陕西咸阳市实验中学2026-2027学年高二上学期第一次质量检测数学试卷

绝密*启用前 咸阳市实验中学2026—2027学年度第一学期第一次质量检测 高二数学 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上。 需 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 批 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收。 第1卷（选择题共58分） 州 一、 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.直线x-2y-2=0在y轴上的截距为() 归 A.-2 B.2 c.-1 D.1 2. 已知向量a=(5,)是直线1的方向向量，则直线1的倾斜角为() A.30° B.60 C.120° D.150° 栽 3.若向量41=（-3，y,2),42=(6,-2,z),且41/1u2,则yz的值是() 螺 A.-3 B.5 C.3 D.-5 4.向量{，2，已}是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量ā，存在唯一的有序实数组 (x,y,z),使得：ā=x+y吧，+z,我们把有序实数组(x,y,z)叫做基底8，已，6}下向量ā的斜坐标. 设向量p在基底a,b,c下的斜坐标为(1，-2,5)，则向量p在基底{a+b,b+c,c+下的斜坐标为() A.(-3,-1,4)B.(3,1,-4) C.(3,-1,-4)D.(-3,1,4) +) 5.如图，在棱长为4的正方体ABCD-AB,CD中，E为BC的中点，P为DE的中点，则点P到 0) 直线BB的距离为() A.√5 B.3 C.2W2 D.13 高二数学试题第1页共4页 6.己知直线1：x+y+3=0和直线l2:3x+(-2y+m=0,则=5”是“☑∥12”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.若点P(x,y)在以A(-3,1),B(-1,0),C(-2,0)为顶点的△ABC的内部运动（包含边界），则 y-2的取值范围是（） x-1 a别 B.2 c[别 D. 8.如图，已知ABCD,ABEF均为正方形，二面角C-AB-F的大小为60，则异面直线AC与BF 所成角的余弦值为() D B A B C.v D.5 2 4 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.给出下列命题，其中正确的是() A.=(2,-1,1),b-(-4,2,x),若a与b垂直，则x=10 B.点A(1,2,3)关于平面vOz的对称点是C,则点C的坐标是(1，-2，-3) C.已知向量a=(9,4,-4),b=(1,2,2),则a在6上的投影向量为(1,2,2) D.若对空间中任意一点0，有OP=OA+O丽+0C,则P、A、B、C四点共面 4 10.己知棱长为1的正四面体ABCD中，M、N分别为BC,AD中点，O为△BCD的重心，则下 列说法正确的() A.直线AM与CN夹角的余弦值是 B.二面角A一BC-D的余弦值是} C.正四面体ABCD的外接球表面积为上π 2 DAO-14B+LAC+LAD 3 3 3 11.已知正方体ABCD-AB,CD,的棱长为L,AP=AB+uAD,其中元，4∈[0，小，点E为线段AA的 中点，则下列选项正确的是() 高二数学试题第2页共4页 A.I=2时，AP1ED B.九=4时，三棱锥D-EBP的体积为定值 C.+u=1时，直线AP与面BD,E的交点轨迹长度为2 3 D.当点P落在以C为球心，√2为半径的球面上时，九+4的最小值为I 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.两条平行直线l:2x+y+1=0与1，：4x+2y+3=0的距离为 12 13.若a>0,b>0,直线ax+2y-3=0和x+(b-1)y+2=0垂直，则二+二的最小值为 a b 14.四边形ABCD和四边形ABEF均为正方形，AB=2,∠CBE=120°，动点M、N分别在AE和DB 上，EFBN,则IMM的最小值为 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 3 15.(本题共13分)已知直线I的倾斜角为a,©0s0=2,且这条直线经过点A 32 (1)求直线1的方程； (2)直线-y+1-√3k=0恒过定点B,求点B到直线l的距离. 16.(本题共15分)如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形， 且AM=4,∠AB=∠A4D=号 B AB=a AD=b AA=c (1)用ā，b,c,表示AB和AC: (2)求直线AB和AC夹角的余弦值. 高二数学试题第3页共4页 17.(本题共15分)已知直线1：x-y+2=0,12:2x+y-8=0,设直线l与1的交点为P,点Q的 坐标为(2,0). (1)求经过点P且满足横截距是纵截距2倍的直线方程： (2)求点Q关于1对称点的坐标。 18.（本题共17分)如图，在三棱柱ABC-AB,C中，底面是边长为2的等边三角形，CC1=2, D,E,H,F分别是线段AC,CC1,BB,B,C1的中点，C1在平面ABC内的射影为D (I)求证：AH∥平面BDE: (2)求点F到平面BDE的距离： (3)求二面角E-BD-F的余弦值。 19.(本题共17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为6的正方形，平面PAD⊥平 面ABCD,平面PAB⊥平面ABCD,点E是棱PD的中点，点F是棱PC上的一点（不包含端点）· (I)求证：PA⊥平面ABCD: (②)若PA=6,且平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为 3 (i)求三棱锥P-AEF的体积： (i)记平面AEF交PB于点G,点H在平面PBC上，求GF与平面HAD所成角的正弦值的取值 范围。 高二数学试题第4页共4页成阳市实验中学2026一2027学年度第一学期第 高二数学参考答案 一.选择题 1.C2.A3.B4.D5.D6.A7.C8.A 二.多选题 9.ACD 10.ABD 11.ABC 三.填空题 2. 14.√5 10 四、解答题 15.(本题共13分) 解(1D由题可得casa=方ae0列，则a=T,ma-52分 ∴直线的斜率k=-√3，且直线过点A 52 31 ∴由直线的点斜式方程得l:y-2=-5 √3 3 3分 即V5x+y-3=0;1分 (2)直线-y+1-√k=0化简得：k(x-V3)-y+1=0,1分 令8年仁，元点5小3分 x=5 则点B(W3,1)到直线1：√3x+y-3=0的距离d= W5×5+1-3_1 VW5)2+122 3分 ∴B到直线1的距离为与 16.(本题共15分). 解：(1)由题可知，在平行六面体ABCD-AB,CD,中， AC=AB+BC+CC=AB+AD+AA =a+b+C........ AB=AB-AA==a-c2分 第1页，共6页 次质量检测 (2)a-6=0.ac-bcos写-2x4x346c-os写-2x4x34 3 2 2 MGI=V(4G)=a+B+0) =√+b2+c2+2a.b+2a.c+26.G =V22+22+42+2×4+2×4=2W10..3分 4B=Va-c)2=√2+c2-2ac=v22+42-2×4=2√32分 AC1AB=(a+b+c)(a-c)=d2-e2+ab-bc=22-42-4=-16 所以cos<AB,AC1>=ABAG -16 AIBACI -2√5x2VI而 15 2分 所以直线AB和AC夹角的余弦值为2√30 151分 17.(本题共15分) 解：(1)直线与的交点为P,设点P(x,y), 2x+y-8=0'解得 则 x-y+2=0 =4P(24),2分 x=2 直线经过点P,记横截距a,纵截距b,则a=2b, 若a=2b=0时，直线过原点，直线方程y=2x,一般方程为2x-y=0;… 24-1 若a=2b≠0时，设直线方程为+=1，则a6,解得{ a=10 a b a=2b b=5 直线方程x+兰=1，一般方程为x+2y-10=0: 105 综上，直线方程为2x-y=0或x+2y-10=0.1分 (2)设点Q关于12对称点Q(,%), 则QQ的中点C 2+0 2’2 1分 C位于直线2上，且QQ所在直线垂直于直线l2, 2.2+名+h-8=0 26 2 2 X0= 。1 ，解得{ 5 8’4分 x-22 %5 55 268 。l分 第2页，共6页 3分 W 3 公 C 0' 9 x 3分 3分 18.(本题共17分) (1)证明：连接AC1,CH 由题意知D,E分别是线段AC,CC的中点，所以AC1∥DE 又因为DEC平面BDE,AC,丈平面BDE,所以ACI平面BDE E,H分别为CC,BB,的中点，所以BE IHC 又因为BEC平面BDE,HC,t平面BDE.所以HCI平面BDE 又因为ACHC=C,所以平面AHCI平面BDE 所以AH‖平面BDE..6分 解：(2)由(1)知：CD⊥平面ABC,BD⊥AC: 则以D为坐标原点，DB,DA,DC正方向为x,y,2轴正方向，建立如图空间直角坐标系，(1分) -a.s9- 设平面BDE的法向量=(x,y,), 碳m=点：=0=1.解：0.，m05,2分 D死.m=√3x=0 则 2 点F到平面BDE的距离d= /33 DF.m 23W3;2分 24 (3)由(2)知：平面BDE的一个法向量m=（0,V5,1):1分 第3页，共6页 D8=(50,0） 设平面FBD的法向量i=(a,b,c), DB=3a=0 DF=v3 1. 2a+b+3c=0 令c=-1,得a=0,b=2W3 2 ∴.平面FBD的一个法向量是元=(0,2√3，-1) .2分 设二面角E-BD-F为6，由图知为锐角 1分 故cos日= (0,3,10(0,23,-1) 5V13 ..2分 列 2×V(2W3)2+(1)2 26 19.(本题共17分) (1)证明： 因为底面ABCD是边长为6的正方形，所以AB⊥BC,AD⊥CD, 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD,CDC平面ABCD, 所以CD⊥平面PAD,又因为PAC平面PAD,所以CD⊥PA,2分 因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,BCC平面ABCD, 所以BC⊥平面PAB,又因为PAc平面PAB,所以BC⊥PA,1分 又因为BCOCD=C,BC,CDC平面ABCD,所以PA⊥平面ABCD.1分 (2)(1)由(1)知PA⊥平面ABCD,又AB,ADc平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD,又 AB⊥AD, 则以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标 系，1分 2◆ F B 可得：D(0,6,0),P(0,0,6),B(60,0),E(0,3,3),C(6,6,0), 第4页，共6页 所以AE=(0,3,3),PC=(6,6,-6),AP=(0,0,6), 设P℉=PC=(62,6,62)0<元<1)， 则AF=AP+PF=(0,0,6)+(62,62,62)=(6元，6元，6-62) =0, 设平面AEF的法向量为=(x,y,z),则 n·AF=0, 3y+3z=0 62x+62y+6(1-2)z=01 取y=2,解得z=-1,x=1-22,则i=(1-2九，九，-九)，2分 因为AP⊥平面ABCD,所以AP=(O,0,6)是平面ABCD的一个法向量. 因为平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为 3 所以cos(i,AP)= 1-62 ⑤ 6W0-222+22+(-23’ 解得=写或1=1（舍），所以PF=PC,2分 所以三棱锥P-ABF的体积m=eE=p名 1 3 6 111 =二×二×号×6×6×6=6.1分 632 (i)设PG=PB,则AG=AP+4PB=(0,0,6)+(6,0,-6)=(64,0,6 白0可知后-(G行)为平面6CF的个法向量，前以万1G 所以AG.i=2μ-(2-20)=4μ-2=0，解得1=2’1分 所以GF=PF-PG=(2,2,-2)-(3,0,-3)=(-1,2,1), 因为H在平面PBC上，所以Bi=SBC+tBP,1分 所以AH=AB+sBC+1BP=(6,0,0)+s(0,6,0)+1(-6,0,6)=(6-61,6s,61) mAD=0, 设平面HAD的法向量m=(x,,)，则 m.AH=0, 即 6y=0 (6-61)x+6y,+6z,=01 第5页，共6页 LVP-ACD 6 64）,1分 1分 取x=1得火=0,21=t-1,则m=(t,0,t-1),…1分 设GF与平面HAD所成角为O, 1 1 则m0-0osGF.m6P+-yV6N2-21+-1分 因为2-2+1e[小 m00 即GF与平面AD所成角的正弦值的取值范围为0，？ 1分 第6页，共6页