专题03 不等关系与简单不等式（知识点串讲）-2020-2021学年高一上学期数学期中期末考点大串讲（新教材苏教版必修第一册）

专题03 不等关系与简单不等式（知识点串讲） 【知识点--考点思维导图】 【重难突破】 知识点一 不等式的性质及应用 1、 两个实数比较大小的依据 (1)a－b＞0⇔a＞b. (2)a－b＝0⇔a＝b. (3)a－b＜0⇔a＜b. 2、 不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc； a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (5)可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方性：a＞b＞0⇒eq \r(n,a) ＞ eq \r(n,b)(n∈N，n≥2)． 典例1（2020·河北省石家庄二中高一期末）若 、 、 为实数，则下列命题正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 变式1-1（山东日照高一期末）已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　) A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b 变式1-2 若eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)＜0，给出下列不等式：①eq \f(1,a＋b)＜eq \f(1,ab)；②|a|＋b＞0；③a－eq \f(1,a)＞b－eq \f(1,b)；④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是(　　) A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ 变式1-3 （2020·山东省济南一中高一月考）（多选题）下列命题为真命题的是（） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 且 ，则 知识点二 一元二次不等式的解法 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实数根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实数根x1＝x2＝－eq \f(b,2a) 没有实数根 一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(,,,,,))x≠－\f(b,2a))) R 一元二次不等式 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 典例2解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0； (2)0＜x2－x－2≤4. 变式2-1 【江苏徐州高二上学期期末】一元二次不等式的解集是 ( ) A． B． C． D． 变式2-2 求下列不等式的解集： (1)－x2＋8x－3>0；(2) ≤0  变式2-3 （2020·山东省实验高一月考）不等式 的解集为 ，则能使不等式 成立的 的集合为（ ）. A． B． C． D． 变式2-4 【辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019-2020学年高二上学期期末】关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_______． 知识点三 一元二次不等式的含参讨论 含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论思想的应用. 典例3（江苏苏州高二期末）解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)。 变式3-1 （辽宁师大附中2019届模拟）求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集 变式3-2 ax2－(a＋1)x＋1<0. 知识点四 一元二次不等式的恒成立问题 由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法 1.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＞0，, b2－4ac＜0.)) 2.一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＜0，, b2－4ac＜0.)) 在给定区间上的恒成立问题 (1)若f(x)＞0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)． (2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a. 典例4【河北省鸡泽一中2017-2018学年高二下学期第一次月考】在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数