22.探究学习 与圆有关的比例线段（第1课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第22章 圆（下） 探究学习 与圆有关的比例线段 （第1课时）相交弦、割线与切割线 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 这一课要解决什么 理解 通过测量提出线段乘积猜想。 会用 用相似三角形或勾股定理证明。 会判断 分清圆内线段、外段与整段。 复习引入 从已有经验出发 观察 相交的弦与割线，是否藏着同一个乘积关系？ 联系 通过测量提出线段乘积猜想。 知识讲授 统一记号与观察对象 看条件 、、、在同一个圆上。 作推理 两条直线、交于。 再检查 比较的是从出发到四个圆上点的线段长度。 随堂探究 探究1 ，，，为上的点，直线，相交于点。利用尺规、计算机或图形计算器验证猜想，用文字叙述并说明理由。 （1） 当点在内时，探究，，，四条线段的长有怎样的关系。 （2） 当点在外时，猜想，，，是否仍具有（1）中的关系。 （3） 当点和点重合时，猜想，，是否仍具有（1）中的关系。 解第（1）题：。 连接、，。 由交叉相乘。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 随堂探究 探究2 ，，，为上的点，直线，相交于点。利用尺规、计算机或图形计算器验证猜想，用文字叙述并说明理由。 （1） 当点在内时，探究，，，四条线段的长有怎样的关系。 （2） 当点在外时，猜想，，，是否仍具有（1）中的关系。 （3） 当点和点重合时，猜想，，是否仍具有（1）中的关系。 解第（2）题：仍有。 设、为近点，连接、，。 由得结论。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 随堂探究 探究3 ，，，为上的点，直线，相交于点。利用尺规、计算机或图形计算器验证猜想，用文字叙述并说明理由。 （1） 当点在内时，探究，，，四条线段的长有怎样的关系。 （2） 当点在外时，猜想，，，是否仍具有（1）中的关系。 （3） 当点和点重合时，猜想，，是否仍具有（1）中的关系。 解第（3）题：。 成为切线，。 割线两段乘积也等于。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 知识讲授 圆内相交弦的证明 看条件 连接、，对顶角。 作推理 与同对弧，所以相等。 再检查 两个三角形相似，得到。 知识讲授 圆外两割线的证明 看条件 设、、依次共线，、、依次共线。 作推理 连接、，共用角且。 再检查 ，得到外段乘整段相等。 知识讲授 切割线：先看切线的平方 看条件 连接切点半径。 作推理 ，故。 再检查 这一步来自切线性质与勾股定理。 知识讲授 切割线：再看割线的乘积 看条件 作，设、。 作推理 于是，。 再检查 乘积，与相等。 知识讲授 圆内两段与圆外两段 看条件 圆内：同一弦被分成两段，相乘。 作推理 圆外：同一割线的外段乘从到远交点的整段。 再检查 不能把圆内弦段长当作整段。 随堂探究 探究　示范：圆内未知长度 圆内两弦相交于，、、，求。 答：6。 解 乘积。 。 方法：先识别条件，再选择对应性质。 注意：写清依据与结论。 随堂探究 探究　示范：外段加内段 在圆外，、；另一割线，求。 答：0；该数据不能构成两个不同的交点、。 解 ，乘积16。 ，便有。 方法：用乘积反求整段并检验位置。 注意：割线的远点距离应严格大于近点距离。 随堂探究 探究　示范：切线长 在圆外，切线；割线，求远点距离。 答：12。 解 。 ，。 方法：先识别条件，再选择对应性质。 注意：写清依据与结论。 知识讲授 实验如何记录 看条件 同一图形测量四段长度并计算两个乘积。 作推理 拖动或圆上点，多取几组数据。 再检查 测量值允许有舍入误差，证明结论则应严格。 知识讲授 相似比例的对应顺序 看条件 先写相似三角形的对应顶点。 作推理 把共角或同弧圆周角的对应关系锁定。 再检查 再列比例并交叉相乘。 知识讲授 用结果反查几何位置 看条件 所有线段长度为正。 作推理 圆外割线必须整段大于外段。 再检查 切线平方、两割线乘积应给出相同值。 知识讲授 探究报告的四部分 看条件 写清图形条件和测量过程。 作推理 陈述猜想及证明依据。 再检查 给出一个数值检验与适用范围。 知识讲授 三种情况的连接 看条件 圆内得到两段乘积。 作推理 移到圆外，改为外段乘整段。 再检查 一条割线变为切线时，两距离合并为平方。 课堂总结 本课知识 圆内 两弦分段乘积相等 圆外 外段乘整段相等 切线 切线长平方等于乘积 证明 相似或勾股转化 特别提醒：圆外关系中整段必须从外点量到远交点。 针对训练 训练1　相交弦求长度 分别解决下列问题： （1） 、、，在圆内，求。 （2） 、、，在圆内，求。 解第（1）题 6。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练1　相交弦求长度 分别解决下列问题： （1） 、、，在圆内，求。 （2） 、、，在圆内，求。 解第（2）题 4。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练2　相交弦列方程 分别解决下列问题： （1） 圆内、、、，求。 （2） 圆内、、，求。 解第（1）题 4。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练2　相交弦列方程 分别解决下列问题： （1） 圆内、、、，求。 （2） 圆内、、，求。 解第（2）题 6。 ，取正根。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练3　两割线整段 分别解决下列问题： （1） 圆外、、，求。 （2） 圆外、、，求。 解第（1）题 9。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练3　两割线整段 分别解决下列问题： （1） 圆外、、，求。 （2） 圆外、、，求。 解第（2）题 3。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练4　外段与内部弦段 分别解决下列问题： （1） 、、依次共线，、；，求。 （2） 、、依次共线，、；，求。 解第（1）题 2。 ，，。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练4　外段与内部弦段 分别解决下列问题： （1） 、、依次共线，、；，求。 （2） 、、依次共线，、；，求。 解第（2）题 5。 ，，。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练5　切线长 分别解决下列问题： （1） 割线外段4、整段9，求同点切线长。 （2） 割线外段3、整段12，求同点切线长。 解第（1）题 6。 切线长平方36。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练5　切线长 分别解决下列问题： （1） 割线外段4、整段9，求同点切线长。 （2） 割线外段3、整段12，求同点切线长。 解第（2）题 6。 切线长平方36。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练6　切线反求割线 分别解决下列问题： （1） 切线长10，割线外段5，求整段。 （2） 切线长12，割线整段18，求外段。 解第（1）题 20。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练6　切线反求割线 分别解决下列问题： （1） 切线长10，割线外段5，求整段。 （2） 切线长12，割线整段18，求外段。 解第（2）题 8。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练7　切线与内部弦长 分别解决下列问题： （1） 切线长8，割线外段4，求圆内部分长度。 （2） 切线长6，割线外段2，求圆内部分长度。 解第（1）题 12。 整段，减外段4。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练7　切线与内部弦长 分别解决下列问题： （1） 切线长8，割线外段4，求圆内部分长度。 （2） 切线长6，割线外段2，求圆内部分长度。 解第（2）题 16。 整段，减2。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练8　共同乘积 分别解决下列问题： （1） 、，在圆外，求任一割线外段乘整段。 （2） 、，求同点切线长。 解第（1）题 144。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练8　共同乘积 分别解决下列问题： （1） 、，在圆外，求任一割线外段乘整段。 （2） 、，求同点切线长。 解第（2）题 8。 切线长平方。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练9　半弦构造 分别解决下列问题： （1） 割线中点，、，求。 （2） 、，求外段与整段。 解第（1）题 64。 。 解第（2）题 8与18。 在圆外，，。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练10　数据可行性 分别解决下列问题： （1） 外段4、整段3能表示圆外割线吗？ （2） 同点两割线乘积分别24与25，精确数据能属于同一圆吗？ 解第（1）题 不能。 整段必须大于外段。 解第（2）题 不能。 乘积应当相等。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练11　乘法对象 （1）圆外割线只要外段乘圆内部分即可。 理由：要乘从到远交点的整段。 （2）圆内相交弦的两段乘积相等。 理由：由相似三角形推出。 （3）切线长平方等于同点割线外段乘整段。 理由：两者都等于。 方法：辨清整段 注意：先写点的顺序。 针对训练 训练12　检验与证明 （1）相似关系可用于证明线段乘积关系。 理由：由对应比例交叉相乘。 （2）求出负线段长也可接受。 理由：实际长度必须为正。 （3）测量误差不会影响严格的理论等式。 理由：测量近似与演绎证明层次不同。 方法：验证几何可行性 注意：结果必须符合点的顺序。 针对训练 训练13　修复相交支撑杆 圆形窗框内两根直杆交于，一根两段为4 、9 ，另一根一段6 ，求另一段。 答：6 。 解 四个杆端都在同一圆上。 ，得。 方法：相交弦乘积。 注意：交点必须在圆内。 针对训练 训练14　测量不可达直线距离 从岸边沿直线穿过圆形水池，近岸距离3 、水面内弦长9 。另作到水池边的切线，求切线段长。 答：6 。 解 整段为 。 切线长平方，故为6。 方法：切割线关系。 注意：先把外段与水面弦段相加。 方法总结 两种方法带走 相似交叉相乘法 （1）用同弧圆周角找到相似。 （2）对应比例转化为长度乘积。 垂线平方差法 （1）作圆心到割线的垂线。 （2）用平方差把乘积化为。 $