19.5 反比例函数（第1课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第19章 二次函数和反比例函数 19.5 反比例函数 （第1课时）反比例函数的概念与表达式 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 今天要学会什么 观察与表达 从面积、路程和压强等情境认识反比例函数与反比例系数。 学习成果 会列，说明与，识别关系中的不变量。 知识讲授 两个变化量，一个固定乘积 矩形情境 面积固定，长与宽不能任意独立变化，长×宽始终不变。 表达方式 若宽为、面积为2，则长。 课堂练习 实践　列出三类函数 列出下列函数的表达式，并观察共同特点。 （1） 一个矩形面积是2m²，其长(m)是宽(m)的函数。 （2） 已缴纳5000吨千米运费，运输货物质量（吨）是路程（千米）的函数。不足1吨或1千米按1计算。 （3） 铁路全长80km，运行全程时间(h)是平均速度(km/h)的函数，平均速度不高于200km/h。 解第（1）题 ，。 固定面积等于长乘宽。 方法：从乘积定值列式 注意：长、宽均为正。 课堂练习 实践 列出下列函数的表达式，并观察共同特点。 （1） 一个矩形面积是2m²，其长(m)是宽(m)的函数。 （2） 已缴纳5000吨千米运费，运输货物质量（吨）是路程（千米）的函数。不足1吨或1千米按1计算。 （3） 铁路全长80km，运行全程时间(h)是平均速度(km/h)的函数，平均速度不高于200km/h。 解第（2）题 ；按题意计费量，为正整数且。 计费质量与计费路程的乘积为5000。 方法：使用题设的计费单位 注意：实际零头按题意进位，勿解释为任意实数计费量。 课堂练习 实践　列出三类函数 列出下列函数的表达式，并观察共同特点。 （1） 一个矩形面积是2m²，其长(m)是宽(m)的函数。 （2） 已缴纳5000吨千米运费，运输货物质量（吨）是路程（千米）的函数。不足1吨或1千米按1计算。 （3） 铁路全长80km，运行全程时间(h)是平均速度(km/h)的函数，平均速度不高于200km/h。 解第（3）题 ，。 时间等于路程除以速度。 方法：固定路程建立关系 注意：速度为正且受上限限制。 知识讲授 反比例函数 一般地，我们把形如（是常数，）的函数叫做反比例函数。其中，叫做反比例系数。 自变量不能为0。 也可以写成，其中为非零常数。 例题讲解 例　压强与受力面积 压强大小由单位面积所受到的压力决定。当物体受到100N的压力时，压强是受力面积的函数。试判断它是哪一类函数，并求受力面积5m²时物体所受压强。 答：（），是反比例函数；压强20Pa。 解 压力固定，压强等于压力除以受力面积。 代入得。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 随堂探究 探究　压强例题的变式 相同压力下，受力面积由5m²减为2m²，压强怎样变化？ 答：由20Pa增为50Pa，变为原来的2.5倍。 解 分别用100除以两个面积。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 课堂练习 练习1 判断下列函数是不是反比例函数： （1） （2） （3） 解第（1）题 是，。 可直接对照定义。 解第（2）题 不是，是二次函数。 自变量在分子，且为平方。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 课堂练习 练习1 判断下列函数是不是反比例函数： （1） （2） （3） 解第（3）题 是，。 把常数部分整理成。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 课堂练习 练习2 列出下列函数的表达式，判断是不是反比例函数；如果是，求自变量的取值范围。 （1） 三角形面积为定值时，底边长是这边上的高的函数。 （2） 把体积800cm³的钢锭浇铸成圆柱钢材，底面积(cm²)是高(cm)的函数。 解第（1）题 ，是反比例函数，。 由解出。 方法：先整理固定乘积 注意：有效三角形有。 课堂练习 练习2 列出下列函数的表达式，判断是不是反比例函数；如果是，求自变量的取值范围。 （1） 三角形面积为定值时，底边长是这边上的高的函数。 （2） 把体积800cm³的钢锭浇铸成圆柱钢材，底面积(cm²)是高(cm)的函数。 解第（2）题 ，是反比例函数，。 圆柱体积等于底面积乘高。 方法：由体积不变列式 注意：这里自变量是高而不是半径。 知识讲授 为什么x不能等于0 代数原因 在分母，分母为0时式子无意义。 数量原因 乘积固定为非零常数时，任一因子都不可能为0。 随堂探究 探究　函数值能否为0 中，是否存在使？ 答：不存在。 解 若，则，与5矛盾。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 正比例与反比例 正比例 比值固定，表达式。 反比例 乘积固定，表达式。 随堂探究 探究　常数也可能是根式 的反比例系数是多少？ 答：。 解 把与无关的因子合并为常数。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 先确定谁是自变量 面积问题 把底边长写成高的函数，自变量是高。 速度问题 把时间写成速度的函数，自变量是速度。 随堂探究 探究　数据表的辨识 某表中对应，写出符合数据的反比例函数。 答：。 解 三组乘积均为12。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 随堂探究 探究　不变的是哪个量 函数中，和时乘积是否相同？ 答：都为-6。 解 对应与。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 取值范围要看实际 代数函数 通常，可正可负。 实际模型 长度、面积、时间等常取正数，还可能有上限或整数条件。 随堂探究 探究　系数的单位 在中，80表示什么？ 答：固定路程80km。 解 速度与时间的乘积是路程。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 课堂总结 本课知识 形式 系数 非零常数k 不变量 范围 分母非零与实际条件 特别提醒：乘积固定才是反比例；、不能遗漏。 针对训练 训练1　识别标准形式 完成下面各题。 （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 是反比例函数，。 分母是自变量，分子为非零常数。 解第（2）题 是，。 整理为常数除以。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 针对训练 训练1　识别标准形式 完成下面各题。 （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 不是，是二次函数。 自变量在分子且为平方。 解第（4）题 不是反比例函数。 不能写成非零常数除以的形式。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 针对训练 训练2　由点确定系数 完成下面各题。 （1） 反比例函数经过，求表达式。 （2） 反比例函数经过，求表达式。 （3） 反比例函数经过，求表达式。 （4） 反比例函数经过，求表达式。 解第（1）题 。 。 解第（2）题 。 。 方法：先求乘积 注意：坐标符号要保留。 方法：先求乘积 注意：坐标符号要保留。 针对训练 训练2　由点确定系数 完成下面各题。 （1） 反比例函数经过，求表达式。 （2） 反比例函数经过，求表达式。 （3） 反比例函数经过，求表达式。 （4） 反比例函数经过，求表达式。 解第（3）题 。 。 解第（4）题 。 。 方法：先求乘积 注意：坐标符号要保留。 方法：先求乘积 注意：坐标符号要保留。 针对训练 训练3　代入求值 完成下面各题。 （1） ，当时求。 （2） ，当时求。 （3） ，当时求。 （4） ，当时求。 解第（1）题 。 用2除以1。 解第（2）题 。 用3除以2。 方法：代入计算 注意：不能取0。 方法：代入计算 注意：不能取0。 针对训练 训练3　代入求值 完成下面各题。 （1） ，当时求。 （2） ，当时求。 （3） ，当时求。 （4） ，当时求。 解第（3）题 。 用4除以3。 解第（4）题 。 用5除以4。 方法：代入计算 注意：不能取0。 方法：代入计算 注意：不能取0。 针对训练 训练4　面积模型 完成下面各题。 （1） 矩形面积为20m²，一边长m，写另一边m。 （2） 矩形面积为30m²，一边长m，写另一边m。 （3） 矩形面积为40m²，一边长m，写另一边m。 （4） 矩形面积为50m²，一边长m，写另一边m。 解第（1）题 ，。 固定面积除以已知边长。 解第（2）题 ，。 固定面积除以已知边长。 方法：从乘积定值列式 注意：边长是正数。 方法：从乘积定值列式 注意：边长是正数。 针对训练 训练4　面积模型 完成下面各题。 （1） 矩形面积为20m²，一边长m，写另一边m。 （2） 矩形面积为30m²，一边长m，写另一边m。 （3） 矩形面积为40m²，一边长m，写另一边m。 （4） 矩形面积为50m²，一边长m，写另一边m。 解第（3）题 ，。 固定面积除以已知边长。 解第（4）题 ，。 固定面积除以已知边长。 方法：从乘积定值列式 注意：边长是正数。 方法：从乘积定值列式 注意：边长是正数。 针对训练 训练5　定义的条件 （1）是反比例函数。 × 理由：反比例系数必须非零。 （2）可表示反比例关系。 √ 理由：等价于，且。 （3）是反比例函数。 × 理由：不能化为非零常数除以的形式。 方法：检查形式和非零条件 注意：不能只见到分母有x就判定。 针对训练 训练6　参数条件 函数是反比例函数的条件是（ ）。 A. B. C. D. 答：选B。 解 反比例系数为，必须非零。 方法：检查反比例系数 注意：逐项核对条件，不凭外形猜测。 针对训练 训练7　辨别底面积与半径 圆柱体积固定时，高与底面积成反比例。高与底面半径是否也成反比例？ 答：不成反比例；。 解 底面积与半径的平方成正比。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练8　指数与系数 若为反比例函数，求。 答：。 解 自变量指数为-1，且。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练9　两组数据检验 为与，能否属于同一反比例函数？ 答：能，乘积均为12，函数。 解 检验两个乘积是否相等且非零。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练10　辨别相加与相乘 若，是否是的反比例函数？ 答：不是，是一次函数。 解 反比例保持乘积不变，不是和不变。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练11　等价形式 将写成关于的函数，并写。 答：，。 解 先两边除以3，再除以。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练12　比例倍数 反比例关系中，变为原来的3倍（非零），变为几倍？ 答：变为原来的。 解 乘积不变，因此一个量放大，另一个按倒数倍变化。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练13　实际应用：运输 固定运送120吨货物，每车装吨，共需车；不考虑半车问题且可整除。列关系并求每车8吨时车数。 答：；15车。 解 总量=每车量×车数，车数须为正整数。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练14　实际应用：任务分工 同样效率的工人完成任务共需48人时，安排人，时间小时。列关系；若限6小时完成，至少几人？ 答：；至少8人。 解 ，人数为正整数。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 方法总结 把本课方法带走 识别反比例关系 （1）检查乘积是否固定且非零 （2）整理成k除以自变量 列式求实际量 （1）由面积、路程或体积关系列式 （2）明确单位和自变量范围 $