21.1 圆的有关概念（第2课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第21章 圆（上） 21.1 圆的有关概念 （第2课时）弦、弧、弧长与扇形面积 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 这一课要解决什么 理解 识别弦、弧、圆心角与扇形。 会用 会求弧长、扇形面积。 会判断 区分弧长与弦长。 复习引入 从已有经验出发 观察 钟表指针扫过的路线与区域有什么不同？ 联系 识别弦、弧、圆心角与扇形。 知识讲授 概念的准确表述 圆心相同、半径不相等的两个圆称为同心圆。能够重合的两个圆称为等圆。 把关键词与图形中的对象逐一对应。 使用结论前，先核对全部条件。 知识讲授 性质与条件 圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。小于半圆的弧又称为劣弧。大于半圆的弧又称为优弧。 把关键词与图形中的对象逐一对应。 使用结论前，先核对全部条件。 知识讲授 用数学语言表达 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。顶点在圆心的角叫做圆心角。 把关键词与图形中的对象逐一对应。 使用结论前，先核对全部条件。 知识讲授 补充概念 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 把关键词与图形中的对象逐一对应。 使用结论前，先核对全部条件。 知识讲授 扇形 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。 把关键词与图形中的对象逐一对应。 使用结论前，先核对全部条件。 知识讲授 弧长公式 在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长的计算公式：。 把整圆周长按角度比例分配。 表示角度的数值。 知识讲授 扇形面积公式 半径为，圆心角为的扇形面积的计算公式是。 还可写成。 面积单位是长度单位的平方。 例题讲解 例 3 道路施工部门在铺设形如图的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料。试计算图中的管道中心线弧的长（取3.14，结果精确到0.1 ）。 答：约83.7 。 解 图中，。 。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 知识讲授 变式：长度与角度成比例 看条件 半径保持40 时，60°圆弧是120°圆弧的一半。 作推理 半径不变，弧长随圆心角成正比例变化。 再检查 比较前必须固定半径。 例题讲解 例 4 如图，现有一把折扇和一把圆扇。已知折扇的骨柄长等于圆扇的直径，折扇扇面的宽度是骨柄长的，折扇张开的角度为120°，通过计算来说明哪一把扇子的扇面面积较大。 答：折扇面积较大。 解 设骨柄长，圆扇面积为。 折扇面积。 。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 知识讲授 扇面为什么要相减 看条件 折扇的骨柄并不全被扇面覆盖。 作推理 内半径为。 再检查 环形扇面等于同角度大扇形减小扇形。 课堂练习 辨析　练习1：逐项判断 （1）直径是弦。 理由：直径是经过圆心的特殊弦。 （2）半圆是弧。 理由：它是圆上的一部分。 （3）长度相等的两条弧是等弧。 理由：还须在同圆或等圆中。 （4）在同圆中，优弧一定比劣弧长。 理由：分别大于、小于半圆。 方法：按定义检查 注意：等弧必须能重合。 课堂练习 练习2 弧长为的弧所对的圆心角为60°，求弧所在的圆的半径。 答： 解 。 解得。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 课堂练习 练习3 扇形的面积是，它的半径是，求这个扇形的弧长。 答： 解 。 两边乘2，再除以。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 知识讲授 公式来自比例 看条件 占整圆的。 作推理 求弧长：用该比例乘整圆周长。求面积：用该比例乘整圆面积。 再检查 同一比例应用于不同对象。 课堂总结 本课知识 认图 圆心角、弦、弧、扇形 弧长 面积 或 应用 周长加半径，环形作差 特别提醒：等弧的前提是同圆或等圆。 针对训练 训练1　弧长直接求值 分别解决下列问题： （1） ，圆心角，求弧长。 （2） ，圆心角，求弧长。 解第（1）题 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练1　弧长直接求值 分别解决下列问题： （1） ，圆心角，求弧长。 （2） ，圆心角，求弧长。 解第（2）题 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练2　半圆与四分之一圆 分别解决下列问题： （1） ，圆心角，求弧长。 （2） ，圆心角，求弧长。 解第（1）题 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练2　半圆与四分之一圆 分别解决下列问题： （1） ，圆心角，求弧长。 （2） ，圆心角，求弧长。 解第（2）题 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练3　不同角度的弧 分别解决下列问题： （1） ，圆心角，求弧长。 （2） ，圆心角，求弧长。 解第（1）题 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练3　不同角度的弧 分别解决下列问题： （1） ，圆心角，求弧长。 （2） ，圆心角，求弧长。 解第（2）题 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练4　反求圆心角 分别解决下列问题： （1） ，弧长，求圆心角。 （2） ，弧长，求圆心角。 解第（1）题 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练4　反求圆心角 分别解决下列问题： （1） ，弧长，求圆心角。 （2） ，弧长，求圆心角。 解第（2）题 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练5　扇形面积 分别解决下列问题： （1） 半径6，圆心角120°，求扇形面积。 （2） 半径8，圆心角45°，求扇形面积。 解第（1）题 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练5　扇形面积 分别解决下列问题： （1） 半径6，圆心角120°，求扇形面积。 （2） 半径8，圆心角45°，求扇形面积。 解第（2）题 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练6　利用弧长求面积 分别解决下列问题： （1） 弧长10，半径6，求扇形面积。 （2） 弧长，半径4，求扇形面积。 解第（1）题 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练6　利用弧长求面积 分别解决下列问题： （1） 弧长10，半径6，求扇形面积。 （2） 弧长，半径4，求扇形面积。 解第（2）题 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练7　扇形周长 分别解决下列问题： （1） 半径3，圆心角120°，求扇形周长。 （2） 半径4，弧长7，求扇形周长。 解第（1）题 先求弧长，再加两条半径6。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练7　扇形周长 分别解决下列问题： （1） 半径3，圆心角120°，求扇形周长。 （2） 半径4，弧长7，求扇形周长。 解第（2）题 周长。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练8　反求未知量 分别解决下列问题： （1） 扇形面积18，半径6，求弧长。 （2） 扇形面积，圆心角90°，求半径。 解第（1）题 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练8　反求未知量 分别解决下列问题： （1） 扇形面积18，半径6，求弧长。 （2） 扇形面积，圆心角90°，求半径。 解第（2）题 ，取正根。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练9　环形扇面 分别解决下列问题： （1） 同为60°，外半径6、内半径3，求环形扇面面积。 （2） 同为90°，外半径10、内半径6，求环形扇面面积。 解第（1）题 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练9　环形扇面 分别解决下列问题： （1） 同为60°，外半径6、内半径3，求环形扇面面积。 （2） 同为90°，外半径10、内半径6，求环形扇面面积。 解第（2）题 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练10　量的变化 分别解决下列问题： （1） 半径不变，圆心角扩大2倍，弧长怎样变化？ （2） 圆心角不变，半径扩大2倍，面积怎样变化？ 解第（1）题 扩大2倍。 弧长与圆心角成正比例。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练10　量的变化 分别解决下列问题： （1） 半径不变，圆心角扩大2倍，弧长怎样变化？ （2） 圆心角不变，半径扩大2倍，面积怎样变化？ 解第（2）题 扩大4倍。 面积与半径平方成正比例。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练11　概念关 （1）弦一定经过圆心。 理由：只有直径经过圆心。 （2）半圆既不是优弧也不是劣弧。 理由：两类定义分别要求大于或小于半圆。 （3）同心圆一定是等圆。 理由：同心圆的半径可以不同。 方法：辨明对象 注意：不要把线段当圆弧。 针对训练 训练12　公式关 （1）扇形周长等于它的弧长。 理由：还包含两条半径。 （2）面积公式中的要平方。 理由：面积随长度平方变化。 （3）等弧的长度相等。 理由：能重合的弧长度相等。 方法：检验单位 注意：长度与面积单位不同。 针对训练 训练13　自行车轮行程 车轮半径0.35 ，滚动20周且无打滑，行进多少米？ 答： ，约44.0 。 解 每周行程。 20周行程。 方法：把滚动转化为周长累加。 注意：无打滑是行程等于弧长的条件。 针对训练 训练14　喷灌扇形区域 喷头喷洒半径9 、旋转120°，求一次覆盖面积及边界总长。 答：面积 ；边界长 。 解 扇形面积。 弧长，边界再加两条9 半径。 方法：面积与周长分开求。 注意：边界包含两条直线段。 方法总结 两种方法带走 比例法 （1）求角度占整圆的比例。 （2）分别乘周长或面积。 分割作差法 （1）找清外半径与内半径。 （2）同角扇形面积相减。 $