第03讲-基本不等式讲义-2023-2024学年高一上学期期中数学复习专题

第03讲 基本不等式 1、 知识梳理 1.不等式的性质：对称性、传递性、可加性、可乘性、可乘方、可开方 2.均值不等式：≤（a≥0，b≥0），当且仅当a＝b时取等号. 其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数. 3.两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. 4.利用均值不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小). (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大). 5.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式. 6.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0). (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. [方法技巧] 1.有关分数的性质 (1)若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0). (2)若ab>0，且a>b⇔<. 2.≤≤≤(a>0，b>0). 2、 经典例题 考点一　不等式的性质 【例1】已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是(　　) A.ab>ac B.c(b－a)<0 C.cb2<ab2 D.ac(a－c)>0 【变式】《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的直角边长分别为a和b，则该图形可以完成的无字证明为（　　） A． B． C． D． 【例2】已知，，则（ ） A． B． C． D．，大小不确定 【例3】若a＞b＞0，m＞0，n＞0，则，，，按由小到大的顺序排列为（　　） A． B． C． D． 【变式】甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑 步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（　　） A．甲先到教室 B．乙先到教室 C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定 【例4】已知P，Q＝a2﹣a+1，则P、Q的大小关系为（　　） A．P＞Q B．P＜Q C．P≤Q D．无法确定 【例5】（多选）设为实数，满足，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 考点二　利用均值不等式 【例1】已知，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式】已知，函数的最小值为（ ） A．4 B．7 C．2 D．8 【例2】已知，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式】已知，，且，则的最小值是 ． 【例3】已知，则函数的最小值是______. 【变式】若，则的最大值为______. 二元最值 【例4】已知正数满足求的最小值______. 【变式】已知，且求的最小值______. 【例5】若正数，满足，则的最小值为________. 【变式】已知正数满足，则的最小值为______. 代入换元 【例6】已知正实数满足，则的最小值为 ． 【变式】若正实数满足，则的最小值为 ． 【变式】已知，，求得最小值______. 规律方法　在利用均值不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路： (1)对条件使用均值不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等. (2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. 用函数y＝x＋(m>0)的单调性. 考点三　一元二次不等式的解法　 【例1】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【例2】若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 不等式求参数 【例3】若不等式对一切实数都成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式】已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例4】某城市对一种售价为每件元的电子产品征收附加税，税率为（即每销售元征税元），若年销售量为万件，要使附加税不少于万元，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． [方法技巧] 含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分