19.6 反比例函数的图象、性质和应用（第1课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第19章 二次函数和反比例函数 19.6 反比例函数的图象、性质和应用 （第1课时）反比例函数的图象 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 今天要学会什么 观察与表达 以为例学习列表、描点、分支连线。 学习成果 会判断点所在象限，解释图象与两坐标轴没有交点，认识双曲线。 随堂探究 思考　作图前先思考 已知反比例函数，试问： （1） 图象是否经过原点？分布在哪几个象限？为什么？ （2） 图象和轴、轴有交点吗？为什么？ （3） 当时和时，随增大，如何变化？为什么？ 解第（1）题 不过原点，分布第一、第三象限。 ；因，两坐标同号。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 随堂探究 思考　作图前先思考 已知反比例函数，试问： （1） 图象是否经过原点？分布在哪几个象限？为什么？ （2） 图象和轴、轴有交点吗？为什么？ （3） 当时和时，随增大，如何变化？为什么？ 解第（2）题 都没有。 且，不可能位于坐标轴。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 随堂探究 思考　作图前先思考 已知反比例函数，试问： （1） 图象是否经过原点？分布在哪几个象限？为什么？ （2） 图象和轴、轴有交点吗？为什么？ （3） 当时和时，随增大，如何变化？为什么？ 解第（3）题 在各自范围内都减小。 可先对照数据，再从图象观察每一支向右下方延伸。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 随堂探究 作图 对取，求对应值并作图。 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 答：。 解 逐个用6除以。 在各自象限内按横坐标顺序平滑连线。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 双曲线 可以看到，反比例函数的图象是分布在第一、第三象限的两支曲线，这样的两支曲线叫做双曲线。 两支曲线作为一个函数的完整图象。 它们不断接近坐标轴，但不与坐标轴相交。 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 课堂练习 练习　课堂练习：四幅函数图象 作出下列函数的图象： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 分布在第一、第三象限。 取，对应。 在正、负横坐标对应的两组点之间分别平滑连线。 方法：列表、描点、分支连线 注意：两个分支不能连在一起。 课堂练习 练习　课堂练习：四幅函数图象 作出下列函数的图象： （1） （2） （3） （4） 解第（2）题 分布在第二、第四象限。 取，对应。 在正、负横坐标对应的两组点之间分别平滑连线。 方法：列表、描点、分支连线 注意：两个分支不能连在一起。 课堂练习 练习　课堂练习：四幅函数图象 作出下列函数的图象： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 分布在第一、第三象限。 取，对应。 在正、负横坐标对应的两组点之间分别平滑连线。 方法：列表、描点、分支连线 注意：两个分支不能连在一起。 课堂练习 练习　课堂练习：四幅函数图象 作出下列函数的图象： （1） （2） （3） （4） 解第（4）题 分布在第二、第四象限。 取，对应。 在正、负横坐标对应的两组点之间分别平滑连线。 方法：列表、描点、分支连线 注意：两个分支不能连在一起。 随堂探究 探究　核对课堂作图 检查的关键点、象限及与坐标轴的关系。 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 答：过和，两支均不交坐标轴。 解 把点坐标相乘检查等于反比例系数。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 随堂探究 探究　核对课堂作图 检查的关键点、象限及与坐标轴的关系。 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 答：过和，两支均不交坐标轴。 解 把点坐标相乘检查等于反比例系数。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 随堂探究 探究　核对课堂作图 检查的关键点、象限及与坐标轴的关系。 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 答：过和，两支均不交坐标轴。 解 把点坐标相乘检查等于反比例系数。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 随堂探究 探究　核对课堂作图 检查的关键点、象限及与坐标轴的关系。 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 答：过和，两支均不交坐标轴。 解 把点坐标相乘检查等于反比例系数。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 不经过原点的理由 原点要求 原点横坐标为0，但反比例函数不允许。 与y轴关系 所有轴点都有，所以图象不与轴相交。 随堂探究 探究　为什么不碰横轴 说明的图象为什么不与轴相交。 答：横轴上，但非零常数除以非零数不可能为0。 解 也可用，若则乘积矛盾。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 连线必须分两支 负数一支 把所有的描点按顺序平滑连接。 正数一支 把所有的描点另行连接，两支之间不能跨原点。 随堂探究 探究　靠近不等于相交 对，取，函数值是多少？ 答：1、0.1、0.01，都不等于0。 解 数值越来越接近0，但任何有限非零都不给出0。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 取点兼顾远近 靠近轴的部分 可取绝对值较大的，观察的绝对值较小。 弯曲明显的部分 也取绝对值较小的，避免只画成近似直线。 随堂探究 探究　正负点的成对关系 若在上，是否也在？ 答：在。 解 二者乘积都为6。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 坐标定位先看符号 k为正 两坐标同号，点在第一或第三象限。 k为负 两坐标异号，点在第二或第四象限。 课堂总结 本课知识 列表 正负两组对应值 描点 符号决定象限 连线 分两支平滑连接 边界 不交两坐标轴 特别提醒：不把两个分支跨过原点相连。 针对训练 训练1　列表准备 完成各题并说明依据。 （1） ，写时的函数值。 （2） ，写时的函数值。 （3） ，写时的函数值。 （4） ，写时的函数值。 解第（1）题 。 每次都用固定分子除以横坐标。 方法：列表 注意：负数除法注意符号。 针对训练 训练1　列表准备 完成各题并说明依据。 （1） ，写时的函数值。 （2） ，写时的函数值。 （3） ，写时的函数值。 （4） ，写时的函数值。 解第（2）题 。 每次都用固定分子除以横坐标。 方法：列表 注意：负数除法注意符号。 针对训练 训练1　列表准备 完成各题并说明依据。 （1） ，写时的函数值。 （2） ，写时的函数值。 （3） ，写时的函数值。 （4） ，写时的函数值。 解第（3）题 。 每次都用固定分子除以横坐标。 方法：列表 注意：负数除法注意符号。 针对训练 训练1　列表准备 完成各题并说明依据。 （1） ，写时的函数值。 （2） ，写时的函数值。 （3） ，写时的函数值。 （4） ，写时的函数值。 解第（4）题 。 每次都用固定分子除以横坐标。 方法：列表 注意：负数除法注意符号。 针对训练 训练2　判定象限 完成各题并说明依据。 （1） 的图象在哪些象限？ （2） 的图象在哪些象限？ （3） 的图象在哪些象限？ （4） 的图象在哪些象限？ 解第（1）题 第一、第三象限。 由的正负判断两坐标同号或异号。 解第（2）题 第二、第四象限。 由的正负判断两坐标同号或异号。 方法：先判断坐标符号 注意：坐标轴上的点不属于象限。 方法：先判断坐标符号 注意：坐标轴上的点不属于象限。 针对训练 训练2　判定象限 完成各题并说明依据。 （1） 的图象在哪些象限？ （2） 的图象在哪些象限？ （3） 的图象在哪些象限？ （4） 的图象在哪些象限？ 解第（3）题 第一、第三象限。 由的正负判断两坐标同号或异号。 解第（4）题 第二、第四象限。 由的正负判断两坐标同号或异号。 方法：先判断坐标符号 注意：坐标轴上的点不属于象限。 方法：先判断坐标符号 注意：坐标轴上的点不属于象限。 针对训练 训练3　检验点 完成各题并说明依据。 （1） 点是否在上？ （2） 点是否在上？ （3） 点是否在上？ （4） 点是否在上？ 解第（1）题 在。 横纵坐标乘积等于反比例系数。 解第（2）题 在。 横纵坐标乘积等于反比例系数。 方法：用乘积验证 注意：检查应使用精确值。 方法：用乘积验证 注意：检查应使用精确值。 针对训练 训练3　检验点 完成各题并说明依据。 （1） 点是否在上？ （2） 点是否在上？ （3） 点是否在上？ （4） 点是否在上？ 解第（3）题 在。 横纵坐标乘积等于反比例系数。 解第（4）题 在。 横纵坐标乘积等于反比例系数。 方法：用乘积验证 注意：检查应使用精确值。 方法：用乘积验证 注意：检查应使用精确值。 针对训练 训练4　坐标轴关系 完成各题并说明依据。 （1） 与两坐标轴有交点吗？ （2） 与两坐标轴有交点吗？ （3） 与两坐标轴有交点吗？ （4） 与两坐标轴有交点吗？ 解第（1）题 均没有。 不能为0，也不能为0。 解第（2）题 均没有。 不能为0，也不能为0。 方法：按坐标轴上点的特征判断 注意：靠近坐标轴不是相交。 方法：按坐标轴上点的特征判断 注意：靠近坐标轴不是相交。 针对训练 训练4　坐标轴关系 完成各题并说明依据。 （1） 与两坐标轴有交点吗？ （2） 与两坐标轴有交点吗？ （3） 与两坐标轴有交点吗？ （4） 与两坐标轴有交点吗？ 解第（3）题 均没有。 不能为0，也不能为0。 解第（4）题 均没有。 不能为0，也不能为0。 方法：按坐标轴上点的特征判断 注意：靠近坐标轴不是相交。 方法：按坐标轴上点的特征判断 注意：靠近坐标轴不是相交。 针对训练 训练5　作图操作辨析 （1）反比例函数图象应穿过原点。 × 理由：原点横坐标为0，函数无意义。 （2）正负两支之间要用曲线相连。 × 理由：应在各自象限内分别连线。 （3）可以用检查描点。 √ 理由：它与函数式等价。 方法：先查点，再查连线 注意：分清函数的两支图象。 针对训练 训练6　读图确定系数 某反比例函数图象经过，求表达式并判断所在象限。 答：，第二、第四象限。 解 。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练7　从点找到另一支 若在某反比例曲线上，写出另一支上一个点。 答：例如。 解 两点的横、纵坐标同时变号，乘积保持8。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练8　不同系数同一个横坐标 在处，和的点谁更高？ 答：后者更高，纵坐标分别2和4。 解 固定直接代入。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练9　图象与点矛盾 的图象分布在（ ）。 A. 第一、第二象限 B. 第一、第三象限 C. 第二、第四象限 D. 第三、第四象限 答：选C。 解 横纵坐标乘积为负，符号相反。 方法：根据坐标符号判断象限 注意：逐项核对条件，不凭外形猜测。 针对训练 训练10　变换联系 把图象关于轴翻折，得到哪个函数？ 答：。 解 横坐标不变，纵坐标变号。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练11　选择方便的横坐标 作时，选1、2、3、4、6、12有什么好处？ 答：对应纵坐标都是整数，便于精确描点。 解 还应补上相应负横坐标的一支。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练12　定位缺失点 在上有一点纵坐标为3，求横坐标。 答：。 解 。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练13　实际应用：矩形设计 面积24m²的矩形，长m随宽m变化。画出实际图象，标出宽3m时的点。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答：，只取的一支；点。 解 实际长宽为正，数学完整图象还包括第三象限。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练14　实际应用：匀速运行 路程60km，时间。实际图象在哪一象限？标出与60时的点。 答：第一象限；与。 解 速度和时间都为正。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 方法总结 把本课方法带走 作反比例函数图象 （1）选便于计算的正负横坐标 （2）按两支分别平滑连线 检验图象正确性 （1）代点检查xy等于k （2）检查象限与两轴不相交 $