舍去， 菱形的边长为． 【小问3详解】 为定值过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示． 点，的横坐标分别为，，正方形的顶点，在二次函数的图象上， ，， ，，，． 四边形是正方形， ，， ． ， ， ，， ∵, ， ． 点，在轴的同侧， ， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，菱形的性质，勾股定理，平方差公式，全等三角形的判定和性质，解决问题的关键是熟练运用这些知识，尤其是第三问能构造“一线三垂直”基本模型． 24. 若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称这个方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如：“快乐方程”的两个根均为整数，其“快乐数”．若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． （1）“快乐方程”的“快乐数”为________； （2）若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； （3）若关于x的一元二次方程与（m，n均为正整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，直接写出n的值． 【答案】（1） （2）m的值是0，该方程的“快乐数”是 （3）n的值为3 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及“快乐方程”的定义，熟练掌握题目中“快乐方程”，“快乐数”的定义是解题的关键． （1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，此为完全平方数，根据，得到，即可求出的值为16或25，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）关于x的一元二次方程是“快乐方程”，即可求出m的值，求出方程的“快乐数”，根据“开心数”的定义即可求出n的值． 【小问1详解】 的“快乐数”为， 故答案为： 【小问2详解】 ∵一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”， ∴， ∵， ∴， ∵为平方数， ∴，或， ∴（舍去），或， ∴原方程为， ∴“快乐数”为； 【小问3详解】 ∵x的一元二次方程（m为正整数）是“快乐方程”， ∴设（a整数）， ∴， ∴， ∵两因式同奇同偶， ∴，或，或，或， 解得，或(舍去)， ∴， ∴ ∵x的一元二次方程（n为正整数）是“快乐方程”， ∴， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得，，（舍去）． 故n的值是3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $