20.4 解直角三角形（第1课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第20章 解直角三角形 20.4 解直角三角形 （第1课时）基本关系与解题步骤 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 本课要解决的问题 会说 理解解直角三角形的含义。 会做 按两边或一边一锐角条件求解。 会解释 选择合适关系并检查至少一条边已知。 复习引入 能否由两个元素确定一个直角三角形 情境 测量湖两岸A、B的距离，可在岸边作AC⊥AB。 思考 若AC=100 m、∠ACB=50°，怎样求AB？ 连接 把实际问题化为一个直角三角形中的边角计算。 知识讲授 三类关系回顾 角之间 两个锐角互余：A+B=90°。 边之间 勾股定理：a²+b²=c²。 边角之间 sin A=a/c；cos A=b/c；tan A=a/b。 a b c 知识讲授 解直角三角形 由直角三角形中除直角外的两个已知元素（其中至少一个是边），求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 元素指边与角。 “至少一个是边”保证了三角形的长度尺度。 随堂探究 探究　湖岸问题的计算 已知AB⊥AC，AC=100 m，∠ACB=50°。求AB，精确到0.1 m。 答：AB≈119.2 m。 解 相对于∠C，AB是对边，AC是邻边。 AB=AC·tan C=100tan50°。 方法：已知邻边求对边，选正切。 注意：水平湖岸距离由图形条件确定。 知识讲授 两类基本条件 两边已知 用勾股定理补出第三边；再选函数求一个锐角。 一边一锐角 先求互余角，再选择边角关系求边。 避免绕远 能直接用已知数据求未知量时，少引入中间近似数。 例题讲解 例 1 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，a=15。解这个直角三角形。 a b c 答：∠B=30°，b=，c=。 解 B=90°−60°=30°。 ，。 方法：已知对边，用正弦求斜边、正切求邻边。 注意：a对应角A，不是斜边。 例题讲解 变式 例 1 沿用例1条件，能否利用30°角所对边是斜边一半检验结果？ 答：可以，c=2b。 解 B=30°，b是其对边，故c=2b。 结果10=2×5，吻合。 方法：用另一条已知性质检验。 注意：检验不能替代原来必要的推理。 例题讲解 例 2 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，b=10。解这个直角三角形（角度精确到1°）。 a b c 答：∠A≈27°，∠B≈63°，c=。 解 tan A=5/10=1/2，计算得A≈27°。 B≈63°；勾股定理得c=。 方法：先用比值求锐角，再用勾股定理求斜边。 注意：斜边可保留精确值，角按要求取近似值。 归纳总结 例题方法对照 例1 一边一角→互余关系与特殊角函数。 例2 两边→正切反求角与勾股定理。 共同收尾 列出所有未给出的元素，不能只求一条边。 课堂练习 练习1 在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解这个直角三角形： （1） c=10，∠A=30°。 （2） c=8，b=。 解第（1）题 a=5，b=，∠B=60°。 a=10sin30°=5。 b=10cos30°；B=90°−A。 方法：由斜边分别乘函数值。 注意：c是斜边。 课堂练习 练习1 在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解这个直角三角形： （1） c=10，∠A=30°。 （2） c=8，b=。 解第（2）题 a=，∠A=∠B=45°。 由勾股定理得a=4。 两直角边相等，锐角各45°。 方法：先算边，再看特殊图形。 注意：根式平方要算完整。 课堂练习 练习2 在Rt△ABC中，∠C=90°，解这个直角三角形： （1） a=5，b=12（角度精确到1°）。 （2） a=15，∠B=40°（边长精确到0.01）。 解第（1）题 c=13，∠A≈23°，∠B≈67°。 c=√(25+144)=13。 tan A=5/12，计算锐角。 方法：两边先补第三边。 注意：保留中间计算精度。 课堂练习 练习2 在Rt△ABC中，∠C=90°，解这个直角三角形： （1） a=5，b=12（角度精确到1°）。 （2） a=15，∠B=40°（边长精确到0.01）。 解第（2）题 ∠A=50°，b≈12.59，c≈19.58。 A=90°−40°=50°。 b=15tan40°，c=15/sin50°。 方法：先确定a相对角B的身份。 注意：a是角B的邻边。 随堂探究 探究　条件判断 只知道∠A=35°、∠B=55°，能解出三边吗？ 答：不能。 解 满足这些角度的直角三角形可以相似放大。 必须增加至少一个长度条件，才能确定尺度。 方法：角度确定形状，长度确定尺度。 注意：两个已知元素中至少有一个是边。 随堂探究 探究　关系选择 C=90°，A已知，b已知。若只求c，使用cos A还是tan A更直接？ 答：使用cos A：c=b/cos A。 解 cos A=b/c，直接联系这两条边。 tan A还需引入对边a。 方法：选只含已知与所求的关系。 注意：不要无必要地增加近似计算。 归纳总结 课堂练习归纳 列已知 标注直角、边名与角名。 求未知 先精确关系，再近似运算。 检验 两锐角和为90°；斜边应最长；单位一致。 课堂总结 解直角三角形 识别条件 两元素中至少一个是边 选择关系 互余、勾股、三角函数三类关系 规范运算 先保留精确值；近似计算按题目要求取值。 检验解释 核对大小、单位与实际意义，回答完整。 特别提醒：解三角形须求齐所有未知边角。 针对训练 辨析　解直角三角形的条件 （1）仅凭两个锐角能确定三边。 × 理由：缺少长度尺度，可相似放大。 （2）一锐角一边可解直角三角形。 √ 理由：由互余关系求角，再求边。 （3）直角三角形的最长边是斜边。 √ 理由：直角所对的边最长。 （4）每一步都应立即四舍五入。 × 理由：保留中间精度，最后取近似。 方法：先检查至少有一条边。 注意：直角为默认条件，另需两个元素。 针对训练 训练2　两边已知｜完成全部元素 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8。解这个直角三角形（角度精确到1°）。 答：AB=10，∠A≈37°，∠B≈53°。 解 由勾股定理求AB=10。 ，再求B=90°−A。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练3　两边已知｜完成全部元素 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12。解这个直角三角形（角度精确到1°）。 答：AB=13，∠A≈23°，∠B≈67°。 解 由勾股定理求AB=13。 ，再求B=90°−A。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练4　两边已知｜完成全部元素 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=15。解这个直角三角形（角度精确到1°）。 答：AB=17，∠A≈28°，∠B≈62°。 解 由勾股定理求AB=17。 ，再求B=90°−A。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练5　两边已知｜完成全部元素 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9，AC=12。解这个直角三角形（角度精确到1°）。 答：AB=15，∠A≈37°，∠B≈53°。 解 由勾股定理求AB=15。 ，再求B=90°−A。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练6　一边一角｜从斜边出发 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=14。求另两边和∠B（边长精确到0.01）。 答：BC≈7.00，AC≈12.12，∠B=60°。 解 BC=AB·sin A=14sin30°。 AC=AB·cos A=14cos30°。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：边长近似到两位小数，角B可精确求出。 针对训练 训练7　一边一角｜从斜边出发 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=12。求另两边和∠B（边长精确到0.01）。 答：BC≈8.49，AC≈8.49，∠B=45°。 解 BC=AB·sin A=12sin45°。 AC=AB·cos A=12cos45°。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：边长近似到两位小数，角B可精确求出。 针对训练 训练8　一边一角｜从斜边出发 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=16。求另两边和∠B（边长精确到0.01）。 答：BC≈13.86，AC≈8.00，∠B=30°。 解 BC=AB·sin A=16sin60°。 AC=AB·cos A=16cos60°。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：边长近似到两位小数，角B可精确求出。 针对训练 训练9　一边一角｜从斜边出发 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=35°，AB=20。求另两边和∠B（边长精确到0.01）。 答：BC≈11.47，AC≈16.38，∠B=55°。 解 BC=AB·sin A=20sin35°。 AC=AB·cos A=20cos35°。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：边长近似到两位小数，角B可精确求出。 针对训练 训练10　选择｜条件是否足够 在已知∠C=90°的条件下，哪一组能唯一解Rt△ABC？ A. ∠A=30°、∠B=60° B. AC=6、BC=8 C. ∠A+∠B=90° D. sin A=3/5 答：B。 解 B给出两条边，从而确定长度尺度。 其他选项只确定角或比例，不能唯一确定边长。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练11　改错｜斜边用错函数 已知∠A=30°、对边BC=8，小明写AB=8sin30°。请改正。 答：AB=16。 解 sin A=BC/AB，故AB=BC/sin A。 8÷(1/2)=16。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练12　补充条件｜面积也是线索 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9，面积54。求AC、AB及tan A。 答：AC=12，AB=15，tan A=3/4。 解 (1/2)×9×AC=54，所以AC=12。 勾股定理得AB=15，再作比。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练13　周长｜比例与尺度结合 直角三角形两直角边之比为3∶4，周长36。求三边。 答：9、12、15。 解 设两直角边3t、4t，斜边5t。 12t=36，得t=3。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练14　检验｜边长顺序 在Rt△ABC中，∠A=20°，∠B=70°，∠C=90°。把a、b、c由小到大排列。 答：a<b<c。 解 大角对大边。 20°<70°<90°，对应边按此顺序。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练15　综合｜从面积求角 直角三角形的一条直角边长8，另一条直角边长8。求锐角、斜边和面积。 答：锐角均45°，斜边，面积32。 解 两直角边相等，两个锐角相等且互余。 勾股定理与面积公式分别求其余量。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练16　分类｜一条边的两种身份 直角三角形有一个30°角和一条长6的边。若6是斜边，30°对边多长？若6是30°对边，斜边多长？ 答：分别为3、12。 解 第一种：对边=斜边×sin30°。 第二种：斜边=对边÷sin30°。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：同一个数因边的身份不同而用不同关系。 针对训练 训练17　逆向｜选最短路线 ∠C=90°、∠A=40°、AC=10。只求BC，选择哪一种三角函数最直接？写出结果到0.01。 答：正切；BC≈8.39。 解 对边BC与邻边AC直接由tan A联系。 BC=10tan40°，无需先求斜边。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练18　探究｜同时放大 直角三角形三个边长同时变为原来的2倍，锐角、面积分别怎样变化？ 答：锐角不变，面积变为4倍。 解 对应边成比例，三角形相似。 面积的底与高各乘2，故乘4。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练19　数据辨析｜三边是否相容 一个三角形三边为6、8、11。有人把它当作直角三角形求锐角，请说明是否合理。 答：不合理。 解 最大边为11，但6²+8²=100，11²=121。 不满足勾股定理的等式，不能套用直角三角形的定义。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：使用工具前先检查图形条件。 针对训练 训练20　逆向检查｜面积与周长 直角三角形两直角边为7、24。求面积、周长，并解释为什么求周长还需要勾股定理。 答：面积84，周长56。 解 面积=7×24÷2=84。 斜边=25，周长=7+24+25=56。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练21　应用｜直角支架 直角支架两条互相垂直的边长分别为1.2 m、1.6 m。求斜撑长及斜撑与1.6 m边所成的锐角（角度精确到1°）。 答：斜撑2 m，锐角约37°。 解 勾股定理求斜撑。 tanα=1.2/1.6=3/4，计算得α≈37°。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练22　应用｜对称通道截面 一个通道横截面是等腰三角形，底宽6 m、竖直高4 m。求两侧斜边长及侧边与底边的夹角（角度精确到1°）。 答：斜边均5 m，夹角约53°。 解 作对称轴，将底边分为两个3 m。 半个截面为3、4、5直角三角形；tanα=4/3。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 方法总结 把本课方法整理成可操作的步骤 按条件选工具 （1）两边已知先考虑勾股定理。 （2）一边一角先确定边的身份。 （3）选只含已知量与目标量的关系。 按结果作检验 （1）两锐角应互余，斜边应最长。 （2）边长保留单位，角度保留符号。 （3）按题目要求在最后一步取近似。 $