19.4 二次函数的应用（第1课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第19章 二次函数和反比例函数 19.4 二次函数的应用 （第1课时）图象法解方程与实际问题 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 今天要学会什么 观察与表达 把二次方程、最优方案和抛物线形状问题转成二次函数问题。 学习成果 会用图象求近似解，建立利润模型，选择简洁坐标系求实际高度。 知识讲授 图象与方程的联系 二次函数的图象和轴交点的横坐标就是一元二次方程的解。 横轴上，因此代回表达式得到方程。 交点可能有两个、一个或没有。 例题讲解 例 1 利用函数图象求一元二次方程的近似解（精确到0.1）。 -2 -1 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 答：，。 解 作图象，观察与横轴两交点。 交点横坐标约为-0.828、4.828，按要求取近似值。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 随堂探究 探究　图象精度与计算核验 用求根公式检验例1图象读数。 答：，约为-0.828与4.828。 解 乘2后方程为。 精确解用于检查，最终仍按0.1取值。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 例题讲解 例 2 某超市每袋20元购进干果，每天销售量（袋）与销售单价（元）满足（）。每天利润为（元），销售单价定为多少元时每天利润最大？最大利润是多少？ 答：每袋30元时利润最大，为200元。 解 。 配方得，且30在允许范围内。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 随堂探究 探究　例2的边界检查 在干果问题中，定价20元和40元时利润分别多少？为什么？ 答：两种定价利润均为0。 解 20元没有单袋利润；40元销售量为0。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 例题讲解 例 3 如图，隧道顶是一条抛物线的一部分。跨度m，最高处到地面m，两侧墙高m。宽2.4m的卡车在中间行驶，载物后最高点到顶面对应点的距离约0.6m，求卡车载物后限高。 答：限高3.04m。 解 以地面中点为原点，曲线。 车顶侧角横坐标为1.2，曲线高3.64；再减0.6。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 随堂探究 探究　为何使用半个车宽 隧道题为什么代入，而不是？ 答：原点在通道中心，侧角距中心为半个车宽。 解 2.4m是左右两侧之间的总宽，不是单侧横坐标。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 课堂练习 练习1 用图象法求出下列方程的近似解（精确到0.1）。 -4 -3 -2 -1 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 （1） （2） 解第（1）题：。 观察与横轴交点。 精确根为，用于核验。 方法：作对应函数看横轴交点 注意：只读横坐标，不读顶点。 课堂练习 练习1 用图象法求出下列方程的近似解（精确到0.1）。 -1 1 2 3 4 5 6 -3 -2 -1 1 2 3 （1） （2） 解第（2）题：。 精确根，与图象交点读数一致。 方法：作图与局部放大 注意：两根都为正数。 课堂练习 练习2 有一块如图所示的铁片下脚料，其中曲线是一条抛物线的一部分。要裁出一个最大的正方形，把正方形一边放在线段上，对边端点放在抛物线上。已知底宽6cm、高10cm，求正方形边长（精确到0.01cm）。 答：约4.46cm。 解 设底边中点为原点，曲线。 正方形边长满足，即，取正根。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 实际问题的共同路线 建模 设变量，建立函数，说明实际范围。 求解与解释 定位顶点或代入坐标，把结果译回价格、时间、长度等实际量。 知识讲授 图象法与近似 读图误差 受刻度与作图精度影响，应按题目要求取近似值。 辅助检验 代入附近数值或求精确根，可检查交点读数是否合理。 随堂探究 探究　例1的轴帮助检查 例1两个近似根之和为什么约等于4？ 答：两交点关于对称。 解 精确两根的平均数为2。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 建立坐标系的选择 对称轴作纵轴 可把一次项系数化为0，减少待定系数。 地面作横轴 纵坐标直接表示离地高度，便于解释限高。 随堂探究 探究　检查铁片题的答案 将代入，两边是否近似相等？ 答：右侧约4.47，与4.46接近。 解 精确正根约4.46418，按0.01取4.46。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 模型的适用范围 函数范围 代数式可对所有实数求值。 实际范围 价格不能随意取负；长度不能为负；时间要符合场景。 随堂探究 探究　最高处并非侧角处 隧道中心高度4m，为什么卡车限高不能直接取？ 答：车宽使侧角偏离中心，侧角处隧道顶更低。 解 必须在车顶侧角横坐标处计算。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 方案与结果成对回答 方案 每件卖多少元、什么时候、边长取多少。 结果 最大利润、最高高度、最大面积各是多少。 随堂探究 探究　销量与利润的区别 干果例题在售价30元时销量是多少？销售收入和利润分别是多少？ 答：销量20袋，收入600元，利润200元。 解 收入，成本，相减得到利润。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 随堂探究 探究　由落地点判断方程的根 某轨迹，。高度为0的两个时刻分别表示什么？ 答：0s是出发时刻，4s是再次落地时刻。 解 方程解为0和4；结合时间先后解释。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 反求未知量的两条路径 给定位置求值 已知横坐标，代入函数求纵坐标。 给定高度求位置 已知纵坐标，列方程求横坐标，再按实际条件筛选。 课堂总结 本课知识 方程 横轴交点给根 利润 单位利润乘销量 形状 建系求曲线 检验 范围、单位、合理性 特别提醒：顶点必须落在实际范围内；近似结果按要求取位数。 针对训练 训练1　方程与图象 完成下列各题。 （1） 用图象观察方程的解。 （2） 用图象观察方程的解。 （3） 用图象观察方程的解。 （4） 用图象观察方程的解。 解第（1）题 或。 函数与横轴相交时平方等于常数。 解第（2）题 或。 函数与横轴相交时平方等于常数。 方法：由图象读根 注意：两个横坐标关于对称轴对称。 方法：由图象读根 注意：两个横坐标关于对称轴对称。 针对训练 训练1　方程与图象 完成下列各题。 （1） 用图象观察方程的解。 （2） 用图象观察方程的解。 （3） 用图象观察方程的解。 （4） 用图象观察方程的解。 解第（3）题 或。 函数与横轴相交时平方等于常数。 解第（4）题 或。 函数与横轴相交时平方等于常数。 方法：由图象读根 注意：两个横坐标关于对称轴对称。 方法：由图象读根 注意：两个横坐标关于对称轴对称。 针对训练 训练2　最优方案 完成下列各题。 （1） 利润，，求最大利润。 （2） 利润，，求最大利润。 （3） 利润，，求最大利润。 （4） 利润，，求最大利润。 解第（1）题 时最大利润。 顶点横坐标在可行范围内。 解第（2）题 时最大利润。 顶点横坐标在可行范围内。 方法：顶点与可行范围共同判断 注意：不要只给最大值漏掉方案。 方法：顶点与可行范围共同判断 注意：不要只给最大值漏掉方案。 针对训练 训练2　最优方案 完成下列各题。 （1） 利润，，求最大利润。 （2） 利润，，求最大利润。 （3） 利润，，求最大利润。 （4） 利润，，求最大利润。 解第（3）题 时最大利润。 顶点横坐标在可行范围内。 解第（4）题 时最大利润。 顶点横坐标在可行范围内。 方法：顶点与可行范围共同判断 注意：不要只给最大值漏掉方案。 方法：顶点与可行范围共同判断 注意：不要只给最大值漏掉方案。 针对训练 训练3　高度计算 完成下列各题。 （1） 拱顶，求距中心水平1m处的高度。 （2） 拱顶，求距中心水平2m处的高度。 （3） 拱顶，求距中心水平3m处的高度。 （4） 拱顶，求距中心水平4m处的高度。 解第（1）题 m。 代入。 方法：坐标对应实际距离 注意：对称位置得到同样高度。 针对训练 训练3　高度计算 完成下列各题。 （1） 拱顶，求距中心水平1m处的高度。 （2） 拱顶，求距中心水平2m处的高度。 （3） 拱顶，求距中心水平3m处的高度。 （4） 拱顶，求距中心水平4m处的高度。 解第（2）题 m。 代入。 方法：坐标对应实际距离 注意：对称位置得到同样高度。 针对训练 训练3　高度计算 完成下列各题。 （1） 拱顶，求距中心水平1m处的高度。 （2） 拱顶，求距中心水平2m处的高度。 （3） 拱顶，求距中心水平3m处的高度。 （4） 拱顶，求距中心水平4m处的高度。 解第（3）题 m。 代入。 方法：坐标对应实际距离 注意：对称位置得到同样高度。 针对训练 训练3　高度计算 完成下列各题。 （1） 拱顶，求距中心水平1m处的高度。 （2） 拱顶，求距中心水平2m处的高度。 （3） 拱顶，求距中心水平3m处的高度。 （4） 拱顶，求距中心水平4m处的高度。 解第（4）题 m。 代入。 方法：坐标对应实际距离 注意：对称位置得到同样高度。 针对训练 训练4　应用中的三个检查 （1）总利润等于售价乘销售量。 × 理由：还需减去成本；可用单件利润乘销量。 （2）二次函数顶点一定给出实际问题最优解。 × 理由：须确认顶点横坐标在可行范围内。 （3）曲线高度减去安全距离才是限高。 √ 理由：车辆需保留要求的间距。 方法：量、范围、结论同时检查 注意：单位要统一。 针对训练 训练5　限制价格后的最大利润 ，若，最大利润是多少？ 答：在时为192。 解 范围位于顶点左侧，利润随增大而增大。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练6　图象看没有实根 方程对应的图象与轴（ ）。 A. 有两个交点 B. 有一个交点 C. 重合 D. 没有交点 答：选D。 解 ，图象完全在横轴上方。 方法：把方程实根对应横轴交点 注意：逐项核对条件，不凭外形猜测。 针对训练 训练7　图象看一个实根 方程图象上如何体现？ 答：抛物线在处接触横轴，唯一实根3。 解 顶点恰在横轴上。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练8　围栏面积 20m围栏围成长方形，两邻边与，求最大面积。 答：25m²，在m时取得。 解 ，。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练9　单位换算 商品每件利润3元，日销量件，利润能直接写成吗？ 答：能，若题中每件利润确实固定为3元。 解 总利润=单位利润×销量；仍须限定销量非负。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练10　安全间距反推 隧道，车辆宽2m且居中，留0.5m间距，求限高。 答：3.25m。 解 侧角，曲线高3.75m，再减0.5m。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练11　正根选择 长度满足，求。 答：。 解 根为3与-5，长度舍去负根。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练12　阅读联系：抛射高度 高度，求最高点时刻（保留两位小数）及最高高度。 答：约3.06s，最高约45.92m。 解 顶点时刻；代回高度式。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练13　实际应用：义卖定价 每件成本6元，售价元时销量件，。求利润最大时售价和利润。 答：售价13元，最大利润147元。 解 。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练14　实际应用：场地分配 长12m、宽8m场地四周铺等宽步道，内侧种花。设步道宽m，写种花面积；若求面积。 答：，；面积45m²。 解 步道占用每个方向两侧，长宽各减。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 方法总结 把本课方法带走 把实际量转成函数 （1）找数量关系并列函数 （2）写清变量及可行范围 用图象解释答案 （1）交点对应方程解 （2）顶点对应可行的最优方案 $