陕西省咸阳市彩虹学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

咸阳彩虹中学2025-2026学年度第一学期12月考试 高二年级数学试题 命题：何军元、胡永鹏、蒋文丽 审题：何军元、胡永鹏、蒋文丽 本卷满分150分，考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知直线与垂直，则实数（ ） A. 3 B. -3 C. 2 D. 1 3. 已知等差数列满足，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 已知平行于轴的直线与双曲线：的两条渐近线分别交于、两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 设、，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 不能确定 6. 如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ） A. // B. C. //平面 D. 平面 7. 若已知椭圆，长轴在轴上，若焦距为4，则等于（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 8. 已知数列的前项和为，且，，数列满足，记的前项和为，若恒成立，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有2个正确选项.每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分. 9. 直线，圆，下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 圆与轴相切 C. 当时，直线与圆相切 D. 当时，直线与圆相交 10. 已知椭圆，、是的焦点，过且垂直于轴的直线截椭圆所得弦长为，是上一动点，是圆上一动点，则（ ） A. B. 椭圆离心率为 C. 圆与圆相切 D. 的最大值为4 11. 在棱长为2的正方体中，点是线段上的动点，点是线段的中点．则下列说法正确的是（ ） A. 若点是的中点，则过、、三点的正方体的截面的周长是 B. 三棱锥的体积是定值 C. 直线与平面所成的线面角的正弦值是 D. 异面直线与所成的角的最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分.共15分. 12. 若点到点的距离比它到定直线的距离小1，则点满足的方程为_____________ 13. 人教A版选择性必修第一册教材44页“拓广探索”中有这样的表述：在空间直角坐标系中，设是平面内的任意一点，若平面经过点，且以为法向量，则由，可得，此即为平面的点法式方程．利用上面给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为______． 14. 阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称亚历山大时期数学三巨匠.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆.”人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点P是满足的阿氏圆上的任意一点，则该阿氏圆的方程为___________；若Q为抛物线上的动点，Q在y轴上的射影为M，则的最小值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 15. 在数列中，且满足（且）． （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前项和． 16. 已知圆，直线. （1）求证：直线恒过定点； （2）直线被圆截得的弦长何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知双曲线C：的虚轴长为4，直线为双曲线C的一条渐近线. （1）求双曲线C的标准方程； （2）记双曲线C的左顶点为A，过点的直线交双曲线C于点M，N（点M在第一象限）. ①当直线的斜率为1时，求； ②记直线斜率为，直线斜率为，求证：为定值. 19. 如图，在四面体中，点在平面内的射影恰在棱上，为的中点，，，和的面积均为1. （1）若，且与均为锐角 ①证明：平面； ②求二面角的大小； （2）若将A，B，H三点在空间中的位置固定，试分析D点的轨迹是什么曲线，说明理由，并求出该曲线的离心率. 咸阳彩虹中学2025-2026学年度第一学期12月考试 高二年级数学试题 命题：何军元、胡永鹏、蒋文丽 审题：何军元、胡永鹏、蒋文丽 本卷满分150分，考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有2个正确选项.每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分. 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分.共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. 或（） ②. 四、解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）（且）， （且）， ， 所以是首项为2，公比为2的等比数列． （2） 【16题答案】 【答案】（1） 直线，即， 联立，解得， 则不论取何值，直线必过定点； （2）直线时直线被圆截得的弦长最短，，最短弦长为. 【17题答案】 【答案】（1） 以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 因为为棱的中点，为棱的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 因为，所以， 因为平面，所以平面. （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）①， ②证明：， 当直线垂直轴时，过点的直线的方程为， 将代入双曲线中得，解得 则， ，，， 当直线不垂直轴时，过点的直线的方程为， 联立直线和双曲线，即，消去， 得到关于的一元二次方程， 整理得到，设， ，， ，， . 综上可知，为定值. 【19题答案】 【答案】（1）①证明： 因为点在平面内的射影恰在棱上，所以. 又因为，所以. 因为和的面积均为1，所以， 又与均为锐角，所以. 所以. 所以. 又，平面，所以平面. ② （2）因为的面积为1，，所以点到直线的距离为1. 因此点在以直线为轴，底面半径为1的圆柱的侧面上运动. 由题意知平面，，所以直线与平面所成的角为. 如图，平面与圆柱斜交，则平面与圆柱侧面的交线就是点的运动轨迹. 易知该交线为椭圆（直线与此椭圆的两个交点除外） 且椭圆的长轴长为，短轴长为2. 所以椭圆的焦距为. 所以椭圆的离心率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $