贵州贵阳市南湖实验中学2026-2027学年高二上学期10月检测数学试题

《高二月考试卷》参考答案 题号 1 2 3 7 8 9 10 答案 B D C A A B D BC AB 题号 11 答案 ACD 12.-3 【分折】先求出a-万=民-35)，再根据（位-）1可符后-列=0，利用空间向量重直的坐标运笄列式可求元 的值 【详解】因为a=(2-13),6=(12-2）,所以0-6=(6-3,5)， 由(a-b列1c得a-ja=0,又c=(6l,), 3×6+(-3)×1+51=0 所以 解得1=-3 故答案为：3 13.4 【详解】因为M,4,B,C四点共面，且 OM=xOA+yOB-30C(x>0,y>0) 所以由共面定理可得，x+y+(3)=】。 ,即x+y=4 √2 14.4 OA OB OP 0 OA OB OP 【分析】由面面垂直的性质定理结合题意可证得 两两垂直，以为坐标原点， 的方向分别为，’，？轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别表示出 AC PD ,再由异面直线所成角的 向量公式代入即可得出答案， 【详解】取AC的中点O,连接OP,OB,因为PA=PC,所以AC⊥OP, 又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,OPC平面PAC, 所以OP⊥平面ABC.又AB=BC,所以AC⊥OB, 可得OA,OB,OP两两垂直，所以以O为坐标原点， 答案第1页（共2页） OA OB OP 的方向分别为，’，2轴的正方向， 建立空间直角坐标系，不纺设PA=4,则42.Q,0）,C(220,0,D(5.6.0,PO,02),所以 AC=（42,0,0）PD=(2,6,-22) 所以os(AC,PD)= AC.PD-8√2 ACPD4V2×44, 又异面直线所成角的取伯范围为0，引， √2 所以异面直线AC与PD所成角的余弦值为4· √2 故答案为：4· 15.)BD=a+c-6,AF=c .1p-a: 2 (2)垂直 【分析】(1)利用空间向量的线性运算计算即可； (2)利用空间向量的数量积计算即可； BD =BA+A4+AD=-AB+A4+AD=a+c-b 【详解】(1)由题意可得： AF-44+D+DF+D+DC-+6-d; 2 (2)DE=DA+AE=正-D=}五-c, 答案第2页（共2页） 所以 F.E-(+-aj--+8-0 即4F与DE垂直 16. 1)证明见解析；(2) 【分析】(I)取点G是PB的中点，连接EG,FG,易得DEGF为平行四边形，根据线面平行的判定即可证 DFII平面PBE; (2)应用枝性的体积公式有PD-S,求体积即可 【详解】山证明：取点G是PB的中点，连接EG,FG,则FG/BC,且FG=BC, 'DE1/BC且DE=2BC, .DEIIFG且DE=FG, ∴四边形DEGF为平行四边形， .DF IEG,EGC面PBE, .DFII面PBE. G D E B (自5am号EAB=1,商m号PDSa， 3x2x1=2 3 答案第3页（共2页） p 11 D B 3 17.03 6 (2)3 向量法： 答案第4页（共2页） 个2 C A 国以D为原点直城哦，PC,A乡剂为】2轴 E 建主空间直角坐标系 E(0,0,1)F(1,1,0)B(2,2,0)C(o,2,0) 手=() B元=-2,0,0) A 没F5BC网战南为0 C0s0= 民配--厚 |H5x23 (2)A(2,0,0）A=(2,,1) 没平面时的-千泳句生为元y) 之。 n.EF=0 →元=(1,1,2) p月=(C2,0,0) pr的绿以.方子 DD,BD 几何法：(1)连接， DB,DC,因为， 分别为线段 的中点， EF/IDB ,故异面直线EF与BC所成角为 D,BC 所以 又BC上平面 DDCC DCC DDCC 「平面 BC⊥D,C 所以 wDBC-DC-2- 所 BC 2 所以cos∠D,BC= 3 3 故异面直线EF与BC所成的角的余弦值为3 答案第5页（共2页） D C ! D B ABCD-ABC D E,F DD.BD (2)在正方体 中， 分别为线段 的中点， 所以EDL平面ADF,且D=DD=】 2 因为F是线段BD的中点， 1 11 所以5，e=2S4am=2× ×2×2=1」 故=校维Eg-ADP的体积P-m×D=11-号 3； E,F DD,BD 因为分别为线段 的中点， 所以Ef-B0-x25=5 又因为4=54=4C=x25=5, 2 所以在△AEF中满足EF2+AF2=AE2,故△AEF为直角三角形， 则5e号xF-x5- 1 2, 设点D到平面AEF的距离为d, 则三棱锥E一4DF的体积一3你x4一人太v6 1 1 V= -xd=- d=v6 3 3,解得”3， 6 因此点D到平面的距离为3· 18.(1)向量法略，可依据下面垂直和等腰三角形三线合一建系。 几何法： 过A作AH⊥PC于H,因为平面PAC⊥平面PBC,平面PAC∩平面PBC=PC, 答案第6页（共2页） M H B 又AHC平面PAC,所以AH⊥平面PBC,又BCC平面PBC,所以AH⊥BC, 因为PA⊥底面ABC,又BCC平面ABC,所以PA⊥BC, 又AP∩AH=A,AP,AHC平面PAC,所以BC⊥平面PAC. (2)由(1)知AH⊥平面PBC,所以∠AMH为直线AM与平面PBC所成的角， 设AC=BC=PA=a,因为AH⊥PC,则H为PC的中点，又M是PB的中点， HM,CB=2,又易和A 所以 2 nh=)PC=a+a=5。 2 2 2a, 在Rt△AHM中， 2 tan∠AMH=4h-2Σ -=√2 HM a 2 答案第7页（共2页） 8 个2 A由C)知，cl回P4C 又ACC面P4C BC⊥AC PA⊥平面ABC,B(,ACCABC X B:PALAC,PALBC hA,CA,CB西西垂直 女周以C为原点，CB为x轴，CA为y也，过CA平行于PA 的1线为z建主空（间直有坐杭，条 沒PA=AC=Bc=2 A(020)A(0122)BC2,0,0)A(1,1)1) CC01010) Cp=(0,22)CB=06,,0)月M=(1,1,1) 没平面P8C的-该向为元 军。今(，1,1) 元cB=o 发AM5平面PBC吗武南为0 6=5<,>1=2=亚 刷x万三3 tang=sin wso=i 19.(1) 连接AE,DE,因为E为BC中点，DB=DC,所以DE⊥BC①， 因为DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=60°，所以△ACD与△ABD均为等边三角形， ∴AC=AB,从而AE⊥BC②，由①②，AE∩DE=E,AE,DEC平面ADE, 所以，BC⊥平面ADE,而ADC平面ADE,所以BC⊥DA. (2)3. 【分析】(I)根据题意易证BC⊥平面ADE,从而证得BC⊥DA; (2)由题可证AE⊥平面BCD,所以以点E为原点，ED,EB,EA所在直线分别为，y2轴，建立空间直角坐标 系，再求出平面ABD,ABF的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出. 答案第8页（共2页） 【详解】(1)略 (2)不妨设DA=DB=DC=2.BD1CD:BC=2V2,DE=AB=V2 AE2+DE2=4=AD2AE⊥DEAE⊥BC,DE∩BC=EDE,BCC BCD:AE⊥BCD ,又 平面 平面 以点E为原点，ED,EB,EA所在直线分别为七，y,2轴，建立空间直角坐标系，如图所示： B i设D2,00,A0,0V2,B0,V2.0,E0,00 设平面D1B与平面4BF的一个法向量分别为%=(，，)，元=(，少，2) 二面角D-B-F平面角为8，而孤=(0，V2,-V2) 因为F=Di-(2.0),所F5.0v2),即有F-.Q,, -V2x+V2z1=0 “V2y-V2z=0,取x=1所以元=山，1,1： V22-V22,=0 -V2x2=0 ，取，=1所以=(0,1,1： 所以，cos0= m'n 2√6 所以二面角D-AB-F的正弦值为3， 答案第9页（共2页）贵阳市南湖实验中学2026-2027第一学期9月月考 高二数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第 4页.考试结束后，请将试卷和答题卡一并收回.满分150分，考试时长：120分钟 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自已的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚， 2.每小题给出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再 选涂其他答案标号在试卷上作答无效， 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要 求的) 1.在空间直角坐标系中，点P(2,3,1)关于平面x0z的对称点的坐标是() A.(-2,3,-1) B.(2,-3,1) C.(-2,3,1) D.(2,3,-1) 2.已知空间向量a=(4,-3,2)与b=(2,x,y)共线，则x+y=（) A.-1 B. c.- D.1 3.设向量a=(1,-1,1),b=(-10,1),则c0sGb=（) A月 B号 c. D 4.若{a,b,©构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是() A.a.B.a+b → →→→→ B.a,c,a-c →一 C.a+b,c,a-b D.a+b+c,a+b.c 5.如图，在四面体D-ABC中，E,F,G分别是AB,BC,CD的中点，则下列结论中一定正 确的是() A.AC/平面EFG B.CD⊥平面EFG C.BC⊥平面EFG D.AD/平面EFG 6.如图，点A,B,C分别在空间直角坐标系0-xyz的三条坐标轴上，0C=(0,0,2),平 面ABC的法向量为n=(2,1,2),设二面角C-AB-O的大小为0，则cos0=() A.子 B.-子 c.5 D 3 试卷第1页（共4页） 7.设正四面体ABCD的棱长为2，M是AD的中点，则AB·CM的值为() A.-V3 B.-1 C.3 D.1 8.已知A(2,2,1),B(3,2,0),则点P(2,0,-1)到直线AB的距离为（) A.3 B.2 C.√5 D.6 二、多选题（每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分，共18分） 9.已知向量a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,2,1),则下列结论正确的是() A.向量a与向量b的夹角为君 B.(a-b)1c C.(a+b)//c D.向量a在向量b上的投影向量为（侵，0，） 10.如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M,N为正方体的顶点.则满足MN1OP 的是（) M M P 0 B N M P 0 D 11.如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1,其中，以顶点A为端点的三条棱长都等于 1,且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是() A.(Ai+B+AD)=2Ac) A B.A1在底面ABCD上的投影是线段BD的中点 C.AA1与平面ABCD所成角大于459 D D.BD1与AC所成角的余弦值为 试卷第2页（共4页） 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。 三、填空题（每小题5分，共15分） 12.已知a=(2,-1,3),6=(-1,2,-2,c=(6,1,),若(a-b)1c,则入的值为 13.已知M,A,B,C为空间中四点，任意三，点不共线，对于平面ABC外一点0,0M=x0A+y0B-30C(x> 0,y>0),若M,A,B,C四点共面，则x+y的值为 14.如图，在三棱锥P-ABC中△ABC为等边三角形，△APC为等腰直角三角形 PA=PC,平面PAC⊥平面ABC,D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角 的余弦值为 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 15.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB:AA1:AD=2:1:1,点E与F分别是棱AB与DC的中点.设AA1= a,AB=b,AD=c. (I)用向量a、b、c表示BD1、A1F; B (2)判断A1F与DE是否垂直. 16.如图，四边形ABCD为正方形，PD1平面ABCD,PD=DC=2,点E,F分别为AD,PC的中点. (1)证明：DF/平面PBE; (2)求三棱锥P-DBE的体积. 1. D 试卷第3页（共4页） 17.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为线段DD1,BD的中点. (I)求异面直线EF与BC所成角的余弦值； (2)求点D到平面AEF的距离. 界 B D B 18.如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=PA,PA⊥底面ABC,平面PAC1平面PBC. (1)求证：BC⊥平面PAC; (2)点M是PB的中点，求直线AM与平面PBC所成角的正切值. 19.如图，三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°，E为BC的中点 (1)证明：BC⊥DA; (2)点F满足EF=DA,求二面角D一AB-F的正弦值. C D 试卷第4页（共4页）