精品解析：辽宁省沈阳市回民中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

沈阳市回民中学2024级高二上学期月考 数学 出题人：金宇丹 审题人：刘威 试卷满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 4. 设集合，选择集合的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）. A. 50种 B. 49种 C. 48种 D. 47种 5. 已知向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，过作的垂线，并与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线与椭圆的焦点相同，离心率互为倒数，设，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上任意一点，则的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 8. 已知双曲线：的左右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值16时，面积的最大值为（ ） A. 16 B. 32 C. 36 D. 64 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 可表示为 B. 若把英文“hello”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59种 C. 若3个男生与2个女生排成一排，男、女生都相间的排列种数12 D. 不等式的解集为 10. 已知正方体的棱长为1，，分别为平面、平面的中心，，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时，的最小值为 D. 当时，的最小值为 11. 已知椭圆的短轴长为，为椭圆的上顶点，过原点的直线与椭圆交于，两点（，不在坐标轴上），记直线，的斜率分别为，，则（ ） A. B. C. 记直线的斜率为，可得 D. 记椭圆的右焦点为，可得的周长的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 7名同学站成一排，甲身高最高，排在中间，其他6名同学身高均不相等，甲的左边和右边均由高到低排列，共有______种排法． 13. 已知点，线段长度为，经过点且与两坐标轴的截距都相等的直线与线段始终有交点，则点的轨迹长度为_____. 14. 已知动圆过点且与直线：相切，直线与y轴交于K，点P为动圆圆心的轨迹E上任意一点，的角平分线与y轴交点为，则m最大值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，圆经过三点，直线的方程为. （1）若直线与圆相切，求的值； （2）若直线与圆相交于两点，求的面积的最大值. 16. 已知抛物线（）过点，其焦点为F，若. （1）求m的值以及抛物线C的方程； （2）过F点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，C与B，D四点，求四边形ABCD面积的最小值. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18. 已知是椭圆上的一点，且的离心率为，斜率存在且不过点的直线与相交于，两点，直线与直线的斜率之积为 （1）求椭圆的方程. （2）证明：的斜率为定值. 19. 三等分角是古希腊几何尺规作图的三大问题之一，如今数学上已经证明三等分任意角是尺规作图不可能问题，如果不局限于尺规，三等分任意角是可能的．下面是数学家帕普斯给出的一种三等分角的方法：已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，C，D为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线的左支交于点（射线在内部），则．在上述过程中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）若，求双曲线的方程以及其渐近线方程； （2）若，点在轴的上方，过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为．证明 ①为定值； ②． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市回民中学2024级高二上学期月考 数学 出题人：金宇丹 审题人：刘威 试卷满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过直线方程联立求出交点坐标，再根据平行待定系数设直线方程，最后代入点坐标求解. 【详解】由，得，∴交点坐标为． 设与直线平行的直线方程为， 把点的坐标代入，得，解得， ∴所求直线方程为， 故选：A. 2. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可画出曲线C图象，结合直线过定点与图形可得答案. 【详解】曲线即表示如图所示的半圆， 又过定点：. 当与半圆相切时，圆心到直线距离为1，则， 当直线过如图点时，斜率为：， 则实数的取值范围是. 故选：B 3. 已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量关系找到相关点的坐标关系，再代入相关点坐标即可得动点轨迹方程. 【详解】设，，由，得： ，则有， 因为为圆上任意一点， 所以，代入可得： ，整理得：， 即方程就是动点的轨迹方程. 故选：A 4. 设集合，选择集合的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）. A. 50种 B. 49种 C. 48种 D. 47种 【答案】B 【解析】 【分析】依中的最大数进行分类求解. 【详解】依中的最大数进行分类： ①若中的最大数为1，则有1种，则是集合的非空子集，有种，所以有（种）； ②若中的最大数为2，则有2种，则是集合的非空子集，有种，所以有种； ③若中的最大数为3，则有4种，则是集合的非空子集，有种，所以有种； ④若中的最大数为4，则有8种，则是集合的非空子集，有1种，所以有种. 所以可得，故不同的选择方法共有49种． 5. 已知向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，结合空间向量基本定理可求，从而得相应的坐标. 【详解】依题意可知， 设向量在基底下的坐标为， 即， 则， 由空间向量基本定理得，，解得. 故选：C. 6. 已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，过作的垂线，并与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合余弦定理求出离心率. 【详解】设椭圆半焦距为，如图所示，， 设关于原点对称的点为，则为平行四边形， 由，得三点共线，且，设，则， 在中，，解得，而， 在中，由余弦定理得，，解得，即， 所以椭圆的离心率. 故选：C 7. 已知双曲线与椭圆的焦点相同，离心率互为倒数，设，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上任意一点，则的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】由已知及双曲线的参数关系列方程求得，根据双曲线的定义有且，应用基本不等式求最小值. 【详解】因为椭圆的焦点为，离心率为，则，解得， 因为为双曲线左支上任意一点，所以，即，又， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8. 故选：C 8. 已知双曲线：的左右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值16时，面积的最大值为（ ） A. 16 B. 32 C. 36 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线的定义结合三角形两边之和大于第三边的相关性质得的最小值为，，结合基本不等式即可求得最值. 【详解】由题意得，故，如图所示， 而到渐近线的距离， 则， 当且仅当M，，N三点共线时两个等号同时成立， 所以的最小值为，所以，即， 当且仅当时，等号成立，又，故， 所以， 即面积的最大值为32. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 可表示为 B. 若把英文“hello”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59种 C. 若3个男生与2个女生排成一排，男、女生都相间的排列种数12 D. 不等式的解集为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据排列数公式，以及相间问题的排列数的应用问题，即可判断. 【详解】A.根据排列数的定义可知，可表示为，故A正确； B. 若把英文“hello”的字母顺序写错了，可能的错误共有种，故B正确； C. 若3个男生与2个女生排成一排，男、女生都相间的排列种数种方法，故C正确； D. 不等式，则，即， 即，得， 且满足，解得， 综上可知，，故D错误. 故选：ABC 10. 已知正方体的棱长为1，，分别为平面、平面的中心，，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时，的最小值为 D. 当时，的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用线线平行，结合空间向量线性运算判断A；建立空间直角坐标系，利用空间向量运算，结合相应条件求解判断BCD. 【详解】对于A，在正方体中，连接，则分别为的中点， ，且，因此，A错误； 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，， 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，当时，点在以为球心，半径为1的球面上运动， 而，因此的最小值为，C正确； 对于D，当时，平面，而平面，则平面， 因此的最小值为点到平面的距离，又， 设平面的法向量，则，取，得， 又，因此点到平面的距离为，D正确. 故选：BCD 11. 已知椭圆的短轴长为，为椭圆的上顶点，过原点的直线与椭圆交于，两点（，不在坐标轴上），记直线，的斜率分别为，，则（ ） A. B. C. 记直线的斜率为，可得 D. 记椭圆的右焦点为，可得的周长的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据短轴长直接求解判断A；设，，结合点P在椭圆上，利用斜率公式化简求值即可判断BC；记为椭圆的左焦点，连接，，由椭圆的对称性及的周长的取值范围判断D. 【详解】由方程可知：， 对于A选项，由，可得，故A选项正确； 对于B选项，由，，两点关于原点对称， 设，，有，可得，有，， 有，故B选项错误； 对于C选项，由，，有，故选项正确； 对于D选项，记为椭圆的左焦点，连接，， 由椭圆的对称性，有， 又由，可得的周长的取值范围为，故D选项正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 7名同学站成一排，甲身高最高，排在中间，其他6名同学身高均不相等，甲的左边和右边均由高到低排列，共有______种排法． 【答案】20 【解析】 【分析】法一：利用直接法求解即可；法二：先对6名同学作全排列，再去掉两边3人的排序即可求解. 【详解】解法1：甲站在中间，甲的左边和右边分别有3名同学，均按身高排列，排法只有1种． 先将6名同学分成两组，再排到甲的左边和右边去，排法共有种． 解法2：将除甲外的6名同学全排列，甲左边3名同学与右边3名同学顺序一定， 所以排法共有种． 故答案为：20. 13. 已知点，线段长度为，经过点且与两坐标轴的截距都相等的直线与线段始终有交点，则点的轨迹长度为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先写出直线方程，再应用直线和圆位置关系得出的轨迹是，应用弧长公式计算求解. 【详解】过点且与两坐标轴的截距都相等的直线，直线的方程为， 点B在以A为圆心，为半径的圆上， 因直线与线段有交点，故点与点在直线的两侧或其中一点在直线上， 设直线与圆的交点为M、N，则的轨迹是劣弧， 因为点到直线的距离为， 所以， 所以，点的轨迹长度为. 故答案为：. 14. 已知动圆过点且与直线：相切，直线与y轴交于K，点P为动圆圆心的轨迹E上任意一点，的角平分线与y轴交点为，则m最大值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线的定义以及题意写出抛物线方程，整理函数解析式，根据三角函数的性质，可得答案. 【详解】由题意可得，动圆圆心的轨迹E为抛物线，焦点，准线方程为， 过点P作垂直于准线，H为垂足，如图所示： 因为抛物线关于y轴对称，不妨设点P的横坐标， 由抛物线的定义可得，设， 由，求导可得，设切点，切线斜率为， 则切线方程为，代入，可得，解得， 所以当直线与相切时，其倾斜角等于， 因此，且. 由角平分线定理可得，即，则 因为函数在单调递减， 因此当时，，故最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，圆经过三点，直线的方程为. （1）若直线与圆相切，求的值； （2）若直线与圆相交于两点，求的面积的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先由待定系数法求出圆的方程，再根据直线与圆相切可得； （2）先可得三角形一边的长，再计算圆上到这一边的距离的最大值即可得面积的最大值. 【小问1详解】 设圆的方程为， 因为圆经过点，所以， 解得，经检验，符合题意， 所以圆的方程为，即， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离为， 所以，解得； 【小问2详解】 可化为，即直线恒过点， 因为点在圆上，故不妨设为， 所以直线，且， 设点到直线的距离为， 所以的面积， 因为点在圆上，所以的最大值等于圆心到直线的距离加上半径， 所以. 所以. 故的面积的最大值为. 16. 已知抛物线（）过点，其焦点为F，若. （1）求m的值以及抛物线C的方程； （2）过F点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，C与B，D四点，求四边形ABCD面积的最小值. 【答案】（1）， （2）8 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义结合条件求得，得其解析式，代入点，计算即得m的值； （2）依题意设直线：，直线：，将其分别与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式求得和，结合，表示出四边形ABCD面积的表示式，借助于基本不等式即可求出其最小值. 【小问1详解】 因抛物线的焦点为F，则 ∴，即抛物线C的方程： 又因为抛物线过点,代入抛物线方程，可得，解得. 综上：，抛物线C的方程：； 【小问2详解】 由题知，过F点的两条互相垂直的直线斜率均存在，且不等于零，如下图： 因此设直线：，直线： 设点、、、， 联立直线与抛物线C的方程，得， 则有，∴， 又∵， 同理，联立直线与抛物线C的方程，得， 则有，∴， 又∵，∴， 又∵， ∴ ， 当且仅当，即时，四边形ABCD面积的最小值是8. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 证明：在四棱锥中，过作交于，由，得， 而平面，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， AI 由，，为的中点， 得， ， 设平面的法向量为，则，取，得， 由，得，又平面， 所以平面. （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）作交于，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）求出平面的法向量，利用面面角的向量法求解. （3）假定存在，求出，利用线面角的向量法列式求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量为，而， 则，取，得，， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【小问3详解】 由（1）得，，令，， 则，，而平面的法向量， 由直线与平面所成角的正弦值为， 得， 整理得，即，又，解得， 所以在线段上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为， . 18. 已知是椭圆上的一点，且的离心率为，斜率存在且不过点的直线与相交于，两点，直线与直线的斜率之积为 （1）求椭圆的方程. （2）证明：的斜率为定值. 【答案】（1） （2） 设的方程为，，，，. 联立方程， 整理得， ， 即， 则，， ， 整理得， 则或， 若，则，则过点，不符合题意， 故，即的斜率为定值. 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入椭圆方程，并与离心率联立求出； （2）设直线的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理，再根据条件即可证明. 【小问1详解】 由题可知，解得，， 故的方程为； 【小问2详解】 略 19. 三等分角是古希腊几何尺规作图的三大问题之一，如今数学上已经证明三等分任意角是尺规作图不可能问题，如果不局限于尺规，三等分任意角是可能的．下面是数学家帕普斯给出的一种三等分角的方法：已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，C，D为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线的左支交于点（射线在内部），则．在上述过程中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）若，求双曲线的方程以及其渐近线方程； （2）若，点在轴的上方，过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为．证明 ①为定值； ②． 【答案】（1）双曲线的方程为，渐近线方程为． （2）①证明：设双曲线的方程为， 由题可得，，所以， 由双曲线的离心率为2，可得，所以双曲线的方程为． 因为，所以直线的方程为， 设，则，， 所以， ， 所以，为定值． ②证明：因为，所以， 又，由①得， 所以， 又，都是锐角，所以， 所以，所以． 【解析】 【分析】（1）根据题设直接求出，即可求出结果； （2）①根据条件得到直线的方程为，设，则，利用两点间的距离公式及，即可证明结果；②根据条件得到，从而得到，再利用几何关系，即可证明结果. 【小问1详解】 设双曲线的方程为， 由及，可得，所以， 因为双曲线的离心率为2，所以，解得， 所以双曲线的方程为，渐近线方程为． 【小问2详解】 ①略； ②略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $