22.2 圆的切线（第4课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第22章 圆（下） 22.2 圆的切线 （第4课时）三角形的内切圆 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 这一课要解决什么 理解 认识内切圆、内心与外切三角形。 会用 会用角平分线作内切圆。 会判断 能利用等切线段与面积关系计算。 复习引入 从已有经验出发 观察 三角形木板中能裁出的最大圆在哪里？ 联系 认识内切圆、内心与外切三角形。 知识讲授 概念与性质 当圆和三角形的三边都相切时，称这个圆为三角形的内切圆。内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形称为这个圆的外切三角形。 把文字条件与对应图形一一联系。 应用时核对全部前提。 知识讲授 圆心为何在角平分线上 看条件 与两条相交边相切的圆心到两边距离相等。 作推理 角内部到两边等距的点在角平分线上。 再检查 所以内心在三角形的角平分线上。 知识讲授 尺规作内切圆 看条件 作和的角平分线，交于。 作推理 过作。 再检查 以为圆心、为半径作圆。 知识讲授 第三条边为何也相切 看条件 两角平分线交点到三边的距离相等。 作推理 这些距离都等于所作圆半径。 再检查 故三条边所在直线均与圆相切。 例题讲解 例 4 如图，⊙是的内切圆，切点分别为，，，，，。求，和的长。 答：，，。 解 设，，。 得到，，。 相加后得，再分别减去对边。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 知识讲授 变式：半周长直接分配 看条件 记半周长为，则。 作推理 点切线长等于。 再检查 同理点为，点为。 课堂练习 练习1 在中，点是的内心，，求的度数。 答：。 解 、。 。 ，得。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 课堂练习 练习2 已知：如图，四边形外切于⊙，切点分别为，，，。判断与是否相等，为什么？ 答：相等。 解 同点切线段：、、、。 。 替换后得到。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 知识讲授 内心与外心并列比较 看条件 内心是角平分线交点，到三边等距。 作推理 外心是边的中垂线交点，到三顶点等距。 再检查 内心总在三角形内部；外心位置随形状变化。 知识讲授 内切圆半径是垂距 看条件 半径应连接圆心与切点。 作推理 它垂直三角形相应边。 再检查 圆心到顶点的连线通常不是半径。 知识讲授 面积拆成三个三角形 看条件 连接内心到三个顶点。 作推理 三个小三角形分别以原三边为底，公共高为。 再检查 得到。 知识讲授 面积与半周长 看条件 若半周长记为，则。 作推理 已知面积和周长可反求内切圆半径。 再检查 所有量使用一致的长度单位。 知识讲授 直角三角形的内切圆 看条件 两直角边上的切点与直角顶点围出边长的正方形。 作推理 由切线长配对可得。 再检查 因此。 知识讲授 内心的唯一性 看条件 两个内角平分线只有一个交点。 作推理 到三边的共同距离随之唯一确定。 再检查 因此每个三角形的内切圆只有一个。 知识讲授 外切多边形中的配对 看条件 沿每个顶点找两条相邻切线段。 作推理 分别记相等，再作整体相加。 再检查 不要把不属于同一顶点的线段误配成等长。 知识讲授 解完方程还要检查 看条件 三个切线长均应为正。 作推理 两两相加应恢复原来三边长度。 再检查 不满足三角形边关系的数据不能构成此模型。 课堂总结 本课知识 作圆 两条角平分线交于内心 半径 内心到三边共同垂距 长度 同一顶点切线段相等 面积 半周长 特别提醒：内心到三边等距，外心到三顶点等距。 针对训练 训练1　内心的含义 分别解决下列问题： （1） 三角形内心到三边距离为2、2、，求。 （2） 内心到一边垂距5，求内切圆直径。 解第（1）题 2。 内心到三边等距。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练1　内心的含义 分别解决下列问题： （1） 三角形内心到三边距离为2、2、，求。 （2） 内心到一边垂距5，求内切圆直径。 解第（2）题 10。 半径5，直径为。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练2　内心角 分别解决下列问题： （1） ，为内心，求。 （2） ，为内心，求。 解第（1）题 120°。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练2　内心角 分别解决下列问题： （1） ，为内心，求。 （2） ，为内心，求。 解第（2）题 130°。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练3　反求顶角 分别解决下列问题： （1） 为内心，，求。 （2） 为内心，，求。 解第（1）题 70°。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练3　反求顶角 分别解决下列问题： （1） 为内心，，求。 （2） 为内心，，求。 解第（2）题 56°。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练4　三组切线长 分别解决下列问题： （1） 三角形、、，求点的切线长。 （2） 三角形、、，求点的切线长。 解第（1）题 3。 半周长12，减。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练4　三组切线长 分别解决下列问题： （1） 三角形、、，求点的切线长。 （2） 三角形、、，求点的切线长。 解第（2）题 4。 半周长18，减。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练5　由切线段还原边长 分别解决下列问题： （1） 三个顶点切线长分别2、3、4，求三边。 （2） 三个顶点切线长分别5、6、7，求周长。 解第（1）题 5、7、6。 相邻两组切线长相加。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练5　由切线段还原边长 分别解决下列问题： （1） 三个顶点切线长分别2、3、4，求三边。 （2） 三个顶点切线长分别5、6、7，求周长。 解第（2）题 36。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练6　面积与半径 分别解决下列问题： （1） 三角形周长24、内切圆半径2，求面积。 （2） 三角形面积15、周长20，求内切圆半径。 解第（1）题 24。 周长。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练6　面积与半径 分别解决下列问题： （1） 三角形周长24、内切圆半径2，求面积。 （2） 三角形面积15、周长20，求内切圆半径。 解第（2）题 1.5。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练7　直角三角形 分别解决下列问题： （1） 两直角边6、8，求内切圆半径。 （2） 两直角边5、12，求内切圆半径。 解第（1）题 2。 斜边10，。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练7　直角三角形 分别解决下列问题： （1） 两直角边6、8，求内切圆半径。 （2） 两直角边5、12，求内切圆半径。 解第（2）题 2。 斜边13，。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练8　外切四边形 分别解决下列问题： （1） 四边形外切圆，、、，求。 （2） 外切四边形一组对边和18，求周长。 解第（1）题 7。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练8　外切四边形 分别解决下列问题： （1） 四边形外切圆，、、，求。 （2） 外切四边形一组对边和18，求周长。 解第（2）题 36。 另一组对边和也为18。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练9　内外心区分 分别解决下列问题： （1） 三条边的中垂线交点叫什么？ （2） 三条内角平分线交点叫什么？ 解第（1）题 外心。 到三个顶点距离相等。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练9　内外心区分 分别解决下列问题： （1） 三条边的中垂线交点叫什么？ （2） 三条内角平分线交点叫什么？ 解第（2）题 内心。 到三条边距离相等。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练10　切线段检验 分别解决下列问题： （1） 三边为8、10、12，点相邻边8、10，点切线长多少？ （2） 三角形三组切线长1、4、5，求内切三角形周长。 解第（1）题 3。 。 解第（2）题 20。 每组出现两次。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练11　概念对照 （1）内心到三角形三个顶点等距。 理由：等距对象是三边。 （2）内心一定在三角形内部。 理由：内角平分线交点在内部。 （3）三角形有唯一内切圆。 理由：内心与共同垂距均唯一。 方法：区分内心外心 注意：点到边的距离要垂直。 针对训练 训练12　计算条件 （1）外切四边形对边长度分别相等。 理由：定理是两组对边和相等。 （2）三角形面积等于半周长乘内切圆半径。 理由：可拆为三个同高三角形。 （3）直角三角形的内切圆半径。 理由：由切线长和直角处正方形推导。 方法：先建立模型 注意：公式不可脱离对应图形。 针对训练 训练13　三角形木板裁圆 三角形木板面积60 、周长40 ，能裁下的最大内切圆半径是多少？ 答：3 。 解 最大圆与三边均相切。 。 方法：面积分割法。 注意：圆必须完整位于木板内部。 针对训练 训练14　周边护栏与圆形水池 四边形护栏四边均与圆形水池相切，相邻三边长6 、8 、11 ，求第四边与总周长。 答：第四边9 ；周长34 。 解 ，。 总长。 方法：外切四边形对边和相等。 注意：三边应按周界顺序给出。 方法总结 两种方法带走 角平分线定位法 （1）作两个内角的平分线。 （2）从交点作边的垂线确定半径。 切线段与面积法 （1）给各顶点等切线段配对。 （2）用周长或面积列出方程。 $