辽宁葫芦岛市第一高级中学2026-2027学年高二上学期10月练习数学试题

2026-2027学年（上）高二年级10月练习 数学试题 参考答案 1．D 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】根据题意，得到存在实数使得，列出方程组，即可求解. 【详解】三个向量不能构成空间基底共面，即存在实数，使得。 列方程组：，解得 故选：D. 2．B 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】根据空间向量的垂直关系即可求解. 【详解】因为，所以，所以，解得． 故选:B 3．D 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示、用空间基底表示向量 【分析】借助重心的性质及空间向量线性运算法则计算即可得. 【详解】由点为的重心，故， 则，即， 则. 故选：D. 4．C 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【详解】， 所以 ， 所以体对角线的长为. 5．D 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】若为中点，连接有，异面直线所成角即为，进而求其大小. 【详解】若为中点，连接，又M是的中点，则， 所以与所成角，即为与所成角， 令正方体棱长为2，则，，， 在△中，则. 故选：D 6．C 【知识点】求空间向量的数量积、用空间基底表示向量、空间向量模长的坐标表示、点到平面距离的向量求法 【详解】由和结合共面向量定理得四点共面， 即点在平面上，则的最小值为点到平面的距离． 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的法向量，则， 取，点到平面的距离． 7．C 【知识点】线面角的向量求法 【分析】以A为原点，、、所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，利用线面角的空间向量法求解. 【详解】以A为原点，、、所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系， 由，， 得，，，，，，. ，，， 设平面的法向量为，则由，得 取，则， 设与平面所成角为，则. 8．C 【知识点】三角形面积公式及其应用、求空间中两点间的距离、空间向量数量积的应用、空间向量垂直的坐标表示 【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，利用向量的坐标运算求得，进而结合二次函数性质求得，利用三角形面积公式，即可求得答案. 【详解】以点为空间直角坐标系的原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 则点，，所以． 因为，，所以, 因为，所以，所以． 因为，所以， 所以,因为， 所以当时，． 因为正方体中，平面，平面,故， 所以， 故选：C． 9．AC 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量模长的坐标表示、异面直线夹角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】利用空间向量的坐标表示，结合向量数量积、模的意义计算判断选项AB；利用异面直线夹角的向量求法判断选项C；利用空间向量求出点到直线距离判断选项D作答. 【详解】对于A，，，， 依题意，，，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，，,因为， 则异面直线OB与AC所成角的余弦值为，故C正确； 对于D，因为，，在上的投影为， 所以点O到直线BC的距离是，故D错误. 故选：AC. 10．ACD 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析、空间位置关系的向量证明 【分析】A：根据空间的基底的概念作出判断；B：根据直线在平面内和不在平面内讨论；C：根据互相推出关系作出判断；D：先化简得到证明点在面内，再根据重心是中线的交点作出判断. 【详解】对于A：因为，所以共线，所以任意向量与都共面， 所以任意向量都不能与构成空间的一个基底，故A正确； 对于B：因为，所以，所以， 此时或，所以不一定成立，故B错误； 对于C：“存在实数，使”可以推出“与共面”， 但“与共面”不一定能推出“存在实数，使”， 例如：当共线但与不共线时，与共面，但不存在实数，使， 所以“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件，故C正确； 对于D：因为，所以， 所以，所以， 所以共面且有公共点，所以点在平面内； 取中点，则有， 同理取中点，则有， 所以为的重心，故D正确；    故选：ACD. 11．BCD 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】依托三棱柱棱长与夹角条件得到基底向量数量积，分别对四个选项：A通过向量分解求出系数求和判断对错；B利用空间四点共面向量充要条件推导；C展开数量积化简消去参数得定值；D结合点到直线距离与均值不等式求三角形面积最小值． 【详解】 对于A，当点为棱的中点时， ， 所以，，，，A错误； 对于B，当时，， 所以，即， 所以四点共面，B正确； 对于C，当时， ， 所以， 所以 ，C正确； 对于D，当时， ， ， 所以点到的距离， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的面积， 即面积的最小值为，D正确． 12． 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【详解】 三点共线，，即存在实数，使。 由不共线，对应系数相等： ，代入得，。 13． 【知识点】空间向量共面求参数、空间向量数量积的应用、空间向量的坐标运算 【分析】利用共面的条件求出，再利用投影向量的定义计算即得. 【详解】四点共面存在实数， 前两式：，代入第二式 投影向量公式： 投影向量的模长： 14． 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】建立边长和O到平面ABD距离为OF的函数关系，结合基本不等式，求解出最小值，建立外接球半径的函数，从而求解外接球半径的最小值，从而求出外接球表面积的最小值. 【详解】由正三棱锥的侧棱垂直于底面的性质，设球心O到平面ABD距离为，设， 有因为为直角三角形，则经过直角三角形斜边中点，即为中点. 故取的中点设为，则由正三角形求解高知如图，设， 设球心O到平面ABD距离为OF，设 ，， ， 当且仅当时即取“=”. ，. 故最小为. 故答案为：. 【点睛】立体图形平面化，结合函数和基本不等式的知识求解是问题的关键. 15．(1) (2) 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】（1）先根据求出坐标，进而求出的坐标，则模可求； （2）求出坐标，然后求数量积，根据数量积可得夹角. 【详解】（1）， ， ； （2）由（1）可得， ， 向量与垂直， 即向量与夹角的大小为. 16．(1) (2)， 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】（1）通过向量的线性运算进行表示； （2）通过向量的线性表示与模长公式计算线段，的长度，计算，再通过夹角公式求解. 【详解】（1）方法一：由题意知， ； 方法二：因为为的中点，所以 ． （2）因为四边形是正方形，，， 所以，，， 所以 ， 所以，即线段的长为． 因为， 所以 ，所以． 又 ， 则向量，夹角的余弦值为. 17．(1) 在四棱柱中，，故四边形是平行四边形 所以， 因为平面，平面， 所以平面 (2) 【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法 【分析】（1）由四棱柱的性质得到四边形是平行四边形，得到，故证明出线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面， 所以， 因为，所以， 所以， 故两两垂直，以A为坐标原点，分别以为轴，轴,轴建立空间直角坐标系， 则 所以 设平面的法向量为 即  令，则， 设直线与平面所成角为， . 所以直线与平面所成角的正弦值是. 18．(1)证：因为平面，平面平面，平面，所以. 因为平面，平面，所以， 又平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以. 四边形为平行四边形，故且， ，所以为中点. (2)(i)因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. (ii) 【知识点】证明线面平行、证明面面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）通过线面垂直证明为平行四边形，并利用相似三角形证明中点. （2）(i)利用线面垂直证明面面垂直. (ii)通过建立空间直角坐标系求解轨迹，并利用法向量求解二面角范围. 【详解】（1）略 （2）(i)略 (ii) 建立如图空间直角坐标系. 设，所以为等边三角形. ，，，，，. 设，，，因为，所以. 在以为圆心，的半圆上， 因为直线为，所以与半圆交， 同理直线与半圆交， 故. 因为，，所以平面法向量且， 设，则且， 解得. 平面法向量. 所以二面角余弦值. 因为，所以，. 所以，所以. 19．(1) (2)①证明：由余弦定理可得： ，且, 所以， 即， 消去，则有： 即； ②. 【知识点】面面角的向量求法、已知面面角求其他量 【分析】（1）根据平面，平面，平面两两垂直，得，即可求解； （2）①根据余弦定理及勾股定理即可证明； ②建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）因为平面，平面，平面两两垂直， 所以， 所以球面三角形ABC的面积； （2）①略； ②由题意可知是球的直径，则有, 又， 所以平面， 又因为平面， 所以, 又因为， 所以平面，平面， 所以， 又因为直线与平面所成的角分别为，， 所以， 不妨令， 则，， 又因为,,, 以为坐标原点，以所在直线为轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系： 设， 则 可得， 则，， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则， 所以； 设平面的一个法向量为， 则， 取，则， 所以， 要使取最小值，则取最大值， 因为 令， 则， 所以 当且仅当时等号成立， 则的最大值为， 所以取最小值为. 【点睛】方法点睛：在涉及求直线与平面、平面与平面所成角时，利用空间向量法求解更简单些. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年（上）高二年级10月练习 数学试题 考试时间：120分钟满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.已知a=(2,3,-3),=(-4,2,0),c=(10,3,),若a,,c三个向量不能构成空间的一个基底，则实数入等于 () A.6 B.5 C.-5 D.-6 2.己知平面&的一个法向量为=(4，-2，m,直线1的一个方向向量为u=(-1,-3,2),若l11a,则m=( A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.已知四面体ABCD如图所示，其中点E为△ACD的重心，则CE=( ) A.D B.4BA+2BC-BD 3 33 3 c. 3 31 4.在平行六面体ABCD-ABCD中，AB=1,AD=2,A4=3,且AB与AD的夹角为60°，AB与AA的夹角 为90°，A4与AD的夹角为120°，则体对角线AC1的长度为( ) A.√6 B.2W2 C.10 D.2W5 5.如图，在正方体ABCD-AB,CD中，M、W分别是CD、CC的中点，则异面直线AM与DN所成角的大小 D 是( A.309 B.45° C.60° D.90° 6.已知正方体ABCD-AB,CD的棱长为2，点M满足DM=xDA+yDB+zDC,且x+z=1-y,则D☑的最 小值是( ) A.25 B.2V5 C.4v5 D.4v2 3 3 3 3 7.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC=90°，D、E、F分别是棱AB、BC、CP的中点，AB=AC=1, PA=2,则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为( A. B. C.5 D. 2W5 5 5 高二数学学科（共4页）第1页 8.如图，正方体ABCD-AB,CD的棱长为1，P为A4的中点，M在侧面AABB上，若DM⊥CP,则△DAM D 面积的最小值为( A. 5 B.5 15 10 C. 5 D.5 D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求， 全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分 9.在空间直角坐标系Oxyz中，A(2,0,0),B(1,1,-2),C(2,3,1),则( A.AB.BC=-5 B.AC=2/3 C.异面直线B与AC所成角的余弦值为 30 D.点O到直线BC的距离是3y匣 14 10.下列命题为真命题的是( A.已知向量a/b,则任意向量都不能与a,b构成空间的一个基底 B.若直线1的一个方向向量为u=(1,2,-2),平面a的一个法向量为v=(2,1,2),则111a C.“存在实数x,y,使c=xa+b”是“c与a,b共面”的充分不必要条件 D.已如O1oa,oC}是空间的-个基底，且而-号-号丽+号0c,则点D在平面ABC内，且D为MBc 的重心 11.在棱长均为1的三棱柱ABC-A,B,C1中，∠AAB=∠AAC=∠BAC=60°，点P满足AP=xAB+yAC+AA,其中 x,y,z∈[0,1]，则下列说法正确的是（ ) 3 A.当点P为棱BC的中点时，x+y+二= B.当x+y+二=1时，P,A,B,C四点共面 c.当=y时，取取} D.当x+y=1时，△PA4面积的最小值为2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知AB=2+ke,CB=g+3,CD=2g-e,设e,e是不共线的向量，若A,C,D三点共线，则实数k 高二数学学科（共4页)第2页 为 13.已知向量0A=(1,1,2),0B=(-1,2,1),OC=(21,),若0，A,B,C共面，则OC在OB上的投影向量的模为 14.在所有棱长都为4的正三棱柱ABC-AB,C,中，E为线段CC1上动点，D为BC边中点，则三棱锥A-BDE 外接球表面积的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.（本题满分13分) 已知a=(x,1,1),b=(1y,1),c=(2,-4,2)x,y∈R,且a⊥b,b∥c. (1)求a+: (2)求向量ā+b与2ā+b-c夹角的大小. 16.（本题满分15分) 如图，在四棱柱ABCD-AB,CD中，四边形ABCD是正方形，∠AAD=∠AAB=60°，AA=2AB=2,点G 为CB的中点. (1)用向量AB,AD,A4表示AG: B (2)求线段AG的长及向量AG与BD夹角的余弦值. B 17.（本题满分15分) 如图，在四棱柱ABCD-AB,CD中，AA⊥平面ABCD,底面ABCD满足AD/1BC,且 AB=AD=AA=2,BD=DC=22. (1)求证：BD/1平面BCD; (2)求直线AB与平面B,CD所成角的正弦值. 高二数学学科（共4页）第3页 18.（本题满分17分) 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB和CD都垂直于平面PAD,AB=2CD,平面CDEF分别交侧棱PA, PB于点E,F,且CF∥平面PAD. (1)证明：E为PA的中点： (2)已知点M为△PAD内（含边界）不与A,D重合的一点，且BM⊥DM. (i)证明：平面ABM⊥平面CDM; (i)若AB=AD=AP=PD,求二面角C-AM-D的取值范围. 19.(本题满分17分) 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图一，球O的半径为R,A,B,C为球面上三 点，劣弧BC的弧长记为a,设O表示以O为圆心，且过B,C的圆，同理，圆O,O的劣弧AC,AB的弧长 分别记为b,c,曲面ABC(阴影部分)叫做球面三角形，若设二面角C-OA-B,A-OB-C,B-OC-A分 别为a,P,y,则球面三角形的面积为S球面△sc=(a+B+Y-)R'. (1)若平面OAB,平面OAC,平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积： (2)若将图一中四面体OABC截出得到图二，若平面三角形ABC为直角三角形，AC⊥BC,设∠AOC=A, ∠BOC=6,,∠AOB=6. ①求证：cos8+cos6-cos8=1; ②延长40与球0交于点D,连接BDCD,若直线DA,DC与平面ABC所成的角分别为子，？丽-历， 2∈(0,1]，s为AC中点，T为BC中点，设平面OBC与平面EST的夹角为6，求sin8的最小值. B a 0 A 图一 图二 高二数学学科（共4页)第4页 2026-2027学年（上）高二年级10月练习 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，若三个向量不能构成空间的一个基底，则实数λ等于（ ） A．6 B．5 C．-5 D．-6 2．已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．已知四面体ABCD如图所示，其中点为的重心，则（    ） A． B． C． D． 4．在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在正方体中，M、N分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是（    ） A． B． C． D． 6．已知正方体的棱长为2，点满足，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．在三棱锥中，平面，，、、分别是棱、、的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，正方体的棱长为1，P为的中点，M在侧面上，若，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9．在空间直角坐标系Oxyz中，，，，则（    ） A． B． C．异面直线OB与AC所成角的余弦值为 D．点O到直线BC的距离是 10．下列命题为真命题的是（    ） A．已知向量，则任意向量都不能与构成空间的一个基底 B．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则 C．“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件 D．已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心 11．在棱长均为的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法正确的是（   ） A．当点为棱的中点时， B．当时，四点共面 C．当时， D．当时，面积的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，设是不共线的向量，若A，C，D三点共线，则实数k为______． 13．已知向量，，，若共面，则在上的投影向量的模为______． 14．在所有棱长都为4的正三棱柱中，为线段上动点，为边中点，则三棱锥外接球表面积的最小值为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本题满分13分） 已知，且. (1)求； (2)求向量与夹角的大小. 16．（本题满分15分） 如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点． (1)用向量，，表示； (2)求线段的长及向量与夹角的余弦值． 17．（本题满分15分） 如图，在四棱柱中，平面，底面满足，且. (1)求证:平面; (2)求直线与平面所成角的正弦值. 18．（本题满分17分） 如图所示，在四棱锥中，和都垂直于平面，，平面分别交侧棱，于点E，F，且平面． (1)证明：E为的中点； (2)已知点M为内（含边界）不与A，D重合的一点，且． （ⅰ）证明：平面平面； （ⅱ）若，求二面角的取值范围． 19．（本题满分17分） 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图一，球的半径为，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过的圆，同理，圆，的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为. (1)若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积； (2)若将图一中四面体截出得到图二，若平面三角形为直角三角形，，设，，. ①求证：； ②延长与球交于点，连接，若直线与平面所成的角分别为，，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值. 高二 数学学科 （共4页） 第1页 高二 数学学科 （共4页） 第2页 高二 数学学科 （共4页） 第1页 高二 数学学科 （共4页） 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $