21.问题解决 圆中的角关系（第1课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第21章 圆（上） 问题解决 圆中的角关系 （第1课时）相交弦与割线所成角 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 这一课要解决什么 理解 从圆周角定理推导相交弦与割线角。 会用 会区分半和与半差。 会判断 用动态观察、证明和反向检查解决问题。 复习引入 从已有经验出发 观察 两条弦或割线相交，交点在圆内与圆外有什么区别？ 联系 从圆周角定理推导相交弦与割线角。 知识讲授 共同的知识起点 看条件 圆周角等于所对弧度数的一半。 作推理 三角形外角等于两个不相邻内角之和。 再检查 把圆中交角转化成两个圆周角。 课堂练习 问题1　圆内相交弦所成的角 如图，当⊙中的弦，相交于点时，探索的度数与弧，弧的度数之间的数量关系。 答：。 解 连接，在中用外角定理。 。 两个圆周角分别等于弧、弧度数的一半。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 知识讲授 圆内交角：为什么是加法 看条件 目标角是辅助三角形的一个外角。 作推理 外角等于两个不相邻内角之和。 再检查 两个圆周角分别转成两弧的一半。 课堂练习 问题2　圆外两割线所成的角 如图，当⊙中的弦，的延长线相交于点时，探索的度数与弧，弧的度数之间的数量关系。 答：。 解 图中、为远交点，、为近交点；连接。 利用三角形外角关系作差。 把两个圆周角分别换成所对弧度数的一半。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 知识讲授 圆外交角：为什么是减法 看条件 两个圆周角中较大的一个等于目标角加另一个角。 作推理 移项后目标角成为两圆周角之差。 再检查 因此是两条对应弧度数之差的一半。 知识讲授 先识别近点与远点 看条件 在同一射线上，离近的交点称近点。 作推理 两条割线的远点所夹弧与近点所夹弧配对。 再检查 配错弧会导致角度符号或数值错误。 随堂探究 探究　示范：圆内交角 圆内两弦相交，所对应两条弧度数为70°、110°，求。 答：90°。 解 两个圆周角分别35°、55°。 目标角。 方法：先识别条件，再选择对应性质。 注意：写清依据与结论。 随堂探究 探究　示范：圆外交角 两割线交于圆外，对应远端弧为150°、近端弧为50°，求。 答：50°。 解 对应圆周角分别75°、25°。 目标角。 方法：先识别条件，再选择对应性质。 注意：写清依据与结论。 知识讲授 变式：反求弧 看条件 圆内交角40°，一条对应弧30°，另一条为50°。 作推理 圆外交角40°，近端弧30°，远端弧为110°。 再检查 同一个角度数据对应不同的运算结构。 知识讲授 极端情况的检查 看条件 圆内两条弦若都是直径，交点就是圆心。 作推理 两条对应弧度数相等，半和公式仍成立。 再检查 圆外两对应弧的差应为正。 知识讲授 观察不是证明 看条件 计算机拖动可检验关系是否稳定。 作推理 测量有误差，有限样本不能替代演绎证明。 再检查 添加一条合适的弦即可把猜想证明。 知识讲授 从《原本》理解推理 基本思想 从定义、基本事实与已证明的定理出发。 本课实践 以圆周角定理和三角形角关系推出新结论。 表达要求 每一步都能说明依据，结论保留适用条件。 知识讲授 给自己的证明提问 看条件 连接的辅助弦是否让目标角进入一个三角形？ 作推理 其中两个角能否认出对应弧？ 再检查 最后的加减关系是否符合交点的位置？ 知识讲授 一张图的两种角 看条件 两弦相交的相邻角互补。 作推理 选另一组对顶角，对应的是剩余两条弧。 再检查 两组弧的总度数为360°。 知识讲授 测量误差的表达 看条件 拖动图形记录多组结果。 作推理 用近似符号表达测量值。 再检查 精确证明中使用等号和严格的角关系。 课堂总结 本课知识 定位 交点在圆内还是圆外 连线 辅助弦构造三角形 转角 圆周角转为弧度数一半 运算 圆内半和，圆外半差 特别提醒：半和、半差由位置决定，不能混记。 针对训练 训练1　圆内半和 分别解决下列问题： （1） 圆内两弦相交，对应两弧为50°、90°，求交角。 （2） 圆内两弦相交，对应两弧为80°、140°，求交角。 解第（1）题 70°。 取两弧度数的半和。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练1　圆内半和 分别解决下列问题： （1） 圆内两弦相交，对应两弧为50°、90°，求交角。 （2） 圆内两弦相交，对应两弧为80°、140°，求交角。 解第（2）题 110°。 取两弧度数的半和。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练2　圆外半差 分别解决下列问题： （1） 圆外两割线相交，对应两弧为160°、40°，求交角。 （2） 圆外两割线相交，对应两弧为130°、70°，求交角。 解第（1）题 60°。 取两弧度数的半差。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练2　圆外半差 分别解决下列问题： （1） 圆外两割线相交，对应两弧为160°、40°，求交角。 （2） 圆外两割线相交，对应两弧为130°、70°，求交角。 解第（2）题 30°。 取两弧度数的半差。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练3　圆内不同弧 分别解决下列问题： （1） 圆内两弦相交，对应两弧为35°、85°，求交角。 （2） 圆内两弦相交，对应两弧为120°、60°，求交角。 解第（1）题 60°。 取两弧度数的半和。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练3　圆内不同弧 分别解决下列问题： （1） 圆内两弦相交，对应两弧为35°、85°，求交角。 （2） 圆内两弦相交，对应两弧为120°、60°，求交角。 解第（2）题 90°。 取两弧度数的半和。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练4　圆外不同弧 分别解决下列问题： （1） 圆外两割线相交，对应两弧为170°、30°，求交角。 （2） 圆外两割线相交，对应两弧为110°、50°，求交角。 解第（1）题 70°。 取两弧度数的半差。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练4　圆外不同弧 分别解决下列问题： （1） 圆外两割线相交，对应两弧为170°、30°，求交角。 （2） 圆外两割线相交，对应两弧为110°、50°，求交角。 解第（2）题 30°。 取两弧度数的半差。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练5　圆内反求弧 分别解决下列问题： （1） 圆内交角65°，一条对应弧50°，求另一条。 （2） 圆内交角100°，一条对应弧120°，求另一条。 解第（1）题 80°。 两弧和130°，减50°。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练5　圆内反求弧 分别解决下列问题： （1） 圆内交角65°，一条对应弧50°，求另一条。 （2） 圆内交角100°，一条对应弧120°，求另一条。 解第（2）题 80°。 两弧和200°。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练6　圆外反求弧 分别解决下列问题： （1） 圆外交角35°，近端弧40°，求远端弧。 （2） 圆外交角50°，远端弧150°，求近端弧。 解第（1）题 110°。 远端弧。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练6　圆外反求弧 分别解决下列问题： （1） 圆外交角35°，近端弧40°，求远端弧。 （2） 圆外交角50°，远端弧150°，求近端弧。 解第（2）题 50°。 近端弧。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练7　邻角与对顶角 分别解决下列问题： （1） 圆内交角70°，它的对顶角和邻角各是多少？ （2） 圆内两对应弧总度数240°，求目标角的邻角。 解第（1）题 70°与110°。 对顶角相等，邻角互补。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练7　邻角与对顶角 分别解决下列问题： （1） 圆内交角70°，它的对顶角和邻角各是多少？ （2） 圆内两对应弧总度数240°，求目标角的邻角。 解第（2）题 60°。 目标角120°，邻角60°。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练8　代数建模 分别解决下列问题： （1） 圆内交角75°，对应弧为、，求。 （2） 圆外交角30°，远端弧、近端弧，求。 解第（1）题 40。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练8　代数建模 分别解决下列问题： （1） 圆内交角75°，对应弧为、，求。 （2） 圆外交角30°，远端弧、近端弧，求。 解第（2）题 30。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练9　比较变化 分别解决下列问题： （1） 圆内一条对应弧增20°，另一条不变，交角增加多少？ （2） 圆外近端弧增20°、远端弧不变，交角减少多少？ 解第（1）题 10°。 半和增加20°的一半。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练9　比较变化 分别解决下列问题： （1） 圆内一条对应弧增20°，另一条不变，交角增加多少？ （2） 圆外近端弧增20°、远端弧不变，交角减少多少？ 解第（2）题 10°。 半差减少20°的一半。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练10　从证明看方法 分别解决下列问题： （1） 圆内交角证明中为何常连接？ （2） 圆外情形结果为负数，应先检查什么？ 解第（1）题 形成以目标角为外角的三角形。 两个内角可转化为圆周角。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练10　从证明看方法 分别解决下列问题： （1） 圆内交角证明中为何常连接？ （2） 圆外情形结果为负数，应先检查什么？ 解第（2）题 检查近远交点及两弧的选择顺序。 几何角度不能为负。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练11　半和与半差 （1）圆内两弦交角用两对应弧度数之和的一半。 理由：由三角形外角定理。 （2）圆外两割线交角也直接用半和。 理由：圆外情形用半差。 （3）所有圆中交角都等于一个圆周角。 理由：通常需两个圆周角组合。 方法：先定位交点 注意：再确定加法或减法。 针对训练 训练12　推理的可靠性 （1）测量三次符合就完成了证明。 理由：只能支持猜想。 （2）辅助弦能把圆中的问题化为三角形问题。 理由：本课两类证明均如此。 （3）圆内相邻交角对应两组弧总度数360°。 理由：共同分割整圆。 方法：观察后还需证明 注意：把结论与依据连接。 针对训练 训练13　圆形广场内的道路 两条直线道路在圆形广场内部相交，某交角对应的两段边界弧度数为84°、116°，求该交角。 答：100°。 解 交点在圆内，使用半和。 。 方法：先判断道路交点位置。 注意：两弧必须是该角与其对顶角所截的弧。 针对训练 训练14　场外观测圆形跑道 从圆形跑道外点沿两条视线观测，远端两交点间弧为148°，近端两交点间弧为52°，求两视线夹角。 答：48°。 解 交点在圆外，使用半差。 。 方法：识别远端弧与近端弧。 注意：两条视线均须与圆有两个交点。 方法总结 两种方法带走 辅助弦转化法 （1）连接适当弦形成三角形。 （2）把内角或外角写成圆周角组合。 位置分类法 （1）先判断交点在圆内或圆外。 （2）再核对两条对应弧与加减次序。 $