21.4 圆周角（第1课时）课件2026-2027学年北京版数学九年级上册

第21章 圆（上） 21.4 圆周角 （第1课时）圆周角定理与圆内接四边形 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 这一课要解决什么 理解 理解圆周角定义及定理。 会用 会利用同弧圆周角和内接四边形性质。 会判断 掌握分情形证明的思路。 复习引入 从已有经验出发 观察 同一段圆弧，在圆心和圆周上观察到的角一样大吗？ 联系 理解圆周角定义及定理。 知识讲授 概念的准确表述 顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。 把关键词与图形中的对象逐一对应。 使用结论前，先核对全部条件。 知识讲授 性质与条件 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 把关键词与图形中的对象逐一对应。 使用结论前，先核对全部条件。 知识讲授 用数学语言表达 同弧或等弧所对的圆周角相等。同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 把关键词与图形中的对象逐一对应。 使用结论前，先核对全部条件。 知识讲授 补充概念 圆内接四边形的对角互补。 把关键词与图形中的对象逐一对应。 使用结论前，先核对全部条件。 知识讲授 识别圆周角的两项条件 看条件 顶点必须在圆上。 作推理 两条边都必须和圆相交。 再检查 只有一个条件成立，不能称为圆周角。 知识讲授 测量产生猜想 看条件 固定、，在同一侧弧上移动。 作推理 观察保持不变，并为的一半。 再检查 测量支持猜想，证明给出普遍依据。 知识讲授 证明一：圆心在角的一边上 看条件 ，等腰三角形底角相等。 作推理 圆心角是三角形的外角，等于两个底角之和。 再检查 故圆周角是对应圆心角的一半。 知识讲授 证明二：圆心在角的内部 看条件 连接圆周角顶点与圆心并延长成直径。 作推理 把原圆周角分成两个圆心在边上的角。 再检查 把两个已经证明的等式相加。 知识讲授 证明三：圆心在角的外部 看条件 同样过顶点作直径。 作推理 原圆周角是两个特殊圆周角之差。 再检查 把两个已经证明的等式相减。 课堂练习 练习1 如图，判断下列各图形中所画出的角是否为圆周角，并说明理由。 答：从左到右：否，是，否，否，否。 解 只有第2图的顶点在圆上且两边均和圆相交。 第1图顶点在圆外；第3图在圆内；第4、5图的一边不满足条件。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 课堂练习 练习2 ，，是⊙上的三个点，，求的度数。 答： 解 两角同对弧。 。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 课堂练习 练习3 在同一个圆中画出三条弦，使其构成三个圆周角，你有几种画法？ 答：两类基本画法：内接三角形；三弦共用一个圆上端点。 解 三角形的三顶点处各形成一个圆周角。 三弦共端点时，每两条弦形成一个圆周角，共三个。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 课堂练习 练习4 已知：，，，为⊙上的四个点，点为延长线上的一点。求证：。 答：。 解 内接四边形对角互补：。 邻补角：。 同角的补角相等。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 知识讲授 对角互补的原因 看条件 一组对角分别对应剩下的两段弧。 作推理 两段弧合成整圆，度数和为360°。 再检查 圆周角的和就是360°的一半。 知识讲授 弧与顶点不能混淆 看条件 圆周角所对弧不经过角的顶点。 作推理 把同一弦另一侧的角看作同弧角会出错。 再检查 先标出所对弧再套定理。 课堂总结 本课知识 定义 顶点在圆上，两边交圆 定理 圆周角等于同弧圆心角一半 等角 同弧或等弧对应等圆周角 四边形 内接四边形对角互补 特别提醒：先找同一条弧，再写角度关系。 针对训练 训练1　圆心角求圆周角 分别解决下列问题： （1） 同弧所对圆心角为80°，圆周角多大？ （2） 同弧所对圆心角为146°，圆周角多大？ 解第（1）题 40°。 圆周角为圆心角的一半。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练1　圆心角求圆周角 分别解决下列问题： （1） 同弧所对圆心角为80°，圆周角多大？ （2） 同弧所对圆心角为146°，圆周角多大？ 解第（2）题 73°。 圆周角为圆心角的一半。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练2　圆周角求圆心角 分别解决下列问题： （1） 一条弧所对圆周角为35°，该弧度数多少？ （2） 一条弧所对圆周角为68°，该弧度数多少？ 解第（1）题 70°。 弧度数是所对圆周角的2倍。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练2　圆周角求圆心角 分别解决下列问题： （1） 一条弧所对圆周角为35°，该弧度数多少？ （2） 一条弧所对圆周角为68°，该弧度数多少？ 解第（2）题 136°。 弧度数是所对圆周角的2倍。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练3　同弧圆周角 分别解决下列问题： （1） 、、、依次在圆上，，求。 （2） 同圆中两圆周角所对弧相等，其中一角57°，另一角多少？ 解第（1）题 42°。 两角同对弧。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练3　同弧圆周角 分别解决下列问题： （1） 、、、依次在圆上，，求。 （2） 同圆中两圆周角所对弧相等，其中一角57°，另一角多少？ 解第（2）题 57°。 同弧或等弧所对圆周角相等。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练4　内接四边形 分别解决下列问题： （1） 圆内接四边形，，求。 （2） 圆内接四边形，，求。 解第（1）题 108°。 对角互补：。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练4　内接四边形 分别解决下列问题： （1） 圆内接四边形，，求。 （2） 圆内接四边形，，求。 解第（2）题 67°。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练5　外角转化 分别解决下列问题： （1） 圆内接四边形处内角为68°，处外角是多少？ （2） 圆内接四边形处外角为121°，求处内角。 解第（1）题 68°。 处外角等于处内角。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练5　外角转化 分别解决下列问题： （1） 圆内接四边形处内角为68°，处外角是多少？ （2） 圆内接四边形处外角为121°，求处内角。 解第（2）题 121°。 一外角等于其内对角。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练6　代数列式 分别解决下列问题： （1） 内接四边形的对角为、，求。 （2） 同弧圆心角为，圆周角为，求。 解第（1）题 50。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练6　代数列式 分别解决下列问题： （1） 内接四边形的对角为、，求。 （2） 同弧圆心角为，圆周角为，求。 解第（2）题 30。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练7　弧的度数 分别解决下列问题： （1） 一条弧为154°，求它所对圆周角。 （2） 圆周角为110°，求它所对弧的度数。 解第（1）题 77°。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练7　弧的度数 分别解决下列问题： （1） 一条弧为154°，求它所对圆周角。 （2） 圆周角为110°，求它所对弧的度数。 解第（2）题 220°。 所对的是优弧，。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练8　同弦两侧 分别解决下列问题： （1） 同一弦两侧圆周角互补，其中一角40°，另一角多少？ （2） 内接四边形一对对角相等，两个角各为多少？ 解第（1）题 140°。 两角所对弧合成360°，角和180°。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练8　同弦两侧 分别解决下列问题： （1） 同一弦两侧圆周角互补，其中一角40°，另一角多少？ （2） 内接四边形一对对角相等，两个角各为多少？ 解第（2）题 90°。 相等且互补。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练9　证明与识别 分别解决下列问题： （1） 一个角顶点在圆心，两边与圆相交，它是圆周角吗？ （2） 一个角顶点在圆上，一边是切线，它一定是圆周角吗？ 解第（1）题 不是。 圆周角顶点必须在圆上。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练9　证明与识别 分别解决下列问题： （1） 一个角顶点在圆心，两边与圆相交，它是圆周角吗？ （2） 一个角顶点在圆上，一边是切线，它一定是圆周角吗？ 解第（2）题 不是。 圆周角两边均应穿过圆与圆再次相交。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练10　反向找弧 分别解决下列问题： （1） 同圆两个圆周角分别36°、54°，它们所对弧度数的比是多少？ （2） 同圆两个圆周角相等，能推出它们所对的弧相等吗？ 解第（1）题 2∶3。 两条弧为72°、108°。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练10　反向找弧 分别解决下列问题： （1） 同圆两个圆周角分别36°、54°，它们所对弧度数的比是多少？ （2） 同圆两个圆周角相等，能推出它们所对的弧相等吗？ 解第（2）题 能。 同圆中相等圆周角所对弧相等。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练11　位置与对应 （1）圆心角总是任意圆周角的2倍。 理由：必须同对一条弧。 （2）圆周角的顶点在圆上。 理由：这是定义的一项条件。 （3）同弦两侧的圆周角必相等。 理由：一般互补，不一定相等。 方法：先找所对弧 注意：弧必须是不经过角顶点的那一段。 针对训练 训练12　内接四边形 （1）圆内接四边形对角互补。 理由：由两条弧合成整圆得到。 （2）圆内接四边形相邻两角必互补。 理由：定理针对对角。 （3）同弧所对圆周角相等。 理由：都等于同一个圆心角的一半。 方法：辨清对角 注意：按顶点顺序判断。 针对训练 训练13　圆形观景台 、是圆形湖岸两个标记点，湖心所见。游客站在对侧优弧上观望、，视角多大？ 答：50°。 解 游客的圆周角对应100°劣弧。 圆周角等于对应圆心角的一半。 方法：同弧比较角。 注意：说明游客在优弧上。 针对训练 训练14　四边形窗框 四边形窗框四个角位于同一圆上，两个相邻内角为85°、105°，求另外两个角。 答：依次与它们相对的角为95°、75°。 解 分别利用对角互补。 ；。 方法：圆内接四边形性质。 注意：对角配对后再计算。 方法总结 两种方法带走 同弧转化法 （1）明确每个角所对的弧。 （2）在圆心角、圆周角之间换算。 分情况证明法 （1）先处理圆心在角边上的情形。 （2）用直径把其余情形化成和或差。 $