19.2 二次函数的图象（第2课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第19章 二次函数和反比例函数 19.2 二次函数的图象 （第2课时）y=ax²+c的图象 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 今天要学会什么 观察与表达 观察与之间的上下平移关系。 学习成果 会作图、读顶点与对称轴，并能准确表达两条抛物线的平移关系。 知识讲授 每个点的纵坐标都增加3 原函数 ，取得。 新函数 的对应值为，每个纵坐标增加3。 课堂练习 实践　观察上下平移 在同一坐标系中作出下列函数图象，观察它们的位置关系。 -3 -2 -1 1 2 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 ① ② ③ （1） （2） （3） 解第（1）题：顶点。 以轴为对称轴，向下开口。 解第（2）题：由第一条向上平移3个单位。 所有纵坐标增加3。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 课堂练习 实践　观察上下平移 在同一坐标系中作出下列函数图象，观察它们的位置关系。 -3 -2 -1 1 2 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 ① ② ③ （1） （2） （3） 解第（3）题：由第一条向下平移3个单位。 所有纵坐标减少3。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 知识讲授 y=ax²+c的图象 一般地，二次函数（）的图象可以看做是由二次函数的图象向上或向下平移而得到的，它的对称轴是轴，顶点坐标是。 加正数向上，减正数向下。 平移前后开口方向、宽窄不变。 知识讲授 c改变，什么不变 保持不变 横坐标、对称轴和曲线形状保持不变。 发生改变 顶点纵坐标由0变为，整条曲线同步上下移动。 课堂练习 练习1 在同一坐标系中作出和的图象，并指出它们和的图象有怎样的位置关系。 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ① ② 答：分别由基准图象向下2个单位、向上5个单位得到。 解 顶点分别为与。 同一横坐标的纵坐标分别减2、加5。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 课堂练习 练习2 在同一坐标系中作图，并指出它们的图象和的图象之间有怎样的关系。 -2 -1 1 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 ① ② （1） （2） 解第（1）题：向上平移7个单位。 顶点，对称轴轴。 解第（2）题：向下平移7个单位。 顶点，对称轴轴。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 随堂探究 探究　两条新图之间怎样移动 向上平移多少单位可得到？ 答：7个单位。 解 顶点纵坐标差。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 随堂探究 探究　反向确定常数 把向下平移4个单位，写出新式。 答：。 解 每个函数值减4。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 上下移动时逐点对应 对应点 变成。 整体性质 所有点用同一种变化规则，这就是平移。 知识讲授 列表不是随便选点 取点位置 先定对称轴，再在两侧取等距离的横坐标。 核对依据 同高点成对出现，顶点单独出现。 随堂探究 探究　用三个点检查草图 对于，求顶点及横坐标比顶点多1、少1的两点。 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 答：、、。 解 先写顶点，再令括号内为。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 对称轴是一条直线 书写要求 对称轴写成，不能只写数字。 点与线 顶点是一个点，须写两个坐标；两者不能混淆。 知识讲授 连接的方式决定图形 正确连线 按横坐标从小到大，用平滑曲线连接描出的点。 错误提醒 把点用线段依次连接会成为折线，无法体现抛物线形状。 随堂探究 探究　判断一点是否落在曲线上 点和哪个在上？ 答：只有在。 解 同一个只能对应一个函数值。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 形状与位置分开研究 形状因素 固定其他条件，控制开口方向及图象宽窄。 位置因素 平移保留，改变顶点位置。 随堂探究 探究　从图象返回算式 抛物线上横坐标分别为和的两点为什么一样高？ 答：代入后括号内互为相反数，平方相等。 解 二者都代入。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 作图后怎样自查 查三个要素 开口方向、对称轴和顶点是否符合表达式。 查已知点 重新代入至少一个非顶点，确认纵坐标位置。 随堂探究 探究　零点与截距的区分 求与轴的交点时，应令哪个量为0？ 答：令。 解 轴上所有点的横坐标均为0。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 合理设置坐标轴刻度 范围 使顶点与关键点都能显示在图中。 刻度 横纵轴可以采用不同单位，但每个轴内要等距。 课堂总结 本课知识 基准 平移 上加下减 对称轴 轴 顶点 特别提醒：上下平移的距离是两个常数之差的绝对值。 针对训练 训练1　读图象特征 完成下面各题，写出必要理由。 （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 开口向下，对称轴，顶点。 把表达式与本课标准形式对照。 符号确定开口，括号确定横坐标，常数确定纵坐标。 方法：读形式与特征 注意：顶点横坐标注意相反符号。 针对训练 训练1　读图象特征 完成下面各题，写出必要理由。 （1） （2） （3） （4） 解第（2）题 开口向上，对称轴，顶点。 把表达式与本课标准形式对照。 符号确定开口，括号确定横坐标，常数确定纵坐标。 方法：读形式与特征 注意：顶点横坐标注意相反符号。 针对训练 训练1　读图象特征 完成下面各题，写出必要理由。 （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 开口向下，对称轴，顶点。 把表达式与本课标准形式对照。 符号确定开口，括号确定横坐标，常数确定纵坐标。 方法：读形式与特征 注意：顶点横坐标注意相反符号。 针对训练 训练1　读图象特征 完成下面各题，写出必要理由。 （1） （2） （3） （4） 解第（4）题 开口向上，对称轴，顶点。 把表达式与本课标准形式对照。 符号确定开口，括号确定横坐标，常数确定纵坐标。 方法：读形式与特征 注意：顶点横坐标注意相反符号。 针对训练 训练2　准确代入求值 完成下面各题，写出必要理由。 （1） ，求时的。 （2） ，求时的。 （3） ，求时的。 （4） ，求时的。 解第（1）题 。 代入得。 先算平方，再乘系数。 方法：代入函数求值 注意：负数平方要带括号。 针对训练 训练2　准确代入求值 完成下面各题，写出必要理由。 （1） ，求时的。 （2） ，求时的。 （3） ，求时的。 （4） ，求时的。 解第（2）题 。 代入得。 先算平方，再乘系数。 方法：代入函数求值 注意：负数平方要带括号。 针对训练 训练2　准确代入求值 完成下面各题，写出必要理由。 （1） ，求时的。 （2） ，求时的。 （3） ，求时的。 （4） ，求时的。 解第（3）题 。 代入得。 先算平方，再乘系数。 方法：代入函数求值 注意：负数平方要带括号。 针对训练 训练2　准确代入求值 完成下面各题，写出必要理由。 （1） ，求时的。 （2） ，求时的。 （3） ，求时的。 （4） ，求时的。 解第（4）题 。 代入得。 先算平方，再乘系数。 方法：代入函数求值 注意：负数平方要带括号。 针对训练 训练3　寻找对称点 完成下面各题，写出必要理由。 （1） 点在上，求同高的另一点。 （2） 点在上，求同高的另一点。 （3） 点在上，求同高的另一点。 （4） 点在上，求同高的另一点。 解第（1）题 。 对称轴，两横坐标之和为。 方法：用轴对称配对 注意：若原点在对称轴上，另一点与自身重合。 针对训练 训练3　寻找对称点 完成下面各题，写出必要理由。 （1） 点在上，求同高的另一点。 （2） 点在上，求同高的另一点。 （3） 点在上，求同高的另一点。 （4） 点在上，求同高的另一点。 解第（2）题 。 对称轴，两横坐标之和为。 方法：用轴对称配对 注意：若原点在对称轴上，另一点与自身重合。 针对训练 训练3 完成下面各题，写出必要理由。 （1） 点在上，求同高的另一点。 （2） 点在上，求同高的另一点。 （3） 点在上，求同高的另一点。 （4） 点在上，求同高的另一点。 解第（3）题 。 对称轴，两横坐标之和为。 方法：用轴对称配对 注意：若原点在对称轴上，另一点与自身重合。 针对训练 训练3 完成下面各题，写出必要理由。 （1） 点在上，求同高的另一点。 （2） 点在上，求同高的另一点。 （3） 点在上，求同高的另一点。 （4） 点在上，求同高的另一点。 解第（4）题 。 对称轴，两横坐标之和为。 方法：用轴对称配对 注意：若原点在对称轴上，另一点与自身重合。 针对训练 训练4　检验图象上的点 完成下面各题，写出必要理由。 （1） 点是否在上？ （2） 点是否在上？ （3） 点是否在上？ （4） 点是否在上？ 解第（1）题 在。 代入后。 方法：坐标代入验证 注意：不能凭图形大致位置判断。 针对训练 训练4　检验图象上的点 完成下面各题，写出必要理由。 （1） 点是否在上？ （2） 点是否在上？ （3） 点是否在上？ （4） 点是否在上？ 解第（2）题 在。 代入后。 方法：坐标代入验证 注意：不能凭图形大致位置判断。 针对训练 训练4　检验图象上的点 完成下面各题，写出必要理由。 （1） 点是否在上？ （2） 点是否在上？ （3） 点是否在上？ （4） 点是否在上？ 解第（3）题 在。 代入后。 方法：坐标代入验证 注意：不能凭图形大致位置判断。 针对训练 训练4　检验图象上的点 完成下面各题，写出必要理由。 （1） 点是否在上？ （2） 点是否在上？ （3） 点是否在上？ （4） 点是否在上？ 解第（4）题 在。 代入后。 方法：坐标代入验证 注意：不能凭图形大致位置判断。 针对训练 训练5　辨析图象语言 （1）平移抛物线会改变开口方向。 × 理由：平移不改变二次项系数。 （2）抛物线只有一个顶点。 √ 理由：顶点是它与对称轴的交点。 （3）抛物线与对称轴的交点一定是原点。 × 理由：顶点可以在别处。 方法：区分形状、位置和方向 注意：平移与翻折不同。 针对训练 训练6　从条件反求系数 已知过，求。 答：。 解 把点的横、纵坐标代入对应表达式。 由一元一次方程确定。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练7　从对称读横坐标 抛物线上两点纵坐标相同，一个点横坐标为，另一个是多少？ 答：。 解 两点横坐标平均数为对称轴横坐标。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练8　作图顺序 可由怎样得到（ ）？ A. 向上3 B. 向下3 C. 向左3 D. 向右3 答：选B。 解 每个纵坐标都减去3，横坐标不变。 方法：比较同一横坐标的纵坐标 注意：逐项核对条件，不凭外形猜测。 针对训练 训练9　核对错误数据 某同学说在时函数值是0。这句话一定正确吗？ 答：不正确，此时。 解 把取为对称轴横坐标，平方项等于0。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练10　在图与式之间转换 给定，写出图象与轴交点。 答：。 解 与轴相交时。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练11　一组对称点 在上取与，两点纵坐标是什么？ 答：都为。 解 两点到对称轴的水平距离都为2。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练12　图象能否重合 与能通过水平平移重合吗？ 答：不能，仅水平平移不改变顶点纵坐标。 解 两个顶点的纵坐标相差1。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练13　实际应用：水位曲线 某实验水位(cm)与(s)满足，。初始水位与2s时水位是多少？ 答：3cm与11cm。 解 分别代入。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练14　实际应用：拱门 拱门截面高度，求中心高度和距中心水平2m处的高度。 答：8m与6m。 解 分别取和。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 方法总结 把本课方法带走 观察对应点 （1）固定同一个横坐标 （2）比较两式纵坐标的差 使用顶点定位 （1）顶点从变为 （2）再以对称轴补全曲线 $