21.3 圆的对称性（第2课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第21章 圆（上） 21.3 圆的对称性 （第2课时）圆心角、弧、弦与弦心距 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 这一课要解决什么 理解 理解圆的中心对称性。 会用 会在等圆心角、等弧、等弦之间转化。 会判断 知道比较前要在同圆或等圆中。 复习引入 从已有经验出发 观察 把圆绕圆心旋转，哪些量保持不变？ 联系 理解圆的中心对称性。 知识讲授 概念的准确表述 圆是中心对称图形，对称中心是圆心。 把关键词与图形中的对象逐一对应。 使用结论前，先核对全部条件。 知识讲授 性质与条件 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中的一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 把关键词与图形中的对象逐一对应。 使用结论前，先核对全部条件。 知识讲授 旋转把关系连在一起 看条件 两个相等的圆心角可以绕圆心旋转到重合。 作推理 对应的半径、弧与弦也随之重合。 再检查 重合给出相等的依据。 知识讲授 从圆心角出发 看条件 在同圆中若，两条半径分别相等。 作推理 由可证两个三角形全等，再得等弦。 再检查 对应弧也能重合。 知识讲授 从弦出发 看条件 同圆中等弦与四条半径组成两个三角形。 作推理 用证明全等，再得对应圆心角相等。 再检查 也能得到所对劣弧相等。 知识讲授 从弦心距出发 看条件 作圆心到两弦的垂线，把弦平分。 作推理 等半径与等弦心距构成全等直角三角形。 再检查 由半弦相等推出整弦相等。 例题讲解 例 4 已知：，是⊙上的两点，，是弧的中点。试判断四边形的形状，并说明理由。 答：四边形为菱形。 解 连接，得两个60°圆心角。 ，所以、均为等边三角形。 于是。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 知识讲授 变式：条件换成弧度数 看条件 若劣弧为120°，仍可得到。 作推理 是该劣弧中点，两个60°圆心角不变。 再检查 必须明确所取的是同一条弧。 课堂练习 练习1 已知：，是⊙的两条弦，于，于。（1）如果；（2）如果弧弧；（3）如果；（4）如果，分别写出可得的相等关系。 答：每个条件均可推出其余三组量相等。 解 等弦、等劣弧、等圆心角可以互推。 等弦与等弦心距通过全等直角三角形互推。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 课堂练习 练习2 如图，以平行四边形的顶点为圆心，为半径作⊙，分别交，于，两点，交的延长线于，判断弧和弧是否相等，并说明理由。 答：弧弧。 解 ，故。 ，与反向，得。 同圆中等圆心角所对的弧相等。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 知识讲授 非等圆为什么不行 看条件 同为60°的圆心角可以出现在大小不同的圆中。 作推理 此时对应弦长与半径成比例，弦不一定相等。 再检查 同圆或等圆是结论成立的前提。 知识讲授 对称与旋转的联系 看条件 旋转180°得到中心对称。 作推理 圆绕圆心转任意角度都与自身重合。 再检查 旋转的角度不影响圆心与半径。 知识讲授 如何选择证明方向 看条件 已知角，优先想到弧与弦。 作推理 已知弦，连接两端半径。 再检查 已知弦心距，作垂线构造直角三角形。 知识讲授 用条件检查结论 看条件 先说明同圆或等圆。 作推理 再明确弦、劣弧、圆心角之间的对应。 再检查 最后写出需要的那个相等结论。 知识讲授 弧度数与圆心角 看条件 一段弧的度数等于它所对的圆心角度数。 作推理 弧的度数相等在等圆中才意味着等弧。 再检查 不同半径影响弧长。 课堂总结 本课知识 对称 圆心为对称中心 等角 对应等弧与等弦 等弦 连接半径证明全等 等距 半弦构造直角三角形 特别提醒：同圆或等圆是所有转化的共同前提。 针对训练 训练1　等圆心角转化 分别解决下列问题： （1） 同圆中，，求。 （2） 等圆中两圆心角均80°，一条对应弧长6，另一条多长？ 解第（1）题 7。 等圆心角所对弦相等。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练1　等圆心角转化 分别解决下列问题： （1） 同圆中，，求。 （2） 等圆中两圆心角均80°，一条对应弧长6，另一条多长？ 解第（2）题 6。 两条弧能够重合。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练2　等弦转化 分别解决下列问题： （1） 同圆中，，求。 （2） 同圆中，劣弧为110°，求劣弧。 解第（1）题 74°。 等弦所对圆心角相等。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练2　等弦转化 分别解决下列问题： （1） 同圆中，，求。 （2） 同圆中，劣弧为110°，求劣弧。 解第（2）题 110°。 等弦对应等劣弧。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练3　弧的平分 分别解决下列问题： （1） 劣弧为140°，是其中点，求。 （2） 劣弧为100°，为中点，，求。 解第（1）题 70°。 两半弧各70°，对应圆心角70°。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练3　弧的平分 分别解决下列问题： （1） 劣弧为140°，是其中点，求。 （2） 劣弧为100°，为中点，，求。 解第（2）题 6。 等弧对应等弦。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练4　等弦与弦心距 分别解决下列问题： （1） 半径10，两条等弦长12，求各弦心距。 （2） 半径13，两弦心距均12，求两弦长。 解第（1）题 8。 半弦6，弦心距。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练4　等弦与弦心距 分别解决下列问题： （1） 半径10，两条等弦长12，求各弦心距。 （2） 半径13，两弦心距均12，求两弦长。 解第（2）题 均为10。 半弦。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练5　菱形模型 分别解决下列问题： （1） ，为劣弧中点，，求四边形周长。 （2） 同模型，求。 解第（1）题 16。 两个等边三角形给出四边均为4。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练5　菱形模型 分别解决下列问题： （1） ，为劣弧中点，，求四边形周长。 （2） 同模型，求。 解第（2）题 120°。 两等边三角形在处各为60°。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练6　圆周等分 分别解决下列问题： （1） 把圆等分成6段弧，每段所对圆心角多少度？ （2） 把圆等分成8段弧，每段所对圆心角多少度？ 解第（1）题 60°。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练6　圆周等分 分别解决下列问题： （1） 把圆等分成6段弧，每段所对圆心角多少度？ （2） 把圆等分成8段弧，每段所对圆心角多少度？ 解第（2）题 45°。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练7　等弧相加 分别解决下列问题： （1） 弧弧，、、按顺序在同一劣弧上，求弧。 （2） 弧弧，弧且在弧上，求弧。 解第（1）题 80°。 两段弧度数相加。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练7　等弧相加 分别解决下列问题： （1） 弧弧，、、按顺序在同一劣弧上，求弧。 （2） 弧弧，弧且在弧上，求弧。 解第（2）题 60°。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练8　半径改变 分别解决下列问题： （1） 两圆半径2、4，均取60°圆心角，弦长分别多少？ （2） 两圆半径3、6，均取180°圆心角，弦长分别多少？ 解第（1）题 2和4。 分别与两半径组成等边三角形。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练8　半径改变 分别解决下列问题： （1） 两圆半径2、4，均取60°圆心角，弦长分别多少？ （2） 两圆半径3、6，均取180°圆心角，弦长分别多少？ 解第（2）题 6和12。 对应弦均为各圆直径。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练9　证明连接 分别解决下列问题： （1） 同圆两弦，为什么？ （2） 两弦心距相等且半径相等，为什么半弦相等？ 解第（1）题 。 两对半径相等，加上一对等弦。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练9　证明连接 分别解决下列问题： （1） 同圆两弦，为什么？ （2） 两弦心距相等且半径相等，为什么半弦相等？ 解第（2）题 由勾股定理或全等。 半弦平方半径平方弦心距平方。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练10　对称性判断 分别解决下列问题： （1） 圆绕圆心旋转37°后是否与原图重合？ （2） 圆的中心对称中心是什么点？ 解第（1）题 重合。 圆的旋转不变性。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练10　对称性判断 分别解决下列问题： （1） 圆绕圆心旋转37°后是否与原图重合？ （2） 圆的中心对称中心是什么点？ 解第（2）题 圆心。 直径两端到圆心等距且反向。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练11　能否直接推出 （1）在同圆中，等弧所对的弦相等。 理由：对应关系完整。 （2）长度相等的弦在任意两圆中所对圆心角相等。 理由：需要同圆或等圆。 （3）同圆中等弦的弦心距相等。 理由：用等半径和等半弦证明。 方法：先问是否同圆或等圆 注意：不可仅看图形像不像。 针对训练 训练12　弧与弦 （1）弧长是弦长的2倍。 理由：两种长度关系随角度而变。 （2）圆的任一直径所在直线是对称轴。 理由：折叠后两半圆重合。 （3）圆只有一个对称中心。 理由：对称中心是圆心。 方法：区分对象 注意：弧是曲线，弦是线段。 针对训练 训练13　圆形花坛的相同入口 同一圆形花坛两处直线入口对应圆心角均60°。第一处入口宽3 ，另一处宽多少？ 答：3 。 解 入口为同圆中的弦。 等圆心角所对弦相等。 方法：等角转等弦。 注意：圆弧入口与直线入口不是同一长度。 针对训练 训练14　圆形舞台灯位 半径5 的圆形舞台边缘两组灯位分别构成长8 的弦，圆心到两条灯位连线距离各为多少？ 答：各3 。 解 两弦相等，弦心距相等。 半弦4，距离。 方法：等弦转等距。 注意：长度均指直线距离。 方法总结 两种方法带走 对应量转化法 （1）锁定同一组角、弧与弦。 （2）由已知的相等关系推出所需关系。 全等证明法 （1）连接半径或作弦心距。 （2）选用或说明等量。 $