20.5 测量与计算（第2课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第20章 解直角三角形 20.5 测量与计算 （第2课时）坡度与坡角 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 本课要解决的问题 会说 理解坡度、坡角及其联系。 会做 能区分水平宽度、铅直高度和坡长。 会解释 能分解隧道或堤坝截面中的直角三角形。 复习引入 怎样表示坡面的陡缓 情境 两条坡面看起来一陡一缓。 思考 怎样用一个数准确描述倾斜程度？ 连接 把铅直升高与水平前进的距离作比。 知识讲授 坡度的定义 我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或坡比），用字母表示，即。 分母是水平宽度，不是沿坡面行走的长度。 坡度是比值，没有长度单位。 α h l 知识讲授 怎样读1:m 比的顺序 表示铅直高度1份对应水平宽度m份。 转成分数 ；相同高度下，m越大，坡越缓。 随堂探究 探究　读懂坡度1:2 坡度为1:2，水平前进10 m时升高多少米？ 答：5 m。 解 。 。 方法：先把实际条件画进直角三角形 注意：区分水平距离、斜线长度与竖直高度 知识讲授 坡度与坡角 如果把坡面与水平面的夹角记为（叫做坡角），那么坡度等于坡角的正切值，即。 坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡。 坡度是比值，坡角是角度，不能混为一谈。 随堂探究 探究　45°坡角的坡度 坡角为45°，坡度是多少？若坡度为1，坡角是多少？ 答：坡度1:1；坡角45°。 解 。 锐角正切值确定对应坡角。 方法：先把实际条件画进直角三角形 注意：区分水平距离、斜线长度与竖直高度 知识讲授 高度、宽度与坡长 两直角边 铅直高度、水平宽度是直角边。 斜边 坡长。 三角函数 ，。 α h l 随堂探究 探究　坡度不是升高除以坡长 坡面高3 m、水平宽4 m，求坡度和坡长。 答：坡度3:4，坡长5 m。 解 。 。 方法：先把实际条件画进直角三角形 注意：区分水平距离、斜线长度与竖直高度 知识讲授 隧道模型怎样拆分 同一高度 从山顶向水平隧道作垂线，把山体截面分成两个直角三角形。 先易后难 由右侧斜边与角求共同高度，再用左侧坡度求水平宽度。 例题讲解 例 2 铁路穿山，在山腰处开凿水平隧道。西山坡坡度，从山顶看的俯角60°，。求长（精确到0.1 m）。 答：约61.2 m。 解 作，，。 ，。 方法：先求共同高，再把两段水平宽度相加 注意：1:0.6意味着水平宽度是高度的0.6倍 随堂探究 探究　例2变式：改坡度 若共同高仍为 m，右侧水平宽30 m，左坡改为1:1，隧道长是多少？ 答： m，约82.0 m。 解 坡度1:1，左侧宽等于高。 左右宽度相加。 方法：先把实际条件画进直角三角形 注意：区分水平距离、斜线长度与竖直高度 随堂探究 探究　坡度比较 坡度1:0.6与1:2，哪一侧更陡？ 答：1:0.6更陡。 解 两个比值分别为与。 正切值较大，对应坡角较大。 方法：先把实际条件画进直角三角形 注意：区分水平距离、斜线长度与竖直高度 知识讲授 堤坝的梯形截面 三部分宽度 底宽=左坡水平宽+堤顶宽+右坡水平宽。 共同高度 两侧坡面的铅直高度都等于堤高。 课堂练习 练习1 有一段防洪大堤，横断面为梯形。根据图示数据，求堤底宽、坡角、坡角（角度精确到1°）。 答：；，。 解 左坡、高4，故左宽；右坡1:2，右宽。 ；，。 方法：分别求两侧水平投影与坡角 注意：图中5 m是左坡长，4 m是堤高 随堂探究 探究　练习变式：只改堤顶宽 上题堤顶由2.5 m改为4 m，两侧坡形与高度不变，底宽是多少？ 答：15 m。 解 两侧水平宽仍为3 m和8 m。 。 方法：先把实际条件画进直角三角形 注意：区分水平距离、斜线长度与竖直高度 随堂探究 探究　核验两个坡角 为什么上题左坡角大于右坡角？ 答：左坡度大于右坡度。 解 两个角都为锐角。 正切值较大对应坡角较大，与53°>27°一致。 方法：先把实际条件画进直角三角形 注意：区分水平距离、斜线长度与竖直高度 知识讲授 用计算器求坡角 已知坡度 输入正切反函数，并保持角度制。 例子 给出。 取整 精确到1°时写27°。 随堂探究 探究　求坡长的一般关系 坡度1:m、高度为h，水平宽度和坡长如何表示？ 答：宽度，坡长。 解 由得。 再应用勾股定理。 方法：先把实际条件画进直角三角形 注意：区分水平距离、斜线长度与竖直高度 随堂探究 探究　一条缓坡的长度 坡度1:4，高度2 m，求水平宽度与坡长。 答：宽8 m，坡长 m。 解 水平宽度是高度的4倍。 坡长。 方法：先把实际条件画进直角三角形 注意：区分水平距离、斜线长度与竖直高度 知识讲授 坡面上行走的升高量 已知坡长 先用坡度确定直角边比例，再求斜边比例。 按比例放缩 若坡度3:4，则高、宽、坡长的比为3:4:5。 随堂探究 探究　由坡面路程求升高 坡度3:4，沿坡面走20 m，升高多少米？ 答：12 m。 解 对应3:4:5直角三角形。 坡长20对应5份，每份4，升高12。 方法：先把实际条件画进直角三角形 注意：区分水平距离、斜线长度与竖直高度 课堂练习 辨析　坡度概念辨析 （1）坡度1:3表示坡角3°。 × 理由：表示高度与水平宽度之比1:3。 （2）同样高度下，水平宽度越大，坡越缓。 √ 理由：高度/宽度变小。 （3）坡度可以大于1。 √ 理由：高度可大于水平宽度。 方法：抓住铅直高度和水平宽度 注意：坡长不能作坡度分母 随堂探究 探究　双侧坡宽反求高度 一梯形堤顶宽4 m，堤底宽19 m，两侧坡度分别1:1和1:2，求高。 答：5 m。 解 两侧水平宽分别为h、2h。 ，解得h=5。 方法：先把实际条件画进直角三角形 注意：区分水平距离、斜线长度与竖直高度 知识讲授 坡度应用的检查清单 看单位 高度与宽度先统一长度单位。 看图形 坡长是斜边，水平投影才计入底宽。 看陡缓 计算得到的坡度、坡角及图形应相互吻合。 课堂总结 坡度与坡角 识别条件 坡度是铅直高度与水平宽度之比 选择关系 ，坡长用勾股定理 规范运算 先保留精确值；近似计算按题目要求取值。 检验解释 核对大小、单位与实际意义，回答完整。 特别提醒：坡比不是角度；底宽由水平投影相加。 针对训练 训练1　读比值 坡度1:5表示什么？ 答：每升高1份，对应水平前进5份。 解 按高度:水平宽度解释。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练2　计算坡度 高4 m、水平宽10 m，求坡度。 答：2:5，即1:2.5。 解 。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练3　求高度 坡度1:3，水平宽12 m，求高。 答：4 m。 解 。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练4　求宽度 坡度1:2.5，高6 m，求水平宽。 答：15 m。 解 。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练5　45°坡面 坡角45°，高7 m，求水平宽。 答：7 m。 解 正切为1。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练6　30°坡面 坡角30°，高3 m，求水平宽。 答： m。 解 。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练7　求坡长 高5 m、水平宽12 m，坡长多少？ 答：13 m。 解 。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练8　求坡角 坡度1:1，坡角多少？ 答：45°。 解 。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练9　比较陡缓 坡度1:2与1:4，哪个更陡？ 答：1:2。 解 。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练10　由坡长求高 坡度3:4，坡长15 m，求高。 答：9 m。 解 高与坡长比3:5。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练11　梯形底宽 堤高3 m、顶宽2 m，两侧坡度1:2与1:3，底宽多少？ 答：17 m。 解 。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练12　由底宽求高 顶宽5 m、底宽17 m，两侧坡度均1:2，求高。 答：3 m。 解 。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练13　单位陷阱 坡高50 cm、水平宽2 m，坡度是多少？ 答：1:4。 解 50 cm=0.5 m，。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练14　百分数表达 坡度10%表示每水平前进100 m升高多少米？ 答：10 m。 解 10%=0.1=高度/水平宽度。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练15　应用：园路设计 需用坡度1:12的直坡连接高差0.8 m的两处平台，水平占地长度和坡长分别多少（坡长取0.1 m）？ 答：水平长9.6 m，坡长约9.6 m。 解 。 。 方法：高、宽、坡长分开计算 注意：两个近似值相同不代表精确相等 针对训练 训练16　应用：堤坝核算 堤高4 m，顶宽3 m，两侧坡度1:1.5和1:2，求底宽与横断面面积。 答：底宽17 m，面积40 m²。 解 底宽。 梯形面积。 方法：先求水平宽再求截面面积 注意：面积单位为平方米 方法总结 把本课方法整理成可操作的步骤 三量分清法 （1）高与水平宽是直角边 （2）坡长是斜边，不能混作分母 截面分解法 （1）作垂线分出左右直角三角形 （2）分别计算投影后求和 $