20.4 解直角三角形（第2课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第20章 解直角三角形 20.4 解直角三角形 （第2课时）构造直角三角形 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 本课要解决的问题 会说 把面积、等腰等条件转化为边角条件。 会做 通过作高把一般三角形拆成直角三角形。 会解释 选取恰当的辅助线并检验整体与局部。 复习引入 把更多条件化成直角三角形中的边角 情境 一条直角边和面积已知，算不算只有“一条边”？ 思考 面积关系能补出另一条直角边。 连接 将隐含条件显式化，便能使用基本解法。 知识讲授 面积条件变成边长 公式 直角三角形S=ab/2。 转化 已知面积S与直角边a，则b=2S/a。 连接 得到两条直角边之后，按上一课方法继续。 a b c 例题讲解 例 3 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=10，。解这个直角三角形。 a b c 答：，，∠A=60°，∠B=30°。 解 b=2S/a=。 tan A=a/b=，故A=60°；c=b/sin30°。 方法：先从面积中取出隐含直角边。 注意：面积中的高必须与底垂直。 例题讲解 变式 例 3 Rt△ABC中，∠C=90°，a=12，S=30。求b、c与tan A。 答：b=5，c=13，tan A=12/5。 解 b=2×30/12=5。 c=√(12²+5²)=13，tan A=12/5。 方法：先用面积，再勾股，再作比。 注意：不要用斜边直接当高。 知识讲授 等腰三角形作高 辅助线 从顶点作底边的垂线。 新增条件 高平分底边，也平分顶角。 计算对象 选其中半个直角三角形，求完后回到整体。 例题讲解 例 4 已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=4 cm。求AB的长。 答： cm。 解 作AD⊥BC，得BD=2，∠B=30°。 AB=BD/cos30°=（cm）。 方法：用三线合一把等腰三角形一分为二。 注意：BC=4，而BD=2。 例题讲解 变式 例 4 沿用例4，求AD与△ABC面积。 答： cm，面积 cm²。 解 AD=BD·tan30°=2/3。 面积=BC×AD/2=4/3。 方法：同一辅助线继续提供底和高。 注意：面积单位为平方单位。 知识讲授 一般三角形的处理 想法 若没有直角，尝试从一个顶点作高。 联系 两侧直角三角形共用高，可用来连接两部分。 注意 高的垂足可能在边上，也可能在延长线上；据图确定加减。 课堂练习 练习1 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，CD⊥AB于D，CD=。解Rt△ABC。 答：∠B=30°，AC=2，BC=，AB=4。 解 在Rt△ACD中，AC=CD/sin60°=2。 回到Rt△ABC，AB=AC/cos60°=4，BC=2。 方法：先明确直角与所研究的锐角，再列边角关系。 注意：比值中的边必须属于同一个直角三角形。 课堂练习 练习2 已知：在△ABC中，AC=BC，∠A=72°，AC边上的高为14 cm。求BC和AB的长（结果精确到0.1 cm）。 答：BC≈23.8 cm，AB≈14.7 cm。 解 ∠C=36°。作BD⊥AC，则BC=14/sin36°。 另作CE⊥AB于E，得AB=2BC cos72°。 方法：先认准“AC边上的高”，再利用底角。 注意：14不是底边AB上的高。 课堂练习 练习3 在△ABC中，AB=100，∠BAC=45°，∠ACB=30°。求AC，BC的长及。 答：，； 。 解 作BD⊥AC，得BD=AD=50。 DC=BD/tan30°=50；BC=BD/sin30°。 方法：先明确直角与所研究的锐角，再列边角关系。 注意：比值中的边必须属于同一个直角三角形。 课堂练习 探究　练习3的面积补充 在△ABC中，AB=100，∠BAC=45°，∠ACB=30°。BD⊥AC于D。已求AC=50(+)、BD=50，写出求三角形面积的完整计算。 答：。 解 。 展开化简：1250(2+2)=2500(1+)。 方法：底与高选对应的一组。 注意：不要把AB与BC直接相乘求面积。 归纳总结 课堂练习归纳 隐含条件 面积、等腰、特殊角都能补充边角信息。 桥梁 公共高把两个直角三角形联系起来。 检验 局部的半底、半角、局部面积不要误作整体结果。 随堂探究 探究　判断垂足的位置 三角形A=45°、C=30°，从B向AC作高，垂足为什么在AC内部？ 答：A、C均为锐角。 解 沿AB、CB向底边的投影都朝向底边内部。 所得两个直角三角形可用AD+DC=AC连接。 方法：从图形关系选择短而直接的路线。 注意：条件与所求的对象要对应。 随堂探究 探究　列式先于运算 等腰三角形腰长l、底角β。写底边和高的表达式。 答：底边2l cosβ，高l sinβ。 解 半个图形的斜边是l。 先求半底l cosβ，再乘2。 方法：作底边高，利用三线合一分成两个直角三角形。 注意：求全底时，别忘了把半底乘2。 随堂探究 探究　面积路线比较 等腰三角形底宽12、高8，求腰长用面积还是勾股更直接？ 答：勾股更直接，腰长10。 解 半底6，与高8构成直角三角形。 腰长=√(6²+8²)=10。 方法：已知半底和高，优先使用勾股定理。 注意：底边12需要先平分成6。 随堂探究 探究　近似值的传递 某题需连续求高、底、面积，为什么不宜每一步都只保留一位小数？ 答：会逐步累积舍入误差。 解 保留精确式或计算器内部精度。 最后根据题目要求统一取近似值。 方法：保留精确式或计算器内部结果传递。 注意：最后一步再按题目要求取近似值。 课堂总结 复杂条件的转化 识别条件 从面积、等腰等条件补边角 选择关系 作高→局部直角三角形→联系整体 规范运算 先保留精确值；近似计算按题目要求取值。 检验解释 核对大小、单位与实际意义，回答完整。 特别提醒：半底、半角、局部高均要明确指向。 针对训练 辨析　解直角三角形的条件 （1）仅凭两个锐角能确定三边。 × 理由：缺少长度尺度，可相似放大。 （2）一锐角一边可解直角三角形。 √ 理由：由互余关系求角，再求边。 （3）直角三角形的最长边是斜边。 √ 理由：直角所对的边最长。 （4）每一步都应立即四舍五入。 × 理由：保留中间精度，最后取近似。 方法：先检查至少有一条边。 注意：直角为默认条件，另需两个元素。 针对训练 训练2　等腰转化｜求腰 等腰三角形底边长6，顶角为60°。求腰长与高，精确到0.01。 答：腰长约6.00，高约5.20。 解 作底边高，半底为3，半顶角为30°。 在半个直角三角形中分别用正弦与正切。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练3　填空｜先求半角与半底 等腰三角形底边长10，顶角为80°。作底边高AD。填空：BD=____，∠BAD=____；腰长约____，高约____（长度精确到0.01）。 答：5；40°；7.78；5.96。 解 三线合一，BD=10÷2=5，∠BAD=80°÷2=40°。 AB=5/sin40°≈7.78；AD=5/tan40°≈5.96。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练4　改错｜钝角怎样转化 等腰三角形底边长8，顶角为100°。小明用4/sin100°求腰长，哪里错了？写出正确结果，精确到0.01。 答：应使用半顶角50°；腰长约5.22。 解 作底边高后，半底4所对的是50°，不是100°。 腰长=4/sin50°≈5.22。 方法：先在半个直角三角形中确定边角对应。 注意：原三角形顶角不能直接当作小三角形的锐角。 针对训练 训练5　精确计算｜特殊角的运用 等腰三角形底边长12，顶角为120°。求腰长与底边上的高，先写精确值，再精确到0.01。 答：腰长，约6.93；高，约3.46。 解 半底6，半顶角60°，底角30°。 腰长；高。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练6　一边一角｜从斜边出发 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=14。求另两边和∠B（边长精确到0.01）。 答：BC≈7.00，AC≈12.12，∠B=60°。 解 BC=AB·sin A=14sin30°。 AC=AB·cos A=14cos30°。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：边长近似到两位小数，角B可精确求出。 针对训练 训练7　一边一角｜从斜边出发 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=12。求另两边和∠B（边长精确到0.01）。 答：BC≈8.49，AC≈8.49，∠B=45°。 解 BC=AB·sin A=12sin45°。 AC=AB·cos A=12cos45°。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：边长近似到两位小数，角B可精确求出。 针对训练 训练8　一边一角｜从斜边出发 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=16。求另两边和∠B（边长精确到0.01）。 答：BC≈13.86，AC≈8.00，∠B=30°。 解 BC=AB·sin A=16sin60°。 AC=AB·cos A=16cos60°。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：边长近似到两位小数，角B可精确求出。 针对训练 训练9　一边一角｜从斜边出发 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=35°，AB=20。求另两边和∠B（边长精确到0.01）。 答：BC≈11.47，AC≈16.38，∠B=55°。 解 BC=AB·sin A=20sin35°。 AC=AB·cos A=20cos35°。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：边长近似到两位小数，角B可精确求出。 针对训练 训练10　选择｜条件是否足够 在已知∠C=90°的条件下，哪一组能唯一解Rt△ABC？ A. ∠A=30°、∠B=60° B. AC=6、BC=8 C. ∠A+∠B=90° D. sin A=3/5 答：B。 解 B给出两条边，从而确定长度尺度。 其他选项只确定角或比例，不能唯一确定边长。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练11　改错｜斜边用错函数 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=8。小明写AB=8sin30°。请改正。 答：AB=16。 解 sin A=BC/AB，故AB=BC/sin A。 8÷(1/2)=16。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练12　补充条件｜面积也是线索 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9，面积54。求AC、AB及tan A。 答：AC=12，AB=15，tan A=3/4。 解 (1/2)×9×AC=54，所以AC=12。 勾股定理得AB=15，再作比。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练13　周长｜比例与尺度结合 直角三角形两直角边之比为3∶4，周长36。求三边。 答：9、12、15。 解 设两直角边3t、4t，斜边5t。 12t=36，得t=3。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练14　检验｜边长顺序 在Rt△ABC中，∠A=20°，∠B=70°，∠C=90°。把a、b、c由小到大排列。 答：a<b<c。 解 大角对大边。 20°<70°<90°，对应边按此顺序。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练15　综合｜从面积求角 直角三角形的一条直角边长8，另一条直角边长8。求锐角、斜边和面积。 答：锐角均45°，斜边，面积32。 解 两直角边相等，两个锐角相等且互余。 勾股定理与面积公式分别求其余量。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练16　分类｜一条边的两种身份 直角三角形有一个30°角和一条长6的边。若6是斜边，30°对边多长？若6是30°对边，斜边多长？ 答：分别为3、12。 解 第一种：对边=斜边×sin30°。 第二种：斜边=对边÷sin30°。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：同一个数因边的身份不同而用不同关系。 针对训练 训练17　逆向｜选最短路线 ∠C=90°、∠A=40°、AC=10。只求BC，选择哪一种三角函数最直接？写出结果到0.01。 答：正切；BC≈8.39。 解 对边BC与邻边AC直接由tan A联系。 BC=10tan40°，无需先求斜边。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练18　探究｜同时放大 直角三角形三个边长同时变为原来的2倍，锐角、面积分别怎样变化？ 答：锐角不变，面积变为4倍。 解 对应边成比例，三角形相似。 面积的底与高各乘2，故乘4。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练19　数据辨析｜三边是否相容 一个三角形三边为6、8、11。有人把它当作直角三角形求锐角，请说明是否合理。 答：不合理。 解 最大边为11，但6²+8²=100，11²=121。 不满足勾股定理的等式，不能套用直角三角形的定义。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：使用工具前先检查图形条件。 针对训练 训练20　逆向检查｜面积与周长 直角三角形两直角边为7、24。求面积、周长，并解释为什么求周长还需要勾股定理。 答：面积84，周长56。 解 面积=7×24÷2=84。 斜边=25，周长=7+24+25=56。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练21　应用｜直角支架 直角支架两条互相垂直的边长分别为1.2 m、1.6 m。求斜撑长及斜撑与1.6 m边所成的锐角（角度精确到1°）。 答：斜撑2 m，锐角约37°。 解 勾股定理求斜撑。 tanα=1.2/1.6=3/4，计算得α≈37°。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练22　应用｜对称通道截面 一个通道横截面是等腰三角形，底宽6 m、竖直高4 m。求两侧斜边长及侧边与底边的夹角（角度精确到1°）。 答：斜边均5 m，夹角约53°。 解 作对称轴，将底边分为两个3 m。 半个截面为3、4、5直角三角形；tanα=4/3。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 方法总结 把本课方法整理成可操作的步骤 条件转化 （1）面积公式可补出另一条直角边。 （2）等腰条件可带来等角与三线合一。 （3）用辅助线把一般图形化为直角。 整体复原 （1）找两部分共用的高或线段。 （2）根据垂足位置确定相加或相减。 （3）核对所求是整边、半边还是面积。 $