20.5 测量与计算（第1课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第20章 解直角三角形 20.5 测量与计算 （第1课时）仰角与俯角 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 本课要解决的问题 会说 准确区分仰角与俯角。 会做 根据角和水平距离求高度或距离。 会解释 说明仪器高、角度范围和图形位置的作用。 复习引入 站在地面也能测出高度 情境 观察旗杆顶部，需要抬高视线。 思考 视线与哪一条基准线组成仰角？ 连接 在直角三角形中，水平距离与高度差可由正切联系。 知识讲授 仰角与俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角。 两个角都以观测点处的水平线为基准。 不是视线与铅垂线的夹角。 随堂探究 探究　找准观测基准 某视线与水平线夹角30°，且位于水平线上方，该角叫什么？视线与铅垂线夹角是多少？ 答：仰角30°；与铅垂线的夹角60°。 解 水平线与铅垂线垂直。 两个锐角互余。 方法：先把实际条件画进直角三角形 注意：区分水平距离、斜线长度与竖直高度 知识讲授 俯角如何移到地面 平行关系 观测点水平线与水平地面平行。 等角转换 俯角与目标点看向观测点的仰角相等，可用内错角解释。 随堂探究 探究　一组仰角与俯角 楼顶向地面目标看的俯角为35°，地面目标向楼顶看的仰角是多少？ 答：35°。 解 两条水平线平行。 同一条视线所成的内错角相等。 方法：先把实际条件画进直角三角形 注意：区分水平距离、斜线长度与竖直高度 知识讲授 仪器高为什么要加入 三角形的高 由仰角和水平距离求出的是顶部高于仪器水平线的部分。 实际总高 总高=计算得到的高度差+仪器高。 α 例题讲解 例 1 某同学在测量学校旗杆高度时，在处用高1.2 m的测角仪测得顶部的仰角，量得水平距离。计算旗杆高（精确到0.1 m）。 答：旗杆高约12.3 m。 解 m。 m。 方法：先求高于仪器的部分，再加仪器高 注意：不要把11.1 m当作旗杆全高 随堂探究 探究　例1变式：水平距离改变 仪器高1.2 m，仰角仍为34°，若水平距离为20 m，求目标高度（精确到0.1 m）。 答：约14.7 m。 解 。 计算得到约14.6902 m。 方法：先把实际条件画进直角三角形 注意：区分水平距离、斜线长度与竖直高度 随堂探究 探究　例1变式：仰角45° 仪器高1.5 m，水平距离18 m，仰角45°，求目标高度。 答：19.5 m。 解 高度差 m。 加仪器高1.5 m。 方法：先把实际条件画进直角三角形 注意：区分水平距离、斜线长度与竖直高度 知识讲授 按已知边选择函数 水平距离与高差 使用。 视线长度与高差 使用。 视线长度与水平距离 使用。 随堂探究 探究　同样的角，不同的已知边 仰角30°，视线长20 m，目标高于眼睛多少米？ 答：10 m。 解 给定的是斜边，应使用正弦。 m。 方法：先把实际条件画进直角三角形 注意：区分水平距离、斜线长度与竖直高度 知识讲授 起重机中哪些量随角变化 竖直分量 吊杆长为，其端点比转轴高。 水平分量 端点与机身的水平距离为。 两种最大值 角增大时前者增大，后者减小。 课堂练习 练习1 起重机机身高，吊杆，吊杆与水平线夹角可从30°升到80°。求（精确到0.1 m）： （1） 吊杆端点离地面的最大高度。 （2） 吊杆端点离机身的最大水平距离。 解第（1）题：约56.5 m。 在80°时最高，。 方法：总高加上机身高 注意：最大高度取最大仰角 课堂练习 练习1 起重机机身高，吊杆，吊杆与水平线夹角可从30°升到80°。求（精确到0.1 m）： （1） 吊杆端点离地面的最大高度。 （2） 吊杆端点离机身的最大水平距离。 解第（2）题：约31.2 m。 在30°时最远，。 方法：水平分量随角增大而减小 注意：两个最大值不在同一姿态取得 随堂探究 探究　起重机变式 机身高10 m，吊杆长20 m，仰角30°时端点离地多高、水平伸出多远？ 答：高20 m；水平伸出 m。 解 竖直分量。 水平分量。 方法：先把实际条件画进直角三角形 注意：区分水平距离、斜线长度与竖直高度 知识讲授 直升机与大桥的位置 看清顺序 图中地面点依次为，两个桥端在垂足同一侧。 判断大小 近端俯角45°，远端俯角30°。 求桥长 先求，再用。 课堂练习 练习2 直升机在大桥上方点处，离地高度，三点共线且顺序为。两端俯角，求长（精确到1 m）。 答：约329 m。 解 ，。 m。 方法：俯角转为仰角，分别求地面距离 注意：同侧两段相减，不能相加 随堂探究 探究　大桥变式：若端点分处两侧 若直升机垂足在桥的两端之间，高度仍为450 m，两端俯角仍为30°与45°，桥长应怎样求？ 答：相加， m。 解 桥的两段在垂足两侧。 总长等于两段水平距离之和。 方法：先把实际条件画进直角三角形 注意：区分水平距离、斜线长度与竖直高度 知识讲授 同侧与异侧的区别 同侧 同一垂足起量的远距离减近距离。 异侧 垂足位于两端之间，左右距离相加。 作图 先标点的顺序，再进行三角函数计算。 随堂探究 探究　反求水平距离 观测点离地2 m，塔高22 m，塔顶仰角45°，观测点距塔底的水平距离是多少？ 答：20 m。 解 高度差 m。 m。 方法：先把实际条件画进直角三角形 注意：区分水平距离、斜线长度与竖直高度 知识讲授 实践：简易测角仪 制作 利用量角器、直边与悬垂线制作简易测角仪。 原理 借助水平与铅垂方向的垂直关系，把刻度读数换成仰角。 校验 先水平瞄准，检查零位或互余角关系。 随堂探究 探究　读数需要转换吗 若读到视线与铅垂线的锐角为52°，仰角是多少？ 答：38°。 解 仰角与该锐角互余。 。 方法：先把实际条件画进直角三角形 注意：区分水平距离、斜线长度与竖直高度 课堂练习 辨析　仰俯角的常见错误 （1）仰角是视线与竖直线的夹角。 × 理由：基准应为水平线。 （2）用仪器测高，正切算出的高差就等于总高。 × 理由：通常还要加仪器高。 （3）同高度下，俯角越大，地面目标越近。 √ 理由：水平距离等于高度除以正切。 方法：先把基准线画出来 注意：总高与高度差应分别标明 随堂探究 探究　计算器的角度模式 计算前应检查什么？结果为什么约为0.6745？ 答：应使用角度制DEG。 解 34表示34度，不是34弧度。 可用0到45°时正切在0到1之间做检查。 方法：先把实际条件画进直角三角形 注意：区分水平距离、斜线长度与竖直高度 知识讲授 测量结果如何检查 量级 高差和水平距离的比应符合所给角。 精度 中间计算多保留位数，最后按题目精度取值。 对象 明确所答为总高、伸出距离还是两目标之间的距离。 课堂总结 仰角与俯角 识别条件 水平线是角的基准 选择关系 用正切求高差或水平距离 规范运算 先保留精确值；近似计算按题目要求取值。 检验解释 核对大小、单位与实际意义，回答完整。 特别提醒：总高别漏仪器高，桥长先看点的顺序。 针对训练 训练1　识别仰角 视线在水平线上方，与水平线夹角25°，仰角是多少？ 答：25°。 解 按仰角定义直接识别。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练2　互余转换 视线与铅垂线夹角70°，仰角是多少？ 答：20°。 解 。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练3　俯角转换 从高处向目标俯视的角为42°，目标的仰角是多少？ 答：42°。 解 两水平线平行，内错角相等。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练4　求高差 水平距离12 m，仰角45°，求高差。 答：12 m。 解 。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练5　仪器总高 仪器高1.6 m，距塔底的水平距离20 m，塔顶仰角45°，求塔高。 答：21.6 m。 解 。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练6　30°测高 仪器高1.5 m，水平距离 m，仰角30°，求总高。 答：10.5 m。 解 高差。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练7　视线给定 视线长18 m，仰角30°，高差多少？ 答：9 m。 解 用正弦：。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练8　水平投影 视线长10 m，仰角60°，水平距离多少？ 答：5 m。 解 。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练9　反求距离 高差 m，仰角60°，水平距离多少？ 答：8 m。 解 。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练10　高处俯视 观测点离水平地面高30 m，地面目标的俯角45°，目标距垂足多少米？ 答：30 m。 解 。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练11　同侧两目标 观测点离水平地面高60 m，两地面目标与垂足共线且在同侧，俯角30°和45°，两目标距离多少？ 答： m。 解 远距离减近距离。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练12　异侧两目标 观测点离水平地面高60 m，两地面目标与垂足共线且分居两侧，俯角均45°，两目标间距多少？ 答：120 m。 解 两边水平距离都为60，相加。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练13　最大高差 长10 m的杆与水平线的夹角从30°抬到60°，端点相对转轴的最大竖直高度是多少？ 答： m。 解 最大角处。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练14　辨析极值 吊杆最大高度和最大水平伸出是否总在同一角度达到？ 答：不是。 解 角增大时正弦增大，余弦减小。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练15　应用：消防观察 水平地面上，观察者眼高1.7 m，距建筑底部24 m，仰角35°，估计楼顶高度（0.1 m）。 答：约18.5 m。 解 。 方法：用正切求高差后加眼高 注意：按0.1 m在最后取近似 针对训练 训练16　应用：观景平台 高40 m的平台同时俯视两个地面标志点。两点与垂足共线且在同侧，俯角分别45°与60°，两点间距多少米（精确到0.1 m）？ 答：约16.9 m。 解 距离为。 约 m。 方法：先画同侧位置再相减 注意：60°目标更近 方法总结 把本课方法整理成可操作的步骤 水平基准法 （1）先作水平线，再标仰角或俯角 （2）将实际量对应到直角三角形 分量计算法 （1）斜边已知时选正弦或余弦 （2）两地距离先判断相加还是相减 $