精品解析：湖北省大冶市城区四校2024-2025学年上学期九年级第一次月考数学试卷

大冶城区四校2024-2025学年上学期九年级第一次月考数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列函数中，是二次函数的是（    ） A. B. C. D. 2. 方程的解为（ ） A. B. C. D. ， 3. 一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是（ ） A. 1，5，1 B. 0，5， C. 1，5， D. 0，5，1 4. 将二次函数的图像向右平移2个单位长度，所得函数图像的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若，，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 初中毕业时，某班学生都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送张照片．设全班有名同学，可列方程为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用抛物线刻画，斜坡可以用直线刻画．下列结论错误的是（ ） A. 小球落地点与点O的水平距离为 B. 当小球抛出高度达到时，小球与点O的水平距离为 C. 小球与点O的水平距离超过时呈下降趋势 D. 小球与斜坡的距离的最大值为 9. 下列关于抛物线判断中，错误的是（ ） A. 开口向上 B. 顶点坐标 C. 与轴的交点为 D. 当时，随的增大而减小 10. 如图，在中，顶点，，，将与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（　　） A. B. C. ） D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知是关于的一元二次方程，则的值为______． 12. 抛物线y＝a与y＝的开口大小相等，开口方向相反，则a＝_____． 13. 某商品每个售价元时，每天能售出个，若售价每提高元，日销售量就要少售出个，若售价每提高元，则日销售量为____个．设每天利润为元，商品进价每个为元，则与的函数解析式是____．要使日利润达到最大，则每个售价应定为____元． 14. 抛物线，当时，y的最小值与最大值的和是________． 15. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论： ①当时，； ②若且，则； ③若，则； ④若抛物线上存在三点、、，当，，时，存在，则m的取值范围是． 其中说法正确的有________．（填写正确结论的序号） 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解一元二次方程： （1） （2）． 17. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）写出一个满足条件的k值，并求此时方程的根． 18. 掷实心球是中考体育项目之一，为了在体育中考中取得更好的成绩，小鹏积极训练，如图所示，实心球经过的路线是一条抛物线，掷出时，实心球出手处距离地面的高度是2，实心球的落地点为处，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，当实心球运行的水平距离为3时，达到最大高度3的处． （1）求抛物线的解析式； （2）若成绩想要达到80分，实心球出手处至球落地处的水平距离至少为8.4，小鹏此次投掷的成绩能上80分吗？ 19. 在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系xOy，△ABC的三个顶点都在格点上，A的坐标是(4，4)，请回答下列问题： （1） 将△ABC向下平移六个单位长度， 画出平移后的△A1B1C1，并写出点A的对应点A1的坐标； （2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点A2的坐标； （3）判断△A1B1C1与△A2B2C2是否关于某点成中心对称；若是，请画出对称中心M，并写出点M的坐标 20. 已知二次函数的图象经过两点， （1）求二次函数解析式． （2）判断点是否在这个二次函数图象上，并说明理由． 21. 社区利用一块矩形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少？ （2）该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元． 22. 如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点，连接，． （1）求该二次函数的解析式； （2）求的面积． （3）点P是抛物线上的一动点，若的面积是面积的，求点P的坐标 23. 在等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，连接，M是的中点，连接，． （1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ． （2）探究证明：把绕点B顺时针旋转一周，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由． （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，P为平面内一动点，且，连接，D是的中点，连接．请直接写出的最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大冶城区四校2024-2025学年上学期九年级第一次月考数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列函数中，是二次函数的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义及一般形式是解题的关键．二次函数的一般式是，其中． 根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A，是二次函数，故本项符合题意；     B，不是二次函数，故本项不符合题意；     C，不是二次函数，故本项不符合题意；     D，不是二次函数，故本项不符合题意； 故选：A． 2. 方程的解为（ ） A. B. C. D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据因式分解法计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：，， 故选：D． 3. 一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是（ ） A. 1，5，1 B. 0，5， C. 1，5， D. 0，5，1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为（其中，，，是常数），其中，，分别叫做二次项系数，一次项系数，常数项，由此即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解此题的关键． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是1，5，， 故选：C． 4. 将二次函数的图像向右平移2个单位长度，所得函数图像的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图像的平移变换，“左加右减，上加下减”，根据所得的顶点式，即可求解， 本题考查了图像的平移变换，解题的关键是：熟记变换规则． 【详解】解：将二次函数的图像向右平移2个单位长度，得：， 平移后的函数图像顶点坐标为：， 故选：． 5. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若，，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD知∠AOC=∠BOD=60°，AO=CO=4、BO=DO，可判断C正确；由△AOC、△BOD是等边三角形可判断A选项；由∠AOB=35°，∠AOC=60°可判断B选项，据此可得答案． 【详解】∵△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD， ∴∠AOC=∠BOD=60°，AO=CO=4、BO=DO， 故C选项正确； 则△AOC、△BOD是等边三角形， ∴∠BDO=60°， 故A选项正确； ∵∠AOB=35°，∠AOC=60°， ∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=60°-35°=25°， 故B选项正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等及等边三角形的判定和性质． 6. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了根与系数的关系，一元二次方程，当方程有解，即时，设方程两根分别为，则有，将原题第二个等式左右两边同时除以，变形后与第一个等式比较，得到与为方程的两个解，利用一元二次方程根与系数的关系即可求出所求式子的值． 【详解】解：当时，， ∴， 将变形得：， 又， 与为方程的两个解， ∴． 故选：A． 7. 初中毕业时，某班学生都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送张照片．设全班有名同学，可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如果全班有名同学，那么每名同学要送出张，共有名学生，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程． 【详解】解：∵全班有名同学， ∴每名同学要送出张； 又∵全班同学是互送照片，总共送的张数是1260， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题的关键． 8. 如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用抛物线刻画，斜坡可以用直线刻画．下列结论错误的是（ ） A. 小球落地点与点O的水平距离为 B. 当小球抛出高度达到时，小球与点O的水平距离为 C. 小球与点O的水平距离超过时呈下降趋势 D. 小球与斜坡的距离的最大值为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，令，解得，，即可判断A；把代入得，求解即可判断B；将抛物线解析式化为顶点式即可判断C；设抛物线上一点的坐标为，作轴于C，交直线于，过点A作直线的垂线，垂足为D，则，表示出，再求出，即可判断D，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：令，解得，， ∴小球落地点与点O的水平距离为，故A正确，不符合题意； 把代入得， 解得：，， ∴当小球抛出高度达到时，小球与点O的水平距离为或，故B错误，符合题意； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，随的增大而减小， ∴小球与点O的水平距离超过时呈下降趋势，故C正确，不符合题意； 设抛物线上一点的坐标为，作轴于C，交直线于，过点A作直线的垂线，垂足为D，则， ， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴当有最大值时，也有最大值，最大值为， ∴小球与斜坡的距离的最大值为，故D正确，不符合题意； 故选：B． 9. 下列关于抛物线判断中，错误的是（ ） A. 开口向上 B. 顶点坐标 C. 与轴的交点为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，当时，， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为，与轴的交点为，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小； 综上：只有选项D是错误的， 故选：D． 10. 如图，在中，顶点，，，将与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（　　） A. B. C. ） D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再利用正方形的性质确定，由于，所以第70次旋转结束时，相当于与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转，此时旋转前后的点D关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点D的坐标． 【详解】解：，， ， 四边形ABCD为正方形， ， ， ， 每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转， 点D的坐标为． 故选D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知是关于的一元二次方程，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键． 直接利用一元二次方程的定义知道二次项系数不为0同时x的最高次幂为2，得出m的值进而得出答案． 【详解】解：由题意知：且， 解得， 故答案为：． 12. 抛物线y＝a与y＝的开口大小相等，开口方向相反，则a＝_____． 【答案】##﹣0.5 【解析】 【分析】两个抛物线的开口大小相等、方向相反时，其二次项系数互为相反数． 【详解】解：∵抛物线y＝a与y＝的开口大小相等，开口方向相反 ∴a． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，a决定抛物线的开口大小和开口方向． 13. 某商品每个售价元时，每天能售出个，若售价每提高元，日销售量就要少售出个，若售价每提高元，则日销售量为____个．设每天利润为元，商品进价每个为元，则与的函数解析式是____．要使日利润达到最大，则每个售价应定为____元． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】由每天能售出500个，若售价每提高1元，日销售量就要少售出10个，即可推到出答案；由总利润销售数量单个利润即可求解． 本题考查了二次函数的应用销售问题的数量关系的运用，利润售价进价的运用，二次函数的解析式的性质的运用，二次函数的最值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键． 【详解】解：若售价每提高元，日销售量就要少售出个，则日销售量为：， 设每天利润为元，商品进价每个为元，则与的函数解析式是： ， ∵， ∴当利润最大时，可得：， ∴此时每个售价为：（元）， 故答案为：，，． 14. 抛物线，当时，y的最小值与最大值的和是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先根据解析式得到抛物线顶点坐标为，且抛物线开口向下，则y的最大值为3，离对称轴越远，函数值越小，且对称轴为直线，再根据自变量的取值范围推出当时，函数有最小值，据此求出最小值即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴抛物线顶点坐标为，且抛物线开口向下， ∴y的最大值为3，离对称轴越远，函数值越小，且对称轴为直线， ∵， ∴当时，当时，函数有最小值，最小值为， ∴y的最小值与最大值的和是， 故答案为：． 15. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论： ①当时，； ②若且，则； ③若，则； ④若抛物线上存在三点、、，当，，时，存在，则m的取值范围是． 其中说法正确的有________．（填写正确结论的序号） 【答案】①③ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的性质等等． 由抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，，据此可判断①；根据题意可得直线和直线关于对称轴对称，则，据此可判断②；先由对称轴公式得到，再由，得到，点B的坐标为，把代入抛物线解析式中求出，则点B的坐标为，据此可判断③；由题意可得，且，，且离对称轴最远，离对称轴最近，从而得到，，又，，因此，，求解即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，， ∴当时，，即，故①正确； 当且时，则直线和直线关于对称轴对称， ∴，故②错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B的坐标为， 把代入抛物线解析式中得， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∴，故③正确； ∵当，，时，存在， ∴，且，，且离对称轴最远，离对称轴最近， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 解得，故④错误． 综上所述，说法正确的有①③． 故答案为：①③ 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解一元二次方程： （1） （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和因式分解法是解此题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 17. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）写出一个满足条件的k值，并求此时方程的根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程（）的根与系数的关系． （1）先根据方程有两个不相等的实数根得出，解之可得； （2）在以上所求的范围内取一值，如，再解方程即可得． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：取，此时方程为， 解得：． 18. 掷实心球是中考体育项目之一，为了在体育中考中取得更好的成绩，小鹏积极训练，如图所示，实心球经过的路线是一条抛物线，掷出时，实心球出手处距离地面的高度是2，实心球的落地点为处，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，当实心球运行的水平距离为3时，达到最大高度3的处． （1）求抛物线的解析式； （2）若成绩想要达到80分，实心球出手处至球落地处的水平距离至少为8.4，小鹏此次投掷的成绩能上80分吗？ 【答案】（1） （2）不能 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、解一元二次方程、实数比较大小等知识，正确解得该抛物线解析式是解题关键． （1）根据题意，设该抛物线解析式为，然后将将点代入求解即可； （2）对于抛物线，令，解得的值，进而确定点坐标，根据题意比较点横坐标与8.4的大小，即可获得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，可得，该抛物线顶点坐标为， 设该抛物线解析式为， 将点代入，可得， 解得， ∴该抛物线解析式为； 【小问2详解】 对于抛物线， 令，可得， 整理可得， 解得，， ∵点在轴正半轴上， ∴， 又∵， ∴小鹏此次投掷的成绩不能上80分． 19. 在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系xOy，△ABC的三个顶点都在格点上，A的坐标是(4，4)，请回答下列问题： （1） 将△ABC向下平移六个单位长度， 画出平移后的△A1B1C1，并写出点A的对应点A1的坐标； （2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点A2的坐标； （3）判断△A1B1C1与△A2B2C2是否关于某点成中心对称；若是，请画出对称中心M，并写出点M的坐标 【答案】 (1) 如图，△A1B1C1即为所求，点A的对应点A1的坐标： (4，-2) (2)如图，△A 2B2C2即为所求，点A2的坐标(-4，-4) (3)如图，△A 1B1C1与△A2B2C2关于点M成中心对称，M (0，-3) . 【解析】 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C向下平移6个单位的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A1的坐标； （2）根据网格结构找出点A、B、C关于原点对称的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A2的坐标即可； （3）根据中心对称的定义判断，对称中心是各个对应点连线的交点. 【详解】略． 【点睛】本题考查作图，旋转变换，平移变换，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题. 20. 已知二次函数的图象经过两点， （1）求二次函数解析式． （2）判断点是否在这个二次函数图象上，并说明理由． 【答案】（1） （2）在二次函数的图象上 【解析】 【分析】（1）根据点、的坐标，利用待定系数法即可求出该二次函数的解析式； （2）将代入二次函数解析式中求出值，结合二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论． 【小问1详解】 解：将、代入中， 得：，解得：， 该二次函数的解析式为． 【小问2详解】 当时，， 点在这个二次函数的图象上． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标特征利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 21. 社区利用一块矩形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少？ （2）该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元． 【答案】（1）6m （2）20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． （1）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可； （2）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出方程并解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得 ， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米． 【小问2详解】 解：设当每个车位的月租金上涨a元时，停车场的月租金收入为10 920元， 根据题意得， ， 整理得，， 解得或（舍去）． 答：当每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为10 920元． 22. 如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点，连接，． （1）求该二次函数的解析式； （2）求的面积． （3）点P是抛物线上的一动点，若的面积是面积的，求点P的坐标 【答案】（1） （2）8 （3）点的坐标为、、、 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可； （2）先将二次函数解析式化为顶点式，由此可得顶点D的坐标，再根据A、B两点坐标求得AB的长，由此即可求得的面积； （3）利用的面积得出的面积，进而求出点纵坐标，由此即可求得点P的坐标． 【小问1详解】 解：将点，点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 ∵， ∴顶点， 点，点， ， ； 【小问3详解】 的面积是面积的， ， ， ， 解得：， 点纵坐标为2或， 当点纵坐标为2时，则， 解得：，， 此时点坐标为：或， 当点纵坐标为时，则， 解得：，， 此时点坐标为：或， 综上所述：点的坐标为、、、． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征以及三角形面积求法等知识，注意运用分类讨论思想是解题关键． 23. 在等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，连接，M是的中点，连接，． （1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ． （2）探究证明：把绕点B顺时针旋转一周，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由． （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，P为平面内一动点，且，连接，D是的中点，连接．请直接写出的最值． 【答案】（1）， （2） 成立，证明如下： 如图，延长到点，使，连接，，延长到点，使，连接，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 同理可得：，， ∴，即， ∴， ∴，， ∵，M是的中点，， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∴，即； （3）的最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质得出，，从而得出，由等边对等角得出，，由三角形外角的定义及性质得出，最后再由等腰直角三角形的性质即可得出答案； （2）延长到点，使，连接，，延长到点，使，连接，，证明，得出，，同理可得：，，证明，得出，，由三角形中位线定理可得，，，，得出，由平行线的性质得出，，求出，即可得解； （3）连接，，由题意得出，，，以为斜边作等腰直角三角形，连接，，由等腰直角三角形的性质得出，由（2）可得，，，同理可得：，结合，得出当点在线段上时，取得最小值，即取得最小值，当点在的延长线上时，取得最大值，即取得最大值，即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，M是的中点， ∴，， ∴，，， ∴， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴，即； 故答案为：； 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：如图，连接，， ， ∵点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， ∴，，， 以为斜边作等腰直角三角形，连接，， ∵，， ∴， ∴， 由（2）可得，，， 同理可得：， ∵， ∴当点在线段上时，取得最小值，即取得最小值，此时，； 当点在的延长线上时，取得最大值，即取得最大值，此时，； 综上所述，的最小值为，最大值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、坐标与图形、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $