21.3 圆的对称性（第1课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第21章 圆（上） 21.3 圆的对称性 （第1课时）轴对称与垂径定理 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 这一课要解决什么 理解 掌握垂径定理及推论。 会用 会把弦长问题转化为直角三角形。 会判断 注意“不是直径”的条件。 复习引入 从已有经验出发 观察 拱桥跨度和拱高怎样决定桥拱半径？ 联系 掌握垂径定理及推论。 知识讲授 概念的准确表述 圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 把关键词与图形中的对象逐一对应。 使用结论前，先核对全部条件。 知识讲授 性质与条件 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 把关键词与图形中的对象逐一对应。 使用结论前，先核对全部条件。 知识讲授 用数学语言表达 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 把关键词与图形中的对象逐一对应。 使用结论前，先核对全部条件。 知识讲授 补充概念 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。 把关键词与图形中的对象逐一对应。 使用结论前，先核对全部条件。 例题讲解 例 1 已知：如图，在⊙中，直径交弦于点，。求证：，弧弧，弧弧。 答：三项结论均成立。 解 连接、，为等腰三角形。 ，中线也是高，所以。 由垂径定理得到两组等弧。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 知识讲授 为什么要排除直径 看条件 若本身也是直径，就是圆心。 作推理 任意另一直径都平分，但不一定垂直。 再检查 该反例说明推论中的限制不能删去。 例题讲解 例 2 已知：如图，，，，为⊙上的四个点，。判断弧与弧是否相等，并说明理由。 答：两弧相等。 解 过作，亦垂直。 垂径定理得到弧弧、弧弧。 相等的大弧减相等的小弧，得弧弧。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 例题讲解 例 3 我国隋代建造的赵州桥的桥拱是圆弧形，它的跨度为37.4 ，拱高为7.2 ，求桥拱所在圆的半径（结果精确到0.1 ）。 答：约27.9 。 解 作圆心到弦的垂线，半弦长为18.7 。 设半径，有。 解得。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 知识讲授 桥拱模型的量 看条件 半弦长不是整跨度。 作推理 圆心到弦的距离为半径减拱高。 再检查 把三条长度放进同一个直角三角形。 课堂练习 练习1 已知：如图，⊙的直径，弦于点，，那么的长为____。 答： 解 半径7.5，。 ，。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 课堂练习 练习2 已知：为⊙的直径，弦交于，，，，那么⊙的半径长为____。 答： 解 ，且。 ，得。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 课堂练习 练习3 已知：如图，在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，试比较与长度的大小，并说明理由。 答：。 解 过作。 垂径定理得、。 作差得到。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 知识讲授 折叠解释等弧 看条件 沿垂直于弦的直径折叠，弦的两个端点重合。 作推理 两侧相应弧也重合，因此两组弧分别相等。 再检查 对称性给出长度相等与角度相等的依据。 知识讲授 从弦的中垂线找圆心 看条件 到弦两端距离相等的点都在中垂线上。 作推理 圆心到弦两端都是半径，所以在这条直线上。 再检查 这一结论与上一课三点定圆相联系。 知识讲授 检查数字是否合理 看条件 弦长应不超过直径。 作推理 弦心距必须小于半径。 再检查 弓形高与半径关系需结合图形位置。 课堂总结 本课知识 对称 直径所在直线是对称轴 垂径 平分弦与两条弧 推论 平分非直径弦可推垂直 计算 半弦²＋弦心距²＝半径² 特别提醒：计算时先把整弦除以2。 针对训练 训练1　求弦长 分别解决下列问题： （1） 圆半径5，圆心到弦距离3，求弦长。 （2） 圆半径13，圆心到弦距离5，求弦长。 解第（1）题 8 半弦长，再乘2。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练1　求弦长 分别解决下列问题： （1） 圆半径5，圆心到弦距离3，求弦长。 （2） 圆半径13，圆心到弦距离5，求弦长。 解第（2）题 24 半弦长，再乘2。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练2　求弦心距 分别解决下列问题： （1） 半径10，弦长12，求圆心到弦距离。 （2） 半径17，弦长30，求圆心到弦距离。 解第（1）题 8 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练2　求弦心距 分别解决下列问题： （1） 半径10，弦长12，求圆心到弦距离。 （2） 半径17，弦长30，求圆心到弦距离。 解第（2）题 8 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练3　反求半径 分别解决下列问题： （1） 圆心到弦距离3，弦长8，求半径。 （2） 圆心到弦距离8，弦长30，求半径。 解第（1）题 5 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练3　反求半径 分别解决下列问题： （1） 圆心到弦距离3，弦长8，求半径。 （2） 圆心到弦距离8，弦长30，求半径。 解第（2）题 17 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练4　弓形高求半径 分别解决下列问题： （1） 弦长16、拱高4，求圆半径。 （2） 弦长12、拱高2，求圆半径。 解第（1）题 10。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练4　弓形高求半径 分别解决下列问题： （1） 弦长16、拱高4，求圆半径。 （2） 弦长12、拱高2，求圆半径。 解第（2）题 10。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练5　直径上的线段 分别解决下列问题： （1） 直径20，垂直弦于，到近端点距离4，求弦长。 （2） 直径26，垂直弦于，到近端点距离8，求弦长。 解第（1）题 16。 ，半弦。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练5　直径上的线段 分别解决下列问题： （1） 直径20，垂直弦于，到近端点距离4，求弦长。 （2） 直径26，垂直弦于，到近端点距离8，求弦长。 解第（2）题 24。 ，半弦12。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练6　等分圆弧 分别解决下列问题： （1） 直径弦，劣弧为100°，求两半劣弧度数。 （2） 同题优弧为260°，求其两半度数。 解第（1）题 各50°。 垂径定理平分弦所对的弧。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练6　等分圆弧 分别解决下列问题： （1） 直径弦，劣弧为100°，求两半劣弧度数。 （2） 同题优弧为260°，求其两半度数。 解第（2）题 各130°。 直径同时平分另一条弧。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练7　同心圆作差 分别解决下列问题： （1） 同心圆中，大圆弦，小圆截得，求、。 （2） 同心圆中，，，求。 解第（1）题 均为4。 两弦中点重合，差的一半为。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练7　同心圆作差 分别解决下列问题： （1） 同心圆中，大圆弦，小圆截得，求、。 （2） 同心圆中，，，求。 解第（2）题 16。 ，所以。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练8　离圆心远近 分别解决下列问题： （1） 半径5，弦长6与8的弦心距分别多少？ （2） 同圆两弦的弦心距为0与3，哪条弦更长？ 解第（1）题 4与3。 分别由半弦3、4使用勾股定理。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练8　离圆心远近 分别解决下列问题： （1） 半径5，弦长6与8的弦心距分别多少？ （2） 同圆两弦的弦心距为0与3，哪条弦更长？ 解第（2）题 距离0的弦更长。 它是直径，弦长不超过直径。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练9　垂径定理证明 分别解决下列问题： （1） ，是弦中点且，为什么？ （2） 过圆心的直线垂直弦，为什么两段半弦相等？ 解第（1）题 等腰三角形底边中线也是高。 中两腰为半径。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练9　垂径定理证明 分别解决下列问题： （1） ，是弦中点且，为什么？ （2） 过圆心的直线垂直弦，为什么两段半弦相等？ 解第（2）题 垂径定理。 将该直线与圆的交点连成直径即可。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练10　带条件反思 分别解决下列问题： （1） 两条直径互相平分，能推出垂直吗？ （2） 弦，垂径与弦交于，求。 解第（1）题 不能。 可取夹角60°的两条直径作反例。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练10　带条件反思 分别解决下列问题： （1） 两条直径互相平分，能推出垂直吗？ （2） 弦，垂径与弦交于，求。 解第（2）题 9。 垂径平分弦。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练11　定理与推论 （1）垂直于弦的直径平分弦。 理由：符合垂径定理。 （2）平分弦的任一直线经过圆心。 理由：还需要垂直条件。 （3）平分非直径弦的直径垂直该弦。 理由：符合推论的全部条件。 方法：条件完整 注意：非直径的限制不能漏。 针对训练 训练12　模型辨析 （1）弦长总等于半径。 理由：弦长可变化。 （2）直径是最长的弦。 理由：半弦不超过半径。 （3）非直径弦的弦心距、半弦、半径构成直角三角形。 理由：作垂线后用垂径定理。 方法：画准辅助线 注意：公式中用半弦长。 针对训练 训练13　圆形隧道截面 圆形隧道半径5 ，水平路面距圆心3 ，求路面宽度。 答：8 。 解 半宽。 整宽为8。 方法：垂径定理与勾股定理。 注意：路面宽度是整条弦。 针对训练 训练14　弧形窗框 一扇弧形窗的跨度为24 ，拱高4 ，求弧所在圆半径。 答：20 。 解 半跨度12，弦心距。 ，解得20。 方法：由拱高列方程。 注意：只取正半径。 方法总结 两种方法带走 直角三角形转化 （1）连接半径，作圆心到弦的垂线。 （2）用半弦、弦心距、半径列勾股式。 等量作差法 （1）同心圆中作公共垂线。 （2）两组半弦作差求边段。 $