22.1 直线和圆的位置关系（第1课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第22章 圆（下） 22.1 直线和圆的位置关系 （第1课时）公共点个数与圆心到直线的距离 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 这一课要解决什么 理解 根据公共点个数识别相离、相切、相交。 会用 用圆心到直线的距离判断位置。 会判断 正确区分垂距与任意连线长度。 复习引入 从已有经验出发 观察 一支笔在圆形纸片上移动，会出现几种相遇方式？ 联系 根据公共点个数识别相离、相切、相交。 知识讲授 概念与性质 一条直线与一个圆没有公共点时，这条直线和这个圆相离。 把文字条件与对应图形一一联系。 应用时核对全部前提。 知识讲授 概念与性质 一条直线与一个圆有唯一公共点时，这条直线和这个圆相切。这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。 把文字条件与对应图形一一联系。 应用时核对全部前提。 知识讲授 概念与性质 一条直线与一个圆有两个公共点时，这条直线和这个圆相交。这条直线叫做圆的割线。 把文字条件与对应图形一一联系。 应用时核对全部前提。 知识讲授 距离与位置的双向关系 直线与⊙相离⇔；相切⇔；相交⇔。 是圆心到直线的垂线段长度。 始终为正数。 知识讲授 相离：最近处也到不了圆 看条件 圆心到直线的最短距离大于半径。 作推理 直线上所有点到圆心的距离都大于半径。 再检查 因此没有公共点。 知识讲授 相切：恰好到达边界 看条件 垂足到圆心的距离恰好等于半径。 作推理 直线上只有该点在圆上。 再检查 唯一公共点称为切点。 知识讲授 相交：直线穿过圆 看条件 圆心到直线的距离小于半径。 作推理 直线进入圆内再离开，产生两个交点。 再检查 相交直线称为割线。 例题讲解 例 在中，， ， ，以为圆心，为半径画圆。当（1） ，（2） ，（3） 时，⊙与所在直线具有怎样的位置关系？为什么？ 答：（1）相离；（2）相切；（3）相交。 解 ，作。 由面积等式得 。 比较2.4与三个半径。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 知识讲授 变式：固定直线，改变半径 看条件 垂距2.4不变。 作推理 半径小于2.4时相离，等于时相切，大于时相交。 再检查 条件改变的是半径，不是圆心到直线的距离。 课堂练习 练习1 已知⊙的半径为4 ，当圆心到直线的距离分别为（1）3.5 ，（2）4 ，（3）4.5 时，判断直线和⊙的位置关系。 答：（1）相交；（2）相切；（3）相离。 解 把每个距离和半径4比较。 、、依次对应三种关系。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 课堂练习 练习2 在中，，，。如果以为圆心，的长为半径画圆，那么与⊙有怎样的位置关系？ 答：相离。 解 ，。 垂距，半径。 ，所以相离。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 知识讲授 为何不能直接比较CA和半径 看条件 通常不是到的垂线段。 作推理 点到直线的距离必须沿垂直方向量取。 再检查 先作垂线，再求长度。 知识讲授 等面积法求高 看条件 同一个三角形用两种底和高表示面积。 作推理 直角三角形中。 再检查 得到后再判断圆的位置。 知识讲授 直线与线段的区别 看条件 直线沿两端无限延伸。 作推理 线段本身没有碰到圆，也不代表所在直线相离。 再检查 题目问哪一个对象，就判断哪一个对象。 知识讲授 把三种关系排成顺序 看条件 固定圆并平移直线，垂距逐渐减小。 作推理 经过相离、相切、相交三个阶段。 再检查 公共点个数依次为0、1、2。 课堂总结 本课知识 数交点 0、1、2 量距离 圆心到直线的垂距 比半径 大于、等于、小于 作判断 相离、相切、相交 特别提醒：任意斜线段不能替代圆心到直线的距离。 针对训练 训练1　直接比较 分别解决下列问题： （1） 圆半径5，圆心到直线距离3，判断位置。 （2） 圆半径5，圆心到直线距离5，判断位置。 解第（1）题 相交。 比较垂距3与半径5。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练1　直接比较 分别解决下列问题： （1） 圆半径5，圆心到直线距离3，判断位置。 （2） 圆半径5，圆心到直线距离5，判断位置。 解第（2）题 相切。 比较垂距5与半径5。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练2　边界与外侧 分别解决下列问题： （1） 圆半径7，圆心到直线距离7.1，判断位置。 （2） 圆半径7，圆心到直线距离7，判断位置。 解第（1）题 相离。 比较垂距7.1与半径7。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练2　边界与外侧 分别解决下列问题： （1） 圆半径7，圆心到直线距离7.1，判断位置。 （2） 圆半径7，圆心到直线距离7，判断位置。 解第（2）题 相切。 比较垂距7与半径7。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练3　穿过圆心 分别解决下列问题： （1） 圆半径4，圆心到直线距离0，判断位置。 （2） 圆半径4，圆心到直线距离4.5，判断位置。 解第（1）题 相交。 比较垂距0与半径4。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练3　穿过圆心 分别解决下列问题： （1） 圆半径4，圆心到直线距离0，判断位置。 （2） 圆半径4，圆心到直线距离4.5，判断位置。 解第（2）题 相离。 比较垂距4.5与半径4。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练4　反推半径范围 分别解决下列问题： （1） 垂距为6，直线与圆相交，半径满足什么条件？ （2） 垂距为9，直线与圆相离，半径满足什么条件？ 解第（1）题 。 相交要求。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练4　反推半径范围 分别解决下列问题： （1） 垂距为6，直线与圆相交，半径满足什么条件？ （2） 垂距为9，直线与圆相离，半径满足什么条件？ 解第（2）题 。 相离要求，半径还须为正。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练5　坐标轴与圆 分别解决下列问题： （1） 圆心(2,3)，半径3，圆与轴什么关系？ （2） 圆心(-4,1)，半径2，圆与轴什么关系？ 解第（1）题 相切。 圆心到轴距离为3。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练5　坐标轴与圆 分别解决下列问题： （1） 圆心(2,3)，半径3，圆与轴什么关系？ （2） 圆心(-4,1)，半径2，圆与轴什么关系？ 解第（2）题 相离。 到轴距离。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练6　水平直线 分别解决下列问题： （1） 圆心(0,2)、半径3，直线与圆什么关系？ （2） 圆心(0,2)、半径3，直线与圆什么关系？ 解第（1）题 相切。 垂距||。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练6　水平直线 分别解决下列问题： （1） 圆心(0,2)、半径3，直线与圆什么关系？ （2） 圆心(0,2)、半径3，直线与圆什么关系？ 解第（2）题 相交。 垂距。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练7　直角三角形的高 分别解决下列问题： （1） 两直角边5、12，求斜边上的高。 （2） 两直角边9、12，求斜边上的高。 解第（1）题 。 斜边13，用等面积法。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练7　直角三角形的高 分别解决下列问题： （1） 两直角边5、12，求斜边上的高。 （2） 两直角边9、12，求斜边上的高。 解第（2）题 7.2。 斜边15，高。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练8　同心圆的双重判断 分别解决下列问题： （1） 同心圆半径2、5，直线垂距3，分别判断与小、大圆关系。 （2） 同心圆半径3、6，直线垂距3，分别判断。 解第（1）题 小圆相离，大圆相交。 分别比较3与2、5。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练8　同心圆的双重判断 分别解决下列问题： （1） 同心圆半径2、5，直线垂距3，分别判断与小、大圆关系。 （2） 同心圆半径3、6，直线垂距3，分别判断。 解第（2）题 小圆相切，大圆相交。 同一垂距用于两个不同半径。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练9　公共点个数 分别解决下列问题： （1） 直线与圆有且只有一个公共点，直线叫什么？ （2） 直线与圆有两个公共点，直线叫什么？ 解第（1）题 切线。 唯一公共点叫切点。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练9　公共点个数 分别解决下列问题： （1） 直线与圆有且只有一个公共点，直线叫什么？ （2） 直线与圆有两个公共点，直线叫什么？ 解第（2）题 割线。 位置关系为相交。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练10　从位置到距离 分别解决下列问题： （1） 半径8，直线相切，圆心到直线距离是多少？ （2） 半径5，直线过圆心，交点之间距离是多少？ 解第（1）题 8。 相切时。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练10　从位置到距离 分别解决下列问题： （1） 半径8，直线相切，圆心到直线距离是多少？ （2） 半径5，直线过圆心，交点之间距离是多少？ 解第（2）题 10。 交点连成直径，长。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练11　距离的含义 （1）圆心到直线上任一点的连线长就是。 理由：必须取垂线段长。 （2）过圆心的直线与圆相交。 理由：垂距。 （3）相切时有两个公共点。 理由：只有一个。 方法：先作垂线 注意：距离必须唯一且最短。 针对训练 训练12　等价关系 （1）可推出直线与圆相离。 理由：距离判定。 （2）相交时可以等于。 理由：相交要求严格小于。 （3）半径变大，固定直线可能由相离变相交。 理由：不变，跨越临界值。 方法：注意不等号 注意：严格与不严格不可混用。 针对训练 训练13　道路是否穿过保护区 圆形保护区半径300 ，规划笔直道路到保护区中心的垂直距离为320 。道路是否进入保护区？ 答：不进入。 解 ，道路与边界圆相离。 离保护区最近还差20 。 方法：比较最短距离与半径。 注意：确认给出的距离为垂直距离。 针对训练 训练14　圆形舞台与灯光线 圆形舞台半径4 ，一束直线灯光到圆心距离3 ，灯光线在舞台内的长度是多少？ 答： 。 解 相交时形成一条弦。 半弦，再乘2。 方法：位置判断后用垂径定理。 注意：先判相交，再谈弦长。 方法总结 两种方法带走 垂距比较法 （1）作圆心到直线的垂线。 （2）比较垂距与半径。 等面积求高法 （1）先求直角三角形斜边。 （2）用两种面积表达式求垂距。 $