21.4 圆周角（第2课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第21章 圆（上） 21.4 圆周角 （第2课时）直径与直角的相互转化 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 这一课要解决什么 理解 掌握直径与直角的双向转化。 会用 会借助直角三角形求边与角。 会判断 能用圆解释中线性质的逆命题。 复习引入 从已有经验出发 观察 怎样仅凭一个直角识别圆的直径？ 联系 掌握直径与直角的双向转化。 知识讲授 概念的准确表述 半圆（或直径）所对的圆周角是直角。 把关键词与图形中的对象逐一对应。 使用结论前，先核对全部条件。 知识讲授 性质与条件 90°的圆周角所对的弦是直径。 把关键词与图形中的对象逐一对应。 使用结论前，先核对全部条件。 知识讲授 由半圆到直角 看条件 半圆对应180°圆心角。 作推理 圆周角为它的一半，即90°。 再检查 连结直径端点与圆上另一点，得到直角三角形。 知识讲授 由直角到直径 看条件 90°圆周角所对弧为180°。 作推理 对应弦经过圆心，是直径。 再检查 反向转化可以帮助确定圆心位置。 例题讲解 例 1 已知：如图，为⊙的直径，，分别交⊙于，两点，，，求的度数。 答： 解 是直径，。 ，。 。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 知识讲授 变式：先锁定直角 看条件 求角时先找出所有直径。 作推理 把直径对应的圆周角标成90°。 再检查 再用同弧等角及三角形内角和传递。 例题讲解 例 2 已知：如图，在⊙中，直径的长为10 ，弦的长为6 ，的平分线交⊙于点，求，和的长。 答： ， 。 解 直径得。 勾股定理得；角平分线得弧弧。 ，故。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 知识讲授 先角后边的解题链 看条件 直径先提供直角。 作推理 角平分线再提供等圆周角、等弧、等弦。 再检查 最后利用等腰直角三角形计算。 课堂练习 练习1 证明：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 答：该边所对的角为直角。 解 设为中点且。 则，在以为直径的圆上。 直径所对。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 课堂练习 练习2 使用曲尺检验工件的凹面。已知凹面成半圆时工件为合格品。如图所示的三种情况中，哪个工件可能是合格的？哪个工件是不合格的？为什么？ 答：中间的可能合格；左、右不合格。 解 合格半圆上任一点对直径两端的张角应为90°。 图中只有中间曲尺直角顶点落在凹面上且两边通过端点。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 课堂练习 练习3 如图，⊙经过坐标原点，并与两坐标轴相交于，两点，已知，点的坐标为，求点的坐标及圆心的坐标。 答：，。 解 ，所以是直径。 同弧得，。 为中点。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 知识讲授 检查所求边的角色 看条件 直径是所构造直角三角形的斜边。 作推理 勾股定理中用斜边平方减直角边平方。 再检查 所得弦长必须小于或等于直径。 知识讲授 坐标题的符号判断 看条件 读图先确定交点位于哪条半轴。 作推理 求出的长度非负，坐标还需考虑方向。 再检查 原图在轴正半轴，所以横坐标取正。 知识讲授 直角三角形中的圆心 看条件 斜边的中点到两个端点距离相等。 作推理 由直角三角形中线性质，它到第三顶点距离也相等。 再检查 三点等距与圆周直角构成相互验证。 知识讲授 把图形与坐标连起来 看条件 先用圆中的直角找到直径。 作推理 由两个直径端点坐标确定中点。 再检查 由直径长度求半径。 课堂总结 本课知识 直径 推出圆周角90° 直角 反推所对弦为直径 计算 勾股或特殊直角三角形 坐标 直径中点确定圆心 特别提醒：直径所对的是圆周角，顶点在圆上。 针对训练 训练1　直径求角 分别解决下列问题： （1） 为直径，在圆上且不为端点，，求。 （2） 为直径，在圆上，，求。 解第（1）题 62°。 ，另两锐角互余。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练1　直径求角 分别解决下列问题： （1） 为直径，在圆上且不为端点，，求。 （2） 为直径，在圆上，，求。 解第（2）题 23°。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练2　直角判直径 分别解决下列问题： （1） 圆上、、满足，哪条弦是直径？ （2） 圆上、、满足，，半径多少？ 解第（1）题 。 直角所对的弦为直径。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练2　直角判直径 分别解决下列问题： （1） 圆上、、满足，哪条弦是直径？ （2） 圆上、、满足，，半径多少？ 解第（2）题 9。 为直径。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练3　勾股求弦 分别解决下列问题： （1） 为直径13，，在圆上，求。 （2） 为直径25，，在圆上，求。 解第（1）题 12。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练3　勾股求弦 分别解决下列问题： （1） 为直径13，，在圆上，求。 （2） 为直径25，，在圆上，求。 解第（2）题 24。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练4　等腰直角模型 分别解决下列问题： （1） 直径，在圆上且，求。 （2） ，，求外接圆半径。 解第（1）题 。 两直角边相等，。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练4　等腰直角模型 分别解决下列问题： （1） 直径，在圆上且，求。 （2） ，，求外接圆半径。 解第（2）题 。 斜边，半径为一半。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练5　中线逆命题 分别解决下列问题： （1） 是边中线，、，能确定什么角？ （2） 是中线，，，求。 解第（1）题 。 ，在直径的圆上。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练5　中线逆命题 分别解决下列问题： （1） 是边中线，、，能确定什么角？ （2） 是中线，，，求。 解第（2）题 52°。 先得，再用锐角互余。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练6　角平分线截弧 分别解决下列问题： （1） 为直径12，平分线交圆于，求。 （2） 同题直径为，求、。 解第（1）题 。 且。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练6　角平分线截弧 分别解决下列问题： （1） 为直径12，平分线交圆于，求。 （2） 同题直径为，求、。 解第（2）题 均为10。 等腰直角三角形斜边是直角边倍。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练7　直角与外接圆 分别解决下列问题： （1） 直角三角形直角边6、8，求外接圆面积。 （2） 直角三角形斜边20，求外接圆周长。 解第（1）题 。 斜边10，半径5。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练7　直角与外接圆 分别解决下列问题： （1） 直角三角形直角边6、8，求外接圆面积。 （2） 直角三角形斜边20，求外接圆周长。 解第（2）题 。 圆周长等于乘直径。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练8　坐标与中点 分别解决下列问题： （1） O=(0,0)、A=(6,0)、D=(0,8)同圆，求圆心。 （2） 直径端点A=(-4,2)、B=(6,2)，求圆心与半径。 解第（1）题 (3,4)。 ，为直径，取中点。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练8　坐标与中点 分别解决下列问题： （1） O=(0,0)、A=(6,0)、D=(0,8)同圆，求圆心。 （2） 直径端点A=(-4,2)、B=(6,2)，求圆心与半径。 解第（2）题 圆心(1,2)，半径5。 直径中点是圆心，长度10。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练9　构造直角 分别解决下列问题： （1） 要证明圆上，证明哪一条线经过圆心即可？ （2） 为直径，在圆上且，是多少？ 解第（1）题 。 成为直径后应用圆周角推论。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练9　构造直角 分别解决下列问题： （1） 要证明圆上，证明哪一条线经过圆心即可？ （2） 为直径，在圆上且，是多少？ 解第（2）题 45°。 等腰直角三角形两锐角各45°。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练10　有无唯一答案 分别解决下列问题： （1） 直角三角形两边长3、4，外接圆半径有几种可能？ （2） 直角三角形两直角边明确为3、4，外接圆半径多少？ 解第（1）题 2或2.5。 4为斜边时；两边为直角边时斜边5。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练10　有无唯一答案 分别解决下列问题： （1） 直角三角形两边长3、4，外接圆半径有几种可能？ （2） 直角三角形两直角边明确为3、4，外接圆半径多少？ 解第（2）题 2.5。 已排除分类，斜边5。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练11　双向转化 （1）直径所对圆周角都是直角。 理由：顶点须为圆上非端点。 （2）90°圆心角所对的弦是直径。 理由：应为90°圆周角。 （3）有一边中线等于该边一半的三角形是直角三角形。 理由：可构造三点等距的圆。 方法：区分圆心角与圆周角 注意：不要混用两种角。 针对训练 训练12　计算与位置 （1）直角三角形外心是斜边中点。 理由：它到三个顶点等距。 （2）等腰三角形一定内接于半圆。 理由：只有特定的直角情况才对应斜边为直径。 （3）圆内接直角三角形斜边是直径。 理由：90°圆周角推论。 方法：反向检查 注意：半径是斜边的一半。 针对训练 训练13　测量圆形零件 用直角尺两边通过圆形零件边缘、，直角顶点也在圆周上。量得 、 ，求零件直径。 答：15 。 解 ，为直径。 。 方法：直角判直径，再用勾股。 注意：三点都须在同一圆上。 针对训练 训练14　半圆形窗的支撑杆 半圆窗直径为10 ，圆弧上一点到直径端点的支撑杆长6 ，求到另一端的杆长。 答：8 。 解 。 。 方法：半圆产生直角。 注意：支撑杆是弦，不是圆弧。 方法总结 两种方法带走 直径直角转化 （1）有直径就连接圆上第三点。 （2）有圆周直角就寻找它所对的弦。 等距构圆法 （1）证明某点到三顶点等距。 （2）利用直径所对直角完成判断。 $