山东淄博市张店区第七中学（五四制）2026-2027学年八年级上学期10月学情自测数学试题

【2026.10.10】初三上月考数学试卷-张店七中 一. 选择题（共10小题，每题4分） 1.下列变形属于因式分解的是( ) A.x2-2x+3=(x-1)2+2 B.(-2x+3y)(2x+3y)=-4x2+9y2 C.a2-2at1=a(a-2)+1 D.3x2y-xy=xy（3x-1) 2.下列多项式能用平方差公式分解的因式有() (1)a2+b;(2)x2-y2;(3)-m2+n2;(4)-b2-a2:(5)-+4. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.下列分式是最简分式的是() A.2a a2-ab 3a2b B器 C.atb a2+b2 D. a2-b2 4.根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形正确的是() A.=x+1 B.x1 yy+1 xty1ty D.xty =-1 x-y 2xy 5.把分式。中的x和y都扩大2倍，分式的值() 2x-y A.不变 B.扩大2倍 C缩小为原来时 D.扩大4倍 6.因式分解x2+ax+b,甲看错了a的值，分解的结果是(x+6)(x-2),乙看错了b的值，分解的结果为(x-8)(x+4), 那么x+x+b分解因式正确的结果为() A.(x+3)(x-4)B.(x+4)(x-3) C.(x+6)(x-2)D.(x+2)(x-6) 2x 7.化简22x+1x+3a的堡 一的结果为，则=() A.4 B.3 C.2 D.1 8. 一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时.若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m 千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少() A.ot B.t-mt m+v C.mt D.vt 一t m+v m+v m+v 9.若、b、c是正整数，且a>b,a2-ab-ac+bc=7,则a-c等于() A.-1 B.-1或7 C.1 D.1或7 10.已知=马且g方⅓%1 1 1 1一， 则y2024为() 1 x-1 x-2 A.x-1 B.2-x C. D. X-2 x-1 二.填空题（共5小题，每题4分) 11.分解因式：x3y-12x+36y= 12.若x+(2-m)x+是关于的某个整式的平方，则常数m的值为 3.已知非零实数a,b满足子+方=3，则十2a叶也的体 2ab-a-b 的值等于 14名”平2则公6的值是-一 a b 3 15.对于实数ab,定义一种新运算“⊕”，⑥b=2a而这里等式的右边是实数运算，按此规定，则方程x田( 2》-日马的解是 三.解答题（共9小题） 16.因式分解： (1)(x-1)(x-3)+1: (2)(x-2)2-x+2; (3)x2(-n)+y2(n-): (4)(y2-1)2-6(y2-1)+9. 17.解方程： (1)1 23=2 4 x-3x-3 a2-2a+1 计绕①)先化简，再求值1么么 a+7),再从0,1,2中选择一个合适的a值代入求值： (2)先化简，再求值：(24)*产22其中x与2,3构成△MC的三边，且x为整数 19.如图①，六个小图形拼成一个大长方形，大长方形面积=长×宽=(+2b)(a+b),六个小图形面积之和 a2+ab+ab+ab+b2+b2=2+3b+2b2,可得等式：(at2b)(+b)=2+3bt2b2. (1)仿照上面的方法，由图②可得等式： (2)通过以上探究，我们发现可以利用长方形的面积进行因式分解，那么因式分解：a+b+2ab+ac+bc= (3)利用(1)所得的等式，解决以下问题：已知a+b什c=5,+b+c2=15,求b+bc+ac的值. a b Q a b b ① ② 20.阅读下面的材料并解答后面的问题： 【阅读】 小亮：你能求出x+4x+5的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小华：能.求解过程如下： x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1 因为(x+2)2≥0， 所以当x=-2时，(x+2)2的值最小，最小值是0. 所以(x+2)2+1≥1. 所以当(x+2)2=0时，(x+2)2+1的值最小，最小值是1. 所以x2+4x+5的最小值是1. 依据上述方法，解决下列问题： (1)将x2-10x+27变形为(x-m)2+n的形式 .,则x2-10x+27的最小值为一： (2)求多项式-2x2+4x+9有最大值， 21.阅读下面的解题过程： 己知x 1 x2 的值。 x4+1 解-号知0，所以生3.即+ 所学-2+京=+-2x-g22 所以3 1 +的值为 说明：该题的解法叫做“倒数法”. 请你利用“倒数法”解下面题目： 已知：x2-2x-2 求：(1)x2的值： x2 (2)4-6x2+4 值 22.定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”. 2 -1221士21aa3a42a1aa2a+3 如i=x1=xi+x 一和 二都是“和 a-1 x- a-1 谐分式” (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是： (填序号)； @虫®号@器@ 2 2)将“和谐分式46x x2+6x-3 x-1 二化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为 x-1 x+6x-1。x2-1 (3)应用：先化简 x+1-x÷x2+2x 并求x取什么整数时，该式的值为整数. 23.【材料阅读】众所周知，在不饱和糖水中加糖，糖水会变得更甜.我们可以用分式的知识解释这一现象，设一 杯糖水的，总质量为4克，其中糖的质量为b克，则糖与糖水的质量之比为2(a>b>0)，若往杯里加糖m克(m b+m >0),此时糖水中糖的质量为(b+m)克，糖水总质量为（什）克，糖与糖水的质量之比为 tm 因为b+m_色_b+amn-ab-bm=ma-b>0(其中a心b>0,m>0. a十ma a(a+m) a(a+m) ,所以糖水的含糖量变大，糖水变得更甜 【问题解决】某水果店免费提供大小重量相同的纸箱（每箱最多装10千克）装不同重量的水果进行销售 (1)小明买了连箱重5千克的苹果一箱，付了50元小亮买了连箱重10千克的苹果一箱，付了100元.小明 与小亮所买苹果的实际单价（指纯苹果的单价）哪个便宜？请类比【材料阅读】的方法解释： (2)小李买了每箱连箱重6千克的梨两箱付了卫元，又买了连箱重9千克的梨一箱付了q元，若梨的实际单价 是相同的，那么小李再买连箱重7千克的梨一箱需付 元（用p、q的代数式表示）. 【2026.10.10】初三上月考数学试卷-张店七中 参考答案与试题解析 选择题（共10小题) 题号 2 3 4 5 6 > 8 9 10 答案 D B C D B D C D 一. 选择题（共10小题） 1.下列变形属于因式分解的是() A.x2-2x+3=(x-1)2+2 B.(-2x+3y)(2x+3y)=-4x2+9y2 C.a2-2什1=a(a-2)+1 D.3x2y-xy=xy（3x-1) 【答案】D 【解答】解：A、x2-2x+3=(x-1)2+2,等式的右边不是几个整式的积的形式，故此选项不符合题意： B、(-2x+3y)（2x+3y)=-4x2+9y,从左边到右边的变形属于整式的乘法，故此选项不符合题意； C、a2-2at1=a(a-2)+1,右边不是几个整式的积的形式，故此选项不符合题意： D、3xy-xy=y（3x-1),是因式分解，故此选项符合题意. 故选：D. 2.下列多项式能用平方差公式分解的因式有() (1)2+b;(2)x2-y2;(3)-2+n2;(4)-b2-a2;(5)-af+4. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】B 【解答】解：(1)a2+b2,不符合题意： (2)x2-y2=(x+y)(x-y),符合题意： (3)-m2+2 =n2-2 =(+m)(n-m),符合题意； (4)-b2-2=-(b2+a2),不符合题意： (5)-a+4. =4-a =(4+)(4-d),符合题意： 故选：B. 3.下列分式是最简分式的是() 2a 2a A. 3a2b B. 4b atb a2-ab C. a2+b2 D. a2-b2 【答案】C 2 【解答】解：A、原式=3b不符合题意： B、原式=元不符合题意： C、原式为最简分式，符合题意； D、原式= a(a-b) (a+b)(a-可=a+b不符合题意. a 故选：C 4. 根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形正确的是() A.=+ B.x1 yy+1 x+=1+y X -x+y C. D. -x+y x+y x-y 【答案】D 【解答】解：A.分子分母同时加上同一个数，分式不一定成立，故原选项错误，不符合题意： X B. x+y 1中：故原选项错误，不符合题意： 1 x X X C. =一一，故原选项错误，不符合题意： -x+y x-y -x+y_-(x-y) D. x-y x-y =一1，故原选项正确，符合题意； 故选：D 5.把分式2中的x和y都扩大2倍，分式的值（) 2x-y A.不变 B.扩大2倍 C.缩小为原来的吃 D.扩大4倍 【答案】B 【解答】解：把分式2中的x和y都扩大2倍可得 2x·2y8xy 4xy 2x-y 2x-2y2(2x-y)2x-y 4是分式2的2倍， 2x-y1 2x-y 故选：B, 6.因式分解x+x+b,甲看错了a的值，分解的结果是(x+6)(x-2),乙看错了b的值，分解的结果为(x-8)(x+4), 那么x2+x+b分解因式正确的结果为() A.(x+3)(x-4) B.(x+4)(x-3) C.(x+6)(x-2) D.(x+2)(x-6) 【答案】D 【解答】解：甲看错了a的值：x2+x+b=(x+6)（x-2)=x2+4x-12, ∴.b=-12 乙看错了b的值：x2+x+b=(x-8)(x+4)=x2-4x-32, ∴.a=-4 .x2+x+b分解因式正确的结果：x2-4x-12=(x-6)(x+2) 故选：D 4x2 2x的结果 2x 7.化简2-2x+1*x+3- x-7则a=() A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【解答】解： 2x 4x2 2x x+3-a=(x-1)2÷x-1 =,4x2,x =x-1)22x =2x x-1 ∴.3-a=-1, .a=4, 故选：A. 8.一辆汽车以ⅴ千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时.若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m 千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少() A. mt mt t C. D.- --t m+) B.t-mtv mtv t 【答案】C 【解答】解：A地到B地的路程=t(千米)， 提速后的速度=+（千米每小时）， 提速后的时间：比（小时）， v+m ∴提速后从A地到B地需要的时间比原来减少=t-t mt mvtm 故选：C 9.若a、b、c是正整数，且a>b,a2-ab-ac+bc=7,则a-c等于() A.-1 B.-1或7 C.1 D.1或7 【答案】D 【解答】解：，'a2-ab-ac+bc=7, .a(a-b)-c(a-b)=(a-c)(a-b)=7, ,a、b、c是正整数，且a>b, ∴.a-b>0,a-c>0,且都为正整数， .7=1×7, .a-c=1或7. 故选：D 10.己知y1= 片且ww 1一， 则y2024为() 1 A.x-1 B.2-x C.1 2 D.X-2 x-1 【答案】C 【解答】解：“y1=二1 1 1 =1=X-1 话 x-2 11 归=少21授=2-x, x-2 1 1 1 4=1-y31(2-刀五1， 1 1 y=1=y4=1y1=2: 1 1 6=1-y5=1-y2=y3, 由此类推，2024=674×3+2， 七1 得y2024=y2=X-2 故选：C 二.填空题（共5小题) 11.分解因式：x2y-12x叶36y=y(x-6)2. 【答案】y(x-6)2. 【解答】解：x2y-12x+36y=y（x2-12x+36)=y(x-6)2, 故答案为：y(x-6)2 12.若x+(2-m)x+号是关于的某个整式的平方，则常数m的值为 【容架1号咳 【解答】42mx+号=(（c±) 则2-m=士号m=号或 11 13.己知非零实数a,b满足。+方3，则 a+2ab+b 2ab-a-b 的值等于-5· 【答案】-5 【解答】解：“+ 11 =3, a =3, ab .+b=3ab, a+2ab+b 2ab-a-b (a+b)+2ab =ab气a+而 3ab+2ab 2ab-3ab 5ab -ab =-5, 故答案为：-5. 4x a b 14.若4-中2产之则云+6的值是8 【答案】8 【解答】解：：a-b=c-2)-b6+2 ·x+2x-2 x2-4 ∴.a(x-2)-b(x+2)=4x, 即(a-b)x-2(atb)=4x, 8+80 解得a=2,b=-2, .a2+b2=22+(-2)3=8, 故答案为8. 3 15.对于实数a、b,定义一种新运算“⊕”，⑥b-2ab这里等式的右边是实数运算，按此规定，则方程x⊕（~ 的解是x=4. 【答案】x=4 【解答】解：“x田(-2)=x2-x2 3 3 11-1) “2x2=-2x2 3 1 1 x0+2=-2x+20-2 解得：x=4, 经检验x=4是方程的解， 故答案为：x=4. 三.解答题（共8小题） 16.因式分解： (1)(x-1)(x-3)+1: (2)(x-2)2-x+2: (3)x2(m-n)+y2(n-m): (4)(y2-1)2-6(y2-1)+9. 【答案】(1)(x-2)2:(2)(x-2)(x-3);(3)(m-n)(x+y)(x-y);(4)(+2)2(y-2)2. 【解答】解：(1)原式=x2-4x+3+1 =(x-2)2: (2)(x-2)2-x+2 =(x-2)2-(x-2) =(x-2)[(x-2)-1] =(x-2)(x-3): (3)原式=x2(m-n)-y2(m-n) =(m-n)(x2-y2) =(-n)(x+y)(x-y); (4)(y2-1)2-6(y2-1)+9 =[(y2-1)-3]2 =(y2-4)3 =(yH2)2(y-2)2 17.解方程： 1)1 2 x-3-x-3 2 2 4 -1=2-4x+4 【答案】(1)无解： (2)x=4. 【解答】解：(1)-12 x-3x-3 =2, 方程两边同时乘(x-3)得： x-1-2=2(x-3), x-1-2=2x-6, x-3=2x-6, 2x-x=6-3, x=3, 检验：当x=3时，x-3=0, .分式方程无解： (2)x 4 -2 -1=2-4x+4 4 原方程化为：。 x21=2 方程两边同时乘(x-2)2得： x（x-2)-(x-2)2=4, x2-2x-x2+4x-4=4, 2x-4=4, 2x=8, x=4, 检验：当x=4时，(x-2)2≠0， .x=4是原分式方程的解， 18.(1)先化简，再求值： a2-2a+1 a2-1 专a。)再从0,1,2中选择一个合适的a值代入求值 (2)先化筒，再求值：（号-）*产京其中与2,3利成△8c的=边，且x为整数 x-1 【答案】1)后立 11 2)23 【解答】(1)2-2a+1÷a-20 a2-1 a+1 (a-1)2 a2+a-2a (a+1)(a-1) a+1 =a-1.a+1 -a+1a(a-1) = .a≠0，a-1≠0， .a≠0,1， 当a=2时，原式= 2》解：（号）嘉 x-1 =奇1 X-4 =X-4.x2x-2) x(x-2)2x-4 =x-2 ,x与2,3构成△ABC的三边，且x为整数， .3-2<x<3+2,即1<x<5, .x=2,3,4. 当x=2或x=4时，原式没有意义，故x=3. 当x=3时，原式-产2写2-3 19.如图①，六个小图形拼成一个大长方形，大长方形面积=长×宽=(+2b)(+b),六个小图形面积之和= a2+ab+ab+ab+b2+b2=a2+3b+2b2,可得等式：(at2b)(atb)=2+3ab+2b2 (1)仿照上面的方法，由图②可得等式：(a+b+c)2=a2+b+c2+2(ab+bc+ac)； (2)通过以上探究，我们发现可以利用长方形的面积进行因式分解，那么因式分解：a+b2+2ab+ac+bc=(a+b) (a+b+c): (3)利用(1)所得的等式，解决以下问题：已知a+b+c=5,2+b2+c2=15,求ab+bc+ac的值. a b a a b b b b ① ② 【答案】(1)(atb+c)2=d2+b+c2+2(ab+bc+ac): (2)(a+b)(abtc): (3)b+bc+ac=5. 【解答】解：（1)用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为(a什b+c)2=a+b+c+2(ab+bc+ac), 故答案为：(tb+c)2=a2+b2+c2+2(b+bc+c). (2)原式=(a+b)+ac+bc =(a+b)2+c(a+b) =(a+b)(tb+c), 故答案为：(Hb)(a+b+c). (3)'(+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac), a+btc=5,2+b2+c2=15, .52=15+2(ab+bc+ac), 2(ab+bc+ac)=10, ab+bc+ac=5. 20.阅读下面的材料并解答后面的问题： 【阅读】 小亮：你能求出x+4x+5的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小华：能.求解过程如下： x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1 因为(x+2)2≥0， 所以当x=-2时，(x+2)2的值最小，最小值是0. 所以(x+2)2+1≥1. 所以当(x+2)2=0时，(x+2)2+1的值最小，最小值是1. 所以x2+4x+5的最小值是1. 依据上述方法，解决下列问题： (1)将x2-10x+27变形为(x-m)2+n的形式(x-5)2+2,则x2-10x+27的最小值为2： (2)求多项式-2x+4x+9有最大值， 【答案】(1)(x-5)242,2: (2)11. 【解答】解：(1)x2-10x+27=x2-10x+25+2=(x-5)2+2, 因为(x-5)2≥0， 所以当(x-5)2=0,即x=5时，(x-5)2+2的值最小，最小值是2. 故答案为：(x-5)2+2,2: (2)-2x2+4x+9 =-2(x2-2x)+9 =-2(x2-2x+1-1)+9 =-2(x-1)2+2+9 =-2(x-1)2+11, 因为(x-1)2≥0， 所以-2(x-1)2≤0， 当-2(x-1)2=0,即x=1时，-2(x-1)2+11的值最大，最大值是11. 所以多项式-2x2+4x+9的最大值为11. 21.阅读下面的解题过程： x2 的值 解向子如0，所生即+3 所以+1 -2+3=c+2}-2x3-2=7 1 所元的维号 1 说明：该题的解法叫做“倒数法”， 请你利用“倒数法”解下面题目： 已知：2-2x-2 =4. 求：①)x-的值： x2 (2) -6r244的值. 9 【答案】(1)(2)49 16 【解答】解：(1)“22x2 X 4 2-2x21 x-2-2 (2)-6x2+4 x2 =x26+ =(x-3)2-2 =1 =铝 x2 6 x462+4=4 22.定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如41-1+2x-1 22-2a+3_a-12+2=a-1+ 2 ,则41和2-2a+3 x-1 x-1x-1干x-11+≥ Tx-1'a-1 a-1 a-1'x-1 a1都是“和 谐分式”， (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：①③④（填序号)： x1:4v2 )将“和谐分式十化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为 x2+6x-3 =X-7+x-1- 4 x-1 (3)应用：先化简3+6_X-1x2-1 x+1 x x2+2x ,并求x取什么整数时，该式的值为整数. 【答案】1)①国④：(2)7+号气：(3)当x=~3时，分式运算的结果是整数。 【解答】解，1)①尖1+片是和谐分式：②是鉴式，®轻1计本是和谐分式。 1 x+1 ④2 21+3 是和谐分式。 故答案为：①③④： 4 (2) 2+6x-3=2-2x+1+8x-4 x-1 x-1 =x+7+ x-11 故答案为：+7+x一 4 (3) 3x+6x-1x2-1 一÷ x+1 X -x2+2x =3x+6_x-1、 x(x+2) x+1 xXx+1x五 =3x+6x+2 x+1x+1 =2x+4 x+1 2 =2+x+1 2 当x+1=士2，x+1=士1时， 是整数： x+1 即当x=1,-3,0,-2时， 是整数： x+1 .分母不能为0，x≠-1,0,1，-2， 故只有当x=-3时，分式的值为整数。 所以当x=-3时，分式运算的结果是整数. 23.【材料阅读】众所周知，在不饱和糖水中加糖，糖水会变得更甜.我们可以用分式的知识解释这一现象，设一 杯糖水的总质量为4克，其中糖的质量为b克，则糖与糖水的质量之比为(>b>0),若往杯里加糖m克(m b+m >0),此时糖水中糖的质量为(b+m)克，糖水总质量为（什m)克，糖与糖水的质量之比为 tm 因为b+m-色_b+am-bbm-ma-D>0(其中>b>0.m>0), atm a a(a+m) a(atm) 即+m、b 二，所以糖水的含糖量变大，糖水变得更甜， 【问题解决】某水果店免费提供大小重量相同的纸箱（每箱最多装10千克）装不同重量的水果进行销售， (1)小明买了连箱重5千克的苹果一箱，付了50元：小亮买了连箱重10千克的苹果一箱，付了100元.小明 与小亮所买苹果的实际单价（指纯苹果的单价）哪个便宜？请类比【材料阅读】的方法解释： (2)小李买了每箱连箱重6千克的梨两箱付了p元，又买了连箱重9千克的梨一箱付了q元，若梨的实际单价 是相同的，那么小李再买连箱重7千克的梨一箱需付_牛9元（用、q的代数式表示）. -3 【答案】(1)小亮所买苹果的实际单价便宜：理由见解析： (2)p+g 3 【解答】解：(1)设箱重ag, 50 100 则小明买的苹果单价为：写。元/千克，小亮买的苹果单价为：10一。元/千克， 50,100 比较： 的大小， 5-a10-a a>0, .5-a<5,10-a<10, 教比较580的大小 5 :5at5 5-a 5+5 5 10-0>5-a ·10 5, 故0 5 10-a5-a 、10050 ‘10-a5-a1 ,小亮所买苹果的实际单价便宜： (2)设箱重akg 则小李第一次买梨单价为： 元/千克，小李第二次买梨单价为： 2(6-a) 元千克， 9-a 设梨单价为k元/千克， 所以=26是o=g品a 故p=(12-2a)k,q=(9-a)k, p+q=3(7-a),即k=3-a p+q 则小李再买迹箱重7千克的梨一箱楷付(7-×产弯元， 故答案为： p+q 3