19.6 反比例函数的图象、性质和应用（第2课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第19章 二次函数和反比例函数 19.6 反比例函数的图象、性质和应用 （第2课时）反比例函数的性质与应用 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 今天要学会什么 观察与表达 从图象归纳反比例函数的性质，并运用于求式、比较和实际问题。 学习成果 会保留“在各自象限内”的条件，结合范围作图并把时间单位正确换算。 知识讲授 比较两类图象 k>0 图象在第一、第三象限，两支各自向右下方伸展。 k<0 图象在第二、第四象限，两支各自向右上方伸展。 知识讲授 反比例函数的性质 1. 当时，在各自象限内，的值随值的增大而减小； 2. 当时，在各自象限内，的值随值的增大而增大。 对应函数，为非零常数。 不能跨越直接使用同一支上的增减结论。 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 例题讲解 例 1 已知反比例函数的图象经过点。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 （1） 求出它的表达式。 （2） 画出它在第一象限内的图象。 （3） 当从3增大到9时，函数值怎样变化？ 解第（1）题：。 代入得。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 例题讲解 例 1 已知反比例函数的图象经过点。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 （1） 求出它的表达式。 （2） 画出它在第一象限内的图象。 （3） 当从3增大到9时，函数值怎样变化？ 解第（2）题：在第一象限内经过。 只画题目要求的第一象限分支。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 例题讲解 例 1 已知反比例函数的图象经过点。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 （1） 求出它的表达式。 （2） 画出它在第一象限内的图象。 （3） 当从3增大到9时，函数值怎样变化？ 解第（3）题：从4减小到。 且，在这一象限内递减。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 随堂探究 探究　例1的跨象限提醒 在中，，能否据此说？ 答：不能，实际。 解 两个点不在同一个象限，不能直接套递减性质。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 例题讲解 例 2 某长途公共汽车线路全长50km，规定平均速度不得高于70km/h。 10 20 30 40 50 60 70 1 2 3 （1） 运行全程所需时间(h)是平均车速(km/h)的什么函数？画出图象。 （2） 结合图象，求平均速度40km/h或60km/h时，运行全程所需时间相差多少分钟。 解第（1）题：，反比例函数，。 固定路程除以速度，保留第一象限内受限的一段。 方法：先列式再限制范围 注意：端点允许取到。 例题讲解 例 2 某长途公共汽车线路全长50km，规定平均速度不得高于70km/h。 10 20 30 40 50 60 70 1 2 3 （1） 运行全程所需时间(h)是平均车速(km/h)的什么函数？画出图象。 （2） 结合图象，求平均速度40km/h或60km/h时，运行全程所需时间相差多少分钟。 解第（2）题：相差25分钟。 两时间为h和h。 差h，乘60换算为25min。 方法：同单位相减再换算 注意：小时差不能直接当分钟。 随堂探究 探究　例2的最短允许用时 平均车速不高于70km/h时，完成50km全程最少需要多少小时？ 答：小时，约42.86分钟。 解 速度在允许范围内越大，用时越短；取。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 课堂练习 练习1 回答下列问题： （1） ，当时随增大如何变化？当时呢？ （2） ，当时随增大如何变化？当时呢？ 解第（1）题 在各自范围内都减小。 ，分别在第一、第三象限运用性质。 解第（2）题 在各自范围内都增大。 ，分别在第四、第二象限运用性质。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 课堂练习 练习2 已知反比例函数（）图象经过。当时随增大如何变化？当时呢？ 答：在与的各自范围内，都随增大而增大。 解 。 分别在第二、第四象限运用增大性质。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 同支与跨支的两种比较 同支 先看的符号，再根据大小比较函数值。 跨支 先看函数值的正负，或直接代入。 随堂探究 探究　负数分支方向示例 在中，从-6增大到-2，怎样变？ 答：从-1减小到-3。 解 负数-3小于-1，不要把绝对值增大误认为数值增大。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 随堂探究 探究　k为负时的正横坐标 在中，从2增大到6，怎样变？ 答：从-3增大到-1。 解 负数越接近0，数值越大。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 自变量范围来自场景 数学习题 可以同时讨论两个象限的分支。 运行问题 速度、时间都为正，并可能有最大允许速度。 随堂探究 探究　小时换分钟的核对 为什么小时等于25分钟？ 答：1小时60分钟，所以。 解 单位换算要随数值一起进行。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 反比例系数的双重作用 代数 系数等于任一点横纵坐标的乘积。 图象 符号决定象限与每个分支的变化趋势。 随堂探究 探究　同一条曲线的两个点 点与在同一反比例曲线上，求并说明变化。 答：；当从-6到-2增大时，从1到3增大。 解 ；。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 实际应用的一次验证 范围检查 求出的速度应满足题目给出的允许范围。 回代检查 把速度代回时间式，确认完成时间符合目标。 随堂探究 探究　界限值能不能取到 若排水要求“少于5h”，而不是“5h内”，最低速度48是否能取到？ 答：不能，应有。 解 恰好5h；严格时间条件排除端点。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 课堂总结 本课知识 系数 点坐标乘积 图象 k正同号，k负异号 性质 各自象限内增减 应用 范围与单位换算 特别提醒：必须写“在各自象限内”，不能跨越x=0套用增减性。 针对训练 训练1　判断变化 完成下列各题。 （1） 在和的各自范围内怎样变化？ （2） 在和的各自范围内怎样变化？ （3） 在和的各自范围内怎样变化？ （4） 在和的各自范围内怎样变化？ 解第（1）题 都随增大而减小。 反比例系数为6，其符号决定各支的变化。 方法：限定一支再用性质 注意：不能删去各自范围的限定。 针对训练 训练1　判断变化 完成下列各题。 （1） 在和的各自范围内怎样变化？ （2） 在和的各自范围内怎样变化？ （3） 在和的各自范围内怎样变化？ （4） 在和的各自范围内怎样变化？ 解第（2）题 都随增大而增大。 反比例系数为-6，其符号决定各支的变化。 方法：限定一支再用性质 注意：不能删去各自范围的限定。 针对训练 训练1　判断变化 完成下列各题。 （1） 在和的各自范围内怎样变化？ （2） 在和的各自范围内怎样变化？ （3） 在和的各自范围内怎样变化？ （4） 在和的各自范围内怎样变化？ 解第（3）题 都随增大而减小。 反比例系数为12，其符号决定各支的变化。 方法：限定一支再用性质 注意：不能删去各自范围的限定。 针对训练 训练1　判断变化 完成下列各题。 （1） 在和的各自范围内怎样变化？ （2） 在和的各自范围内怎样变化？ （3） 在和的各自范围内怎样变化？ （4） 在和的各自范围内怎样变化？ 解第（4）题 都随增大而增大。 反比例系数为-12，其符号决定各支的变化。 方法：限定一支再用性质 注意：不能删去各自范围的限定。 针对训练 训练2　同支比较 完成下列各题。 （1） 比较在与时的值。 （2） 比较在与时的值。 （3） 比较在与时的值。 （4） 比较在与时的值。 解第（1）题 分别，前者大于后者。 两个点在同一支，也可直接代入。 方法：同支使用单调性 注意：负值比较也要遵守数轴顺序。 针对训练 训练2　同支比较 完成下列各题。 （1） 比较在与时的值。 （2） 比较在与时的值。 （3） 比较在与时的值。 （4） 比较在与时的值。 解第（2）题 分别，前者小于后者。 两个点在同一支，也可直接代入。 方法：同支使用单调性 注意：负值比较也要遵守数轴顺序。 针对训练 训练2　同支比较 完成下列各题。 （1） 比较在与时的值。 （2） 比较在与时的值。 （3） 比较在与时的值。 （4） 比较在与时的值。 解第（3）题 分别，前者大于后者。 两个点在同一支，也可直接代入。 方法：同支使用单调性 注意：负值比较也要遵守数轴顺序。 针对训练 训练2　同支比较 完成下列各题。 （1） 比较在与时的值。 （2） 比较在与时的值。 （3） 比较在与时的值。 （4） 比较在与时的值。 解第（4）题 分别，前者小于后者。 两个点在同一支，也可直接代入。 方法：同支使用单调性 注意：负值比较也要遵守数轴顺序。 针对训练 训练3　跨支比较 完成下列各题。 （1） 比较在与时的值。 （2） 比较在与时的值。 （3） 比较在与时的值。 （4） 比较在与时的值。 解第（1）题 分别，前者小于后者。 跨象限先看正负或直接代入。 方法：分支判断 注意：不能直接由横坐标大小套递增递减。 针对训练 训练3　跨支比较 完成下列各题。 （1） 比较在与时的值。 （2） 比较在与时的值。 （3） 比较在与时的值。 （4） 比较在与时的值。 解第（2）题 分别，前者大于后者。 跨象限先看正负或直接代入。 方法：分支判断 注意：不能直接由横坐标大小套递增递减。 针对训练 训练3　跨支比较 完成下列各题。 （1） 比较在与时的值。 （2） 比较在与时的值。 （3） 比较在与时的值。 （4） 比较在与时的值。 解第（3）题 分别，前者小于后者。 跨象限先看正负或直接代入。 方法：分支判断 注意：不能直接由横坐标大小套递增递减。 针对训练 训练3　跨支比较 完成下列各题。 （1） 比较在与时的值。 （2） 比较在与时的值。 （3） 比较在与时的值。 （4） 比较在与时的值。 解第（4）题 分别，前者大于后者。 跨象限先看正负或直接代入。 方法：分支判断 注意：不能直接由横坐标大小套递增递减。 针对训练 训练4　求式后用性质 完成下列各题。 （1） 反比例图象过，求表达式并说明各支变化。 （2） 反比例图象过，求表达式并说明各支变化。 （3） 反比例图象过，求表达式并说明各支变化。 （4） 反比例图象过，求表达式并说明各支变化。 解第（1）题 ，各支随增大而减小。 乘积得，再判断符号。 方法：求系数再用性质 注意：先求k，别只看一个坐标的符号。 针对训练 训练4　求式后用性质 完成下列各题。 （1） 反比例图象过，求表达式并说明各支变化。 （2） 反比例图象过，求表达式并说明各支变化。 （3） 反比例图象过，求表达式并说明各支变化。 （4） 反比例图象过，求表达式并说明各支变化。 解第（2）题 ，各支随增大而增大。 乘积得，再判断符号。 方法：求系数再用性质 注意：先求k，别只看一个坐标的符号。 针对训练 训练4　求式后用性质 完成下列各题。 （1） 反比例图象过，求表达式并说明各支变化。 （2） 反比例图象过，求表达式并说明各支变化。 （3） 反比例图象过，求表达式并说明各支变化。 （4） 反比例图象过，求表达式并说明各支变化。 解第（3）题 ，各支随增大而减小。 乘积得，再判断符号。 方法：求系数再用性质 注意：先求k，别只看一个坐标的符号。 针对训练 训练4　求式后用性质 完成下列各题。 （1） 反比例图象过，求表达式并说明各支变化。 （2） 反比例图象过，求表达式并说明各支变化。 （3） 反比例图象过，求表达式并说明各支变化。 （4） 反比例图象过，求表达式并说明各支变化。 解第（4）题 ，各支随增大而增大。 乘积得，再判断符号。 方法：求系数再用性质 注意：先求k，别只看一个坐标的符号。 针对训练 训练5　限定条件不能丢 （1）在整个定义域上都随增大而减小。 × 理由：跨越0时结论不成立。 （2）时，两支各自从左向右上升。 √ 理由：在各自象限内函数值增大。 （3）与一个点的横纵坐标乘积相等。 √ 理由：由。 方法：牢记在各自象限内 注意：图象位置和变化趋势一起核对。 针对训练 训练6　参数范围 在各自象限内随增大而减小，应有（ ）。 A. B. C. D. 答：选A。 解 递减需要。 方法：把性质转成系数符号条件 注意：逐项核对条件，不凭外形猜测。 针对训练 训练7　限定区间求值范围 ，，求的范围。 答：。 解 第一象限递减，两端分别给出6与2。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练8　负支上的范围 ，，求范围。 答：。 解 第二象限递增，代两端得到2与4。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练9　两函数求交点 求与的交点。 答：和。 解 联立得，所以。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练10　面积保持不变 第一象限反比例曲线上一点向两轴作垂线，矩形面积是什么？ 答：，为固定值。 解 矩形边长分别为，第一象限中均为正。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练11　比较两个系数 第一象限内同一横坐标处，与谁在上方？ 答：在上方。 解 正分母相同，分子大对应函数值大。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练12　速度翻倍的意义 固定路程下速度从40km/h提高到80km/h，时间减少了几分之几？ 答：减少原用时的。 解 新用时为原来的，减少量也是。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练13　实际应用：运输时差 运输线路72km，平均速度36km/h与48km/h两方案，时间差多少分钟？ 答：30分钟。 解 用时2h与1.5h，差0.5h=30min。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练14　实际应用：排水调度 水池有240m³水，排水速度（m³/h）与时间满足，。若需5h内排完，速度范围是什么？ 答：。 解 ，至少48；结合最大速度60。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 方法总结 把本课方法带走 利用性质比较大小 （1）先看点是否在同一支 （2）跨支先看正负或代入 建立实际反比例模型 （1）固定总量给出乘积关系 （2）结合范围求值并换算单位 $