18.5 相似三角形的判定（第2课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第18章 相似形 18.5 相似三角形的判定 （第2课时）三边成比例与两边成比例且夹角相等 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 这一课要解决什么 理解 掌握三边成比例与两边成比例且夹角相等的判定。 运用 会根据已知边角选择合适判定。 表达 能够辨析非夹角错误，并分类讨论边的对应。 复习引入 从角转向边 已经会用 两组角对应相等，可以判定三角形相似。 本课问题 若已知条件主要是边长，怎样判定相似？ 随堂探究 探究　从三边的共同倍数猜想 两个三角形三边分别为3、4、5与6、8、10，它们的对应边比有何特点？ 答：按大小对应后，三个比都为。 解 。 三边的缩放比例完全一致。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 三边对应成比例的判定 如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简记为“三边对应成比例，两三角形相似”）。 必须验证三组对应边的比相等。 常按最短边、中边、最长边进行配对。 知识讲授 三边判定的证明思路 构造 截取一组对应边，作平行线构造相似三角形。 比较 由比例确定其余两边也分别相等，用SSS判定全等。 联结 把构造出的相似关系与全等关系联系起来。 随堂探究 探究　按边长大小配对 两个三角形三边为6、9、12与8、16、12，怎样配对较方便？ 答：6对应8，9对应12，12对应16。 解 两组三边分别从小到大排列。 三个比都为，可判定相似。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 随堂探究 探究　只检验两个边比是否足够 三边为3、4、5与6、8、9的两个三角形相似吗？ 答：不相似。 解 。 但，三边并非对应成比例。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 再加入一个角条件 观察对象 让两组对应边比相同，并固定它们的夹角。 猜想 两边的尺度与夹角共同确定三角形的形状。 知识讲授 两边成比例且夹角相等 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简记为“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”）。 相等角必须是所用两条边的夹角。 边的比例与角的位置必须匹配。 随堂探究 探究　哪些边夹着这个角 已知，使用能用两边夹角判定吗？ 答：能。 解 是的夹角。 是的夹角。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 随堂探究 探究　非夹角为何不能代用 已知，，一定相似吗？ 答：不一定。 解 这两条边的夹角是与。 题目给的是另一角，不能套用两边夹角判定。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 例题讲解 例 3 依据下列各组条件，判定与是否相似，并说明理由。 （1） ；（单位：cm）。 （2） ；（单位：cm）。 解第（1）题 相似。 三组比均为。 方法：三边对应成比例 注意：三组比都要核验 例题讲解 例 3 依据下列各组条件，判定与是否相似，并说明理由。 （1） ；（单位：cm）。 （2） ；（单位：cm）。 解第（2）题 相似。 ，夹角同为120°。 方法：两边成比例且夹角相等 注意：120°是所用两边夹角 随堂探究 探究　例3变式：改变一条边 三边4、6、8与12、18、25的两个三角形相似吗？ 答：不相似。 解 按边长排序，对应边比前两组为。 第三组。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 例题讲解 例 4 已知，是边上的一点，连接。 （1） 当满足什么条件时，？ （2） 当满足什么条件时，？ 解第（1）题：。 为公共角。 再有该组角相等即可用两角判定。 方法：利用公共角 注意：相似式中C对应B 例题讲解 例 4 已知，是边上的一点，连接。 （1） 当满足什么条件时，？ （2） 当满足什么条件时，？ 解第（2）题：。 公共角是与的夹角。 两边成比例且夹角相等。 方法：按相似顺序配边 注意：等价于 随堂探究 探究　例4变式：求分点位置 ，要使，点距多远？ 答：。 解 。 ，小于，分点在边上。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 课堂练习 练习1 依据下列各组条件，判定与是否相似，并说明理由。 （1） ；（cm）。 （2） ；（cm）。 解第（1）题 相似。 两边比，夹角相等。 解第（2）题 相似。 三边比均为。 方法：检查夹角 注意：角必须位于两边之间 方法：按次序核验三组比 注意：不能只检查一组比 课堂练习 练习2 在中，，；在中，，。这两个三角形相似吗？为什么？ 答：。 解 。 ，夹角相等。 方法：先读条件，再说明依据 注意：不能只凭图形外观判断 课堂练习 练习3 一个直角三角形两条直角边的长分别为6 cm、4 cm，另一个直角三角形两条直角边的长分别为9 cm、6 cm，这两个直角三角形是否相似？为什么？ 答：相似。 解 。 两条直角边的夹角都为90°。 方法：先读条件，再说明依据 注意：不能只凭图形外观判断 课堂练习 练习4 要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别是4 m、5 m、6 m，另一个三角形框架的一边长为2 m。怎样选料可使这两个三角形相似？ 答：三种边长方案：、、 m。 解 2 m可分别对应原框架的4 m、5 m、6 m。 分别按缩放全部三边。 方法：按已知边对应位置分类 注意：题目没有指定2 m对应哪一边 随堂探究 探究　练习4变式：指定最长边 若练习4明确2 m为新框架最长边，应选哪一种方案？ 答：选 m、 m、2 m。 解 最长边对应原框架6 m。 缩小比例唯一确定为。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 三种判定怎样选 角多 已知或容易找到两对相等角，选两角判定。 边多 三边已知，比较三组比；两边与夹角已知，选两边夹角判定。 随堂探究 探究　从等积式看出两边比例 ，在上，怎样证明？ 答：用两边成比例且夹角相等。 解 等积式给出。 为公共夹角。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 课堂练习 辨析　判定条件辨析 （1）两边对应成比例就一定相似。 × 理由：还需夹角相等，或第三组边比相等。 （2）三边对应成比例不必再检查角。 √ 理由：三边判定已经保证形状相同。 （3）两边对应成比例且任意一角相等就能判定。 × 理由：该角必须是两边的夹角。 方法：把每个条件放回所用判定 注意：特别标出“夹角” 随堂探究 探究　比值相同也要检查题意 两组三边给为1、2、3与2、4、6，可否说它们是相似三角形？ 答：不能。 解 每组最长边等于另两边之和。 它们不能组成三角形，判定的对象不存在。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 结果的两项核验 图形存在 边长须为正且满足三角形不等式。 对应明确 较长边对应较长边，指定顶点的对应不能随意改变。 课堂总结 本课知识与方法 三边 三组对应比相等 两边夹角 两比相等且夹角相等 择法 依已知边角选判定 分类 不指定对应边时分类 特别提醒：两个边比与一个非夹角不能替代两边夹角判定。 针对训练 训练1　三边判定 三边5、7、8与15、21、24的两个三角形是否相似？ 答：相似。 解 三组对应边比均为。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练2　不同比例 三边4、5、6与8、10、13的两个三角形是否相似？ 答：不相似。 解 前两组为，第三组不同。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练3　夹角判定 两三角形的一个角都为80°，夹着此角的边分别为3、5与6、10，是否相似？ 答：相似。 解 两边比均为，夹角相等。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练4　非夹角判断 两组边比相等，另有一对相等角但不是夹角，可以直接用两边夹角判定吗？ 答：不可以。 解 夹角条件未满足。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练5　按边排序 三边8、6、10与15、12、9是否对应成比例？ 答：成比例。 解 排序后。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练6　求缺少的边 三角形三边3、5、6，与它相似的三角形最短边为9，另外两边是多少？ 答：15与18。 解 放大比为3。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练7　公角条件 在内，在上、在上，，是否有？ 答：有。 解 两边对应成比例且公共夹角相等。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练8　由等积到相似 在上，，是否有？ 答：有。 解 。 两边比例与公共夹角满足判定。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练9　直角边配对 两个直角三角形的直角边分别为5、12与10、24，是否相似？ 答：相似。 解 两直角边比均为，夹角90°。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练10　存在性检查 长度2、3、6能否作为三角形三边去研究相似？ 答：不能。 解 ，不能围成三角形。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练11　分类求边 原三角形三边3、4、5，新相似三角形一边为6，列全部边长组。 答：、、。 解 分别令6对应3、4、5。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练12　方法选择 一题给出了两组对应直角边的比，优先用哪种相似判定？ 答：两边成比例且夹角相等。 解 两直角边之间的夹角已知为90°。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练13　应用：三角形支架检验 甲支架三边0.8 m、1 m、1.2 m，乙支架三边1.2 m、1.5 m、1.8 m，二者形状相同吗？ 答：相同。 解 三组对应边比均为。 方法：先统一单位，再检验三边比 注意：三组都相等才可用三边判定 针对训练 训练14　应用：园艺边框 三角形花圃两邻边3 m、4 m，夹角60°。图纸相应两边6 cm、8 cm，夹角也为60°，图纸与花圃相似吗？ 答：相似，图纸与实物的相似比为1:50。 解 3 m=300 cm，4 m=400 cm。 ，夹角相等。 方法：两边与夹角共同核验 注意：计算比例尺必须统一单位 方法总结 把方法带到下一题 条件匹配法 （1）在图上圈出已知角的两边 （2）确认它们正是所列比例中的边 分类配边法 （1）按短边、中边、长边安排对应 （2）分别求比例并检查所有方案 $