20.1 锐角三角函数（第2课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第20章 解直角三角形 20.1 锐角三角函数 （第2课时）余弦与正切 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 本课要解决的问题 会说 认识余弦、正切和锐角三角函数。 会做 由已知边或一个比值求其余函数值。 会解释 区分对边、邻边、斜边，解释互余角的关系。 复习引入 正弦之外还有哪些固定比值 情境 上一课研究了同一锐角的对边与斜边之比。 思考 同一三角形还有哪些边长比只由角度决定？ 连接 相似三角形的对应边成比例，可以继续使用。 知识讲授 固定角下的三种比值 比较对象 ∠C=90°，观察BC/AB、AC/AB与BC/AC。 共同原因 角A固定时，相应直角三角形相似。 新问题 分别给另外两种比值命名。 知识讲授 余弦 我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作“cos A”． 在Rt△ABC中，∠C=90°。 。 a b c 知识讲授 正切 把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作“tan A”． 仍在同一个直角三角形中观察锐角A。 。 a b c 知识讲授 锐角三角函数 锐角的正弦、余弦、正切都是锐角的函数，统称为锐角三角函数． 锐角确定以后，每一种比值都有唯一确定的值。 三角函数值是比值，没有长度单位。 知识讲授 三行对照 正弦 sin A：对边÷斜边。 余弦 cos A：邻边÷斜边。 正切 tan A：对边÷邻边。 a b c 随堂探究 探究　辨别“邻边” ∠A的一边是AB，另一边是AC。为什么余弦定义中的邻边只指AC？ 答：这里邻边指与锐角相邻的直角边。 解 AB是直角所对的斜边。 余弦用邻边与斜边作比，不能把AB同时当作邻边。 方法：斜边先排除，再辨相邻直角边。 注意：不能仅按字面把两条接触角的边都称为邻边。 知识讲授 函数值的大小 正弦与余弦 对边、邻边都短于斜边，因此值均介于0与1之间。 正切 两直角边没有固定大小顺序，正切可小于、等于或大于1。 共同要求 锐角三角函数值都大于0。 例题讲解 例 3 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c。 a b c （1） b=24，c=25，求锐角A的各三角函数值。 （2） ，求锐角B的各三角函数值。 解第（1）题：，，。 由勾股定理得a=7。 把三边分别代入三个定义。 方法：先补未知边，再取比。 注意：b是A的邻边。 例题讲解 例 3 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c。 a b c （1） b=24，c=25，求锐角A的各三角函数值。 （2） ，求锐角B的各三角函数值。 解第（2）题：，，。 设a=3t，b=2t，c=，t>0。 角B的对边为b、邻边为a。 方法：给比值配上同一正比例系数。 注意：题目问的是角B。 例题讲解 变式 例 3 若tan A=3/2，直接求tan B，并说明。 答：。 解 同一直角三角形的两个锐角，对边与邻边互换。 故它们的正切互为倒数。 方法：画同一三角形，从另一锐角重新看边。 注意：这里两角必须互余。 归纳总结 例题小结 边长条件 已知两边，用勾股定理得第三边。 比值条件 先设比例边长，避免把比值直接当成长度。 目标角 最后一步再次检查题目究竟要求哪个锐角。 课堂练习 练习1 根据所给条件，求各直角三角形中∠A与∠B的各三角函数值（∠C=90°）： （1） AC=8，BC=6。 （2） AC=5，AB=13。 （3） AC=1，BC=2。 解第（1）题：，，； ，，。 AB=10；按定义从A、B分别取比。 方法：每个角分别列出三种边长比。 注意：写齐题目要求的六个值。 课堂练习 练习1 根据所给条件，求各直角三角形中∠A与∠B的各三角函数值（∠C=90°）： （1） AC=8，BC=6。 （2） AC=5，AB=13。 （3） AC=1，BC=2。 解第（2）题：，，； ，，。 BC=12；按定义从A、B分别取比。 方法：每个角分别列出三种边长比。 注意：写齐题目要求的六个值。 课堂练习 练习1 根据所给条件，求各直角三角形中∠A与∠B的各三角函数值（∠C=90°）： （1） AC=8，BC=6。 （2） AC=5，AB=13。 （3） AC=1，BC=2。 解第（3）题：，，； ，，。 AB=；按定义从A、B分别取比。 方法：每个角分别列出三种边长比。 注意：写齐题目要求的六个值。 课堂练习 练习2 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，，求sin A，cos A，tan A的值。 答：，，。 解 设AC=5t、AB=13t，则BC=12t。 按A的对边、邻边、斜边取比。 方法：先明确直角与所研究的锐角，再列边角关系。 注意：比值中的边必须属于同一个直角三角形。 课堂练习 练习3 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，，求sin B，cos B，tan B的值。 答：，，。 解 设BC=2t、AB=3t，则AC=。 角B的对边为AC、邻边为BC。 方法：先明确直角与所研究的锐角，再列边角关系。 注意：比值中的边必须属于同一个直角三角形。 归纳总结 课堂练习归纳 互余关系 同一直角三角形中，sin A=cos B，cos A=sin B。 正切关系 tan A与tan B互为倒数。 解释方式 用“同一条边从两个锐角来看”说明，不靠死记。 随堂探究 探究　口头检查 若锐角A的对边大于邻边，tan A、sin A能否都大于1？ 答：tan A>1，但sin A<1。 解 正切的分母是邻边，可以小于分子。 正弦的分母是斜边，一定大于对边。 方法：比较分母所代表的边。 注意：不能把三种函数值的范围混为一谈。 课堂总结 锐角三角函数 识别条件 圈出锐角与所在直角三角形 选择关系 正弦对斜、余弦邻斜、正切对邻 规范运算 先保留精确值；近似计算按题目要求取值。 检验解释 核对大小、单位与实际意义，回答完整。 特别提醒：换角就重新辨认对边与邻边。 针对训练 辨析　三种比值不能混淆 （1）锐角的余弦等于邻边与斜边的比。 √ 理由：这里邻边指与该角相邻的直角边。 （2）正切值一定小于1。 × 理由：对边可以长于邻边。 （3）sin A=cos B，其中A、B是同一直角三角形的两个锐角。 √ 理由：A的对边就是B的邻边。 （4）锐角的正切值有长度单位。 × 理由：同单位长度作比后没有单位。 方法：先标对边、邻边、斜边。 注意：邻边不包括斜边。 针对训练 训练2　计算｜完整写出三种函数值 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12。求锐角A的正弦、余弦、正切。 答：，，。 解 勾股定理得。 按对/斜、邻/斜、对/邻分别代入。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练3　计算｜完整写出三种函数值 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=15。求锐角A的正弦、余弦、正切。 答：，，。 解 勾股定理得。 按对/斜、邻/斜、对/邻分别代入。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练4　计算｜完整写出三种函数值 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=7，AC=24。求锐角A的正弦、余弦、正切。 答：，，。 解 勾股定理得。 按对/斜、邻/斜、对/邻分别代入。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练5　计算｜完整写出三种函数值 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，AC=5。求锐角A的正弦、余弦、正切。 答：，，。 解 勾股定理得。 按对/斜、邻/斜、对/邻分别代入。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练6　计算｜完整写出三种函数值 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，AC=8。求锐角A的正弦、余弦、正切。 答：，，。 解 勾股定理得。 按对/斜、邻/斜、对/邻分别代入。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练7　填空｜从一个比值求另两个 锐角A满足。求sin A与cos A。 答：，。 解 设对边为3t、邻边为4t，t>0。 斜边为5t，分别作比。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：正切给的是两直角边之比。 针对训练 训练8　填空｜从一个比值求另两个 锐角A满足。求sin A与cos A。 答：，。 解 设对边为5t、邻边为12t，t>0。 斜边为13t，分别作比。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：正切给的是两直角边之比。 针对训练 训练9　填空｜从一个比值求另两个 锐角A满足。求sin A与cos A。 答：，。 解 设对边为8t、邻边为15t，t>0。 斜边为17t，分别作比。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：正切给的是两直角边之比。 针对训练 训练10　填空｜从一个比值求另两个 锐角A满足。求sin A与cos A。 答：，。 解 设对边为7t、邻边为24t，t>0。 斜边为25t，分别作比。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：正切给的是两直角边之比。 针对训练 训练11　选择｜邻边的含义 在Rt△ABC中，∠C=90°。∠A的邻边是（　）。 A. AB　B. BC　C. AC　D. AB与AC 答：C。 解 余弦和正切定义中的邻边是与锐角相邻的直角边。 AB是斜边，AC才是∠A的邻边。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练12　改错｜倒数混用 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，AC=5。小华写tan A=5/12。请改正。 答：。 解 ∠A的对边是BC，邻边是AC。 5/12实际上是tan B。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练13　比较｜互余锐角的三角函数 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=15。求cos A、sin B，并比较。 答：两者均为。 解 AB=17，A的邻边与B的对边同为AC。 故cos A=sin B。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练14　推理｜正切互为倒数 在Rt△ABC中，∠C=90°，tan A=4/7。求tan B。 答：。 解 两个锐角的对边、邻边互换。 。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练15　求边｜余弦给出邻边 在Rt△ABC中，∠C=90°，cos A=12/13，AB=39。求AC与BC。 答：AC=36，BC=15。 解 AC=39×12/13=36。 BC由勾股定理得15。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练16　求边｜正切给出高 在Rt△ABC中，∠C=90°，tan A=3/4，AC=16。求BC、AB。 答：BC=12，AB=20。 解 BC=AC·tan A=12。 勾股定理得AB=20。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练17　关系｜检验平方和 在Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边为5、12，斜边为13。计算sin²A+cos²A。 答：1。 解 分子为两直角边平方和，分母为斜边平方。 。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：平方先作用在整个函数值上。 针对训练 训练18　条件｜函数值的范围 锐角α的cos α=1.1，能否找到符合条件的直角三角形？ 答：不能。 解 邻边短于斜边。 锐角余弦必须大于0且小于1，1.1不符合。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练19　应用｜水平投影 一根17 m长的斜拉索与水平面夹角为α，cos α=15/17。求拉索两端的水平距离和高度差。 答：水平距离15 m，高度差8 m。 解 水平距离为17×15/17=15。 高度差为（m）。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练20　应用｜坡面高度 直斜坡的水平宽度为18 m，坡面与水平面夹角的正切值为5/12。求坡面高度。 α h l 答：7.5 m。 解 正切=竖直高度/水平宽度。 （m）。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：水平宽度不是坡长。 方法总结 把本课方法整理成可操作的步骤 标边取比 （1）先找斜边，再找目标锐角的对边。 （2）邻边是相邻的直角边。 （3）按题目要求写出对应比值。 由比求比 （1）把已知比值写成比例边长。 （2）用勾股定理补出第三边。 （3）约去共同倍数，化简结果。 $