22.2 圆的切线（第1课时）课件2026-2027学年北京版数学九年级上册

第22章 圆（下） 22.2 圆的切线 （第1课时）切线的判定 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 这一课要解决什么 理解 掌握圆的切线判定。 会用 会连接圆心与已知圆上点。 会判断 能证明垂直并核对半径外端。 复习引入 从已有经验出发 观察 过圆上一点，怎样画出准确的切线？ 联系 掌握圆的切线判定。 知识讲授 概念与性质 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 把文字条件与对应图形一一联系。 应用时核对全部前提。 知识讲授 判定的两项条件 看条件 直线经过圆上的点，即半径的外端。 作推理 还要证明直线与垂直。 再检查 两项同时成立，才能判定为切线。 知识讲授 为什么判定成立 看条件 过的直线垂直，则为圆心到直线的垂足。 作推理 圆心到该直线距离等于，也就是半径。 再检查 由得到相切。 例题讲解 例 1 已知：如图，为⊙的直径， ， ， 。判断直线与⊙是否相切，并说明理由。 答：相切，为切点。 解 ，因此。 经过半径的外端且垂直。 由切线判定得相切。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 知识讲授 变式：数字变化，方法不变 看条件 若、、，仍有。 作推理 为直径且，就能判定相切。 再检查 不要把最大边放错位置。 课堂练习 练习1 砂轮转动时，火花是沿着砂轮的切线方向飞出去的，给我们以直线和圆相切的形象。请你再举出几个生活中直线和圆相切的实例。 答：例如圆轮与平直地面的接触、皮带与圆形轮缘的直线接触段。 解 把实际圆轮的截面抽象成圆。 把接触处的平面边缘抽象成直线。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 课堂练习 练习2 如图，是⊙的直径，分别过点、点画⊙的切线，并判断这两条切线的位置关系。 答：两条切线平行。 解 分别过、作直径的垂线。 两直线同垂直于，所以互相平行。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 课堂练习 练习3 已知：如图，直线经过⊙上的点，且，。判断直线与⊙的位置关系，并说明理由。 答：相切，切点为。 解 为等腰三角形，为底边中点。 因此。 经过半径外端，故为切线。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 知识讲授 有公共点时：连接半径 看条件 题目已经给出圆上一点。 作推理 先连接，目标转为证明直线。 再检查 常用等腰三角形、平行线或勾股逆定理。 知识讲授 没有给公共点时：作垂距 看条件 先过圆心作直线的垂线。 作推理 如果算得垂距等于半径，就可判相切。 再检查 这两条判定路线可以相互配合。 知识讲授 平行线帮助证明垂直 看条件 若已知，且。 作推理 便可推出。 再检查 还须核对经过圆上的点。 知识讲授 角度计算帮助判定 看条件 先用三角形内角和求出目标角。 作推理 若得到90°，便获得所需垂直关系。 再检查 应说清是切点处半径与直线形成的角。 知识讲授 尺规操作与论证 看条件 连接圆心与点。 作推理 过作的垂线。 再检查 写出或判定定理作为作图依据。 知识讲授 反例检查第一项条件 看条件 过圆心的直线也可垂直某一条半径所在直线。 作推理 但它并未经过该半径的外端。 再检查 不能只凭“垂直半径”四字判断。 知识讲授 反例检查第二项条件 看条件 经过圆上点的直线通常还有第二个交点。 作推理 只有垂直该点半径时，才能保证相切。 再检查 “经过圆上一点”不是充分条件。 知识讲授 把判定写成证明链 看条件 在圆上，所以为半径。 作推理 证明。 再检查 经过，因此是切线。 课堂总结 本课知识 找点 确认圆上公共点 连半径 连接圆心与公共点 证垂直 勾股、等腰或角关系 下结论 外端且垂直，判为切线 特别提醒：垂直半径还不够，必须经过该半径外端。 针对训练 训练1　直接判定 分别解决下列问题： （1） 在圆上，，过，判断。 （2） 在圆上，，过，切点是谁？ 解第（1）题 圆的切线。 两项判定条件都满足。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练1　直接判定 分别解决下列问题： （1） 在圆上，，过，判断。 （2） 在圆上，，过，切点是谁？ 解第（2）题 。 半径外端是唯一公共点。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练2　勾股逆定理 分别解决下列问题： （1） 为直径，、、，是否为切线？ （2） 为直径，、、，是否为切线？ 解第（1）题 是。 ，。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练2　勾股逆定理 分别解决下列问题： （1） 为直径，、、，是否为切线？ （2） 为直径，、、，是否为切线？ 解第（2）题 是。 ，。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练3　垂距判定 分别解决下列问题： （1） 半径7，圆心到直线距离7，直线是否为切线？ （2） 半径7，圆心到直线距离6，直线是否为切线？ 解第（1）题 是。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练3　垂距判定 分别解决下列问题： （1） 半径7，圆心到直线距离7，直线是否为切线？ （2） 半径7，圆心到直线距离6，直线是否为切线？ 解第（2）题 不是。 ，直线为割线。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练4　等腰三角形模型 分别解决下列问题： （1） 、在直线上，，为中点且在圆上，是否为切线？ （2） 同模型，圆半径4，是否相切？ 解第（1）题 是。 等腰三角形底边中线垂直。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练4　等腰三角形模型 分别解决下列问题： （1） 、在直线上，，为中点且在圆上，是否为切线？ （2） 同模型，圆半径4，是否相切？ 解第（2）题 相切。 为垂距且等于半径。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练5　平行关系 分别解决下列问题： （1） 在圆上，过；且，证明相切。 （2） 为直径，、为两端点切线，夹角是多少？ 解第（1）题 ，故为切线。 平行线的垂直关系传递。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练5　平行关系 分别解决下列问题： （1） 在圆上，过；且，证明相切。 （2） 为直径，、为两端点切线，夹角是多少？ 解第（2）题 0°，即两线平行。 两线都垂直。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练6　角和判定 分别解决下列问题： （1） 为直径，中、，是否相切？ （2） 为直径，中、，是否相切？ 解第（1）题 是。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练6　角和判定 分别解决下列问题： （1） 为直径，中、，是否相切？ （2） 为直径，中、，是否相切？ 解第（2）题 不是。 ，不垂直。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练7　坐标中的切线 分别解决下列问题： （1） 圆心O=(0,0)、半径3，直线是否为切线？ （2） 同圆直线是否为切线？ 解第（1）题 是。 垂距3等于半径。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练7　坐标中的切线 分别解决下列问题： （1） 圆心O=(0,0)、半径3，直线是否为切线？ （2） 同圆直线是否为切线？ 解第（2）题 是。 到直线距离为3。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练8　作图说明 分别解决下列问题： （1） 过圆上点作切线，第一条应连接的线段是什么？ （2） 作出过且垂直的直线后，还需检查在哪里？ 解第（1）题 。 它是切点半径。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练8　作图说明 分别解决下列问题： （1） 过圆上点作切线，第一条应连接的线段是什么？ （2） 作出过且垂直的直线后，还需检查在哪里？ 解第（2）题 确实在圆上。 应为半径的外端。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练9　证明补全 分别解决下列问题： （1） 为直径，，可推出哪个角为90°？ （2） 在圆上，直线与夹角90°，请写结论。 解第（1）题 。 是勾股关系中的斜边。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练9　证明补全 分别解决下列问题： （1） 为直径，，可推出哪个角为90°？ （2） 在圆上，直线与夹角90°，请写结论。 解第（2）题 经过时为切线。 必须补明过这一条件。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练10　多条件筛选 分别解决下列问题： （1） 过圆上，且在上，能判切线吗？ （2） 垂直但不经过，能直接判为点切线吗？ 解第（1）题 能。 且过。 解第（2）题 不能。 半径外端条件缺失。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练11　必要条件 （1）经过半径外端的直线都是切线。 理由：还需垂直该半径。 （2）只要垂直一条半径就是切线。 理由：还须经过半径外端。 （3）连接公共点半径后证垂直可判切线。 理由：两项条件齐备。 方法：逐项核对 注意：避免只证明一半。 针对训练 训练12　方法使用 （1）勾股逆定理可以用于切线判定。 理由：它可证明相关角为90°。 （2）两端点切线必相交。 理由：直径两端切线平行。 （3）垂距等于半径也能判相切。 理由：距离与位置的等价关系。 方法：明确使用方向 注意：判定用于从条件得到相切。 针对训练 训练13　轮轨接触设计 圆轮半径20 ，水平轨道距轮心20 ，轨道是否与轮相切？接触点在何处？ 答：相切；接触点是轮心向轨道所作垂线的垂足。 解 垂距等于半径。 垂足同时位于圆与轨道上。 方法：距离判定。 注意：按理想圆和直线模型分析。 针对训练 训练14　直线边框的设计 设计师在半径5 的圆形标志点外接直线边框。已知水平，边框应沿什么方向？ 答：过作竖直直线。 解 竖直线垂直水平半径。 又经过半径外端，所以为切线。 方法：半径外端作垂线。 注意：位置与方向两个条件缺一不可。 方法总结 两种方法带走 连半径证垂直 （1）已有公共点时连接其半径。 （2）用几何性质证明90°。 作垂距证相等 （1）没有公共点时先作垂线。 （2）证明垂距等于圆半径。 $