19.1 二次函数（第1课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第19章 二次函数和反比例函数 19.1 二次函数 （第1课时）二次函数的概念与表达式 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 今天要学会什么 观察与表达 从实际情境列二次函数表达式，认识二次项系数、一次项系数与常数项。 学习成果 会先整理表达式，再按最高次数判断函数类型；在实际问题中说明自变量范围。 知识讲授 从一次到二次 已有知识 正比例函数形如，一次函数形如。 观察任务 当边长改变时，正方形面积由两个变化的长度相乘得到，表达式出现。 课堂练习 实践 列出下列函数的表达式： （1） 圆的面积是它的半径的函数。 （2） 如图19－1，利用成直角的墙角，用20m长的栅栏围成一个矩形的小花园，花园的面积(m²)是它一边长(m)的函数。 解第（1）题：。 圆面积等于乘半径的平方。 方法：利用面积公式 注意：半径。 课堂练习 实践 列出下列函数的表达式： （1） 圆的面积是它的半径的函数。 （2） 如图19－1，利用成直角的墙角，用20m长的栅栏围成一个矩形的小花园，花园的面积(m²)是它一边长(m)的函数。 解第（2）题：。 两段栅栏长度为与。 方法：找两个相乘的边 注意：实际范围。 课堂练习 实践 列出下列函数的表达式： （3） 如图19－2，正方形中圆的半径是4cm，红色部分的面积(cm²)是正方形的边长(cm)的函数。 （4） 某种药品现价每盒为26元，计划两年内每年降价的百分率都为，那么两年后这种药品每盒的价格(元)是年降价的百分率的函数。 解第（3）题：。 总面积减圆面积。 方法：作差列式 注意：圆能放入正方形需。 课堂练习 实践 列出下列函数的表达式： （3） 如图19－2，正方形中圆的半径是4cm，红色部分的面积(cm²)是正方形的边长(cm)的函数。 （4） 某种药品现价每盒为26元，计划两年内每年降价的百分率都为，那么两年后这种药品每盒的价格(元)是年降价的百分率的函数。 解第（4）题：。 第一年，第二年再乘。 方法：连续变化用乘法 注意：降价率不能写成两年直接相减。 知识讲授 二次函数 一般地，我们把形如（）的函数叫做二次函数，其中，分别是二次项、一次项的系数，是常数项。 必须先把表达式整理成一般形式。 保证最高次数是2；和可以为0。 例题讲解 例　正方形的两种增量 如图，一个边长为cm的正方形，把它的边长延长cm后得到一个新的正方形。周长增大的部分(cm)和面积增大的部分(cm²)分别是(cm)的函数。求这两个函数的表达式，并判定类型；如果是二次函数，写出的值。 答：，正比例函数；，二次函数，。 解 周长作差：。 面积作差：。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 随堂探究 探究　把例题中的“增量”说清楚 若，新正方形面积与面积增量分别是多少？ 答：cm²与cm²。 解 新边长为10cm。 增量是，不能把100当作增量。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 课堂练习 练习1（1—3）　识别二次函数 下面各函数中，哪些是二次函数（口答）？写出每个二次函数中的值。 （1） （2） （3） 解第（1）题 是，。 整理后观察的最高次数，并连同符号读取系数。 解第（2）题 不是，是一次函数。 整理后观察的最高次数，并连同符号读取系数。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 课堂练习 练习1（1—3）　识别二次函数 下面各函数中，哪些是二次函数（口答）？写出每个二次函数中的值。 （1） （2） （3） 解第（3）题 是，。 整理后观察的最高次数，并连同符号读取系数。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 课堂练习 练习1（4—6）　识别二次函数 下面各函数中，哪些是二次函数（口答）？写出每个二次函数中的值。 （4） （5） （6） 解第（4）题 是，。 整理后观察的最高次数，并连同符号读取系数。 解第（5）题 是，。 整理后观察的最高次数，并连同符号读取系数。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 课堂练习 练习1（4—6）　识别二次函数 下面各函数中，哪些是二次函数（口答）？写出每个二次函数中的值。 （4） （5） （6） 解第（6）题 不是，展开后最高次数为3。 整理后观察的最高次数，并连同符号读取系数。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 课堂练习 练习2 写出下列函数的表达式，指出它是什么函数，并确定自变量的取值范围。 （1） 矩形周长为cm，面积(cm²)是它一边长(cm)的函数。 （2） 最下面是长方形，上面是10个小正方形。长方形长4cm，宽为小正方形边长的一半，总面积(cm²)是小正方形边长(cm)的函数。 解第（1）题：，二次函数；。 另一边为，面积为。 方法：周长先除以2 注意：两边长度都要大于0。 课堂练习 练习2 写出下列函数的表达式，指出它是什么函数，并确定自变量的取值范围。 （1） 矩形周长为cm，面积(cm²)是它一边长(cm)的函数。 （2） 最下面是长方形，上面是10个小正方形。长方形长4cm，宽为小正方形边长的一半，总面积(cm²)是小正方形边长(cm)的函数。 解第（2）题：，二次函数；。 十个正方形面积为，长方形面积为。 图中底层4个正方形需满足。 方法：分块求和 注意：图示摆放条件也限制。 知识讲授 条件也来自图形 长度条件 ；底层四个小正方形总宽为。 摆放条件 它们须放在长4cm的底座上，因此，连同正性得到。 知识讲授 四种模型同一种结构 展开 把、展开，才能统一比较。 共性 自变量的最高次数为2，二次项系数不为0。 随堂探究 探究　换字母不换本质 函数中自变量是。它是二次函数吗？ 答：是。 解 二次函数的判定不依赖字母必须是。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 为什么规定a不等于0 退化情况 若，表达式变成，不再含二次项。 分类意识 若再有，则函数值恒为。 随堂探究 探究　系数包括符号 在中，二次项系数与常数项是什么？ 答：。 解 重排为。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 两种范围 代数范围 只看二次多项式，所有实数都可代入。 实际范围 长度、时间、降价率需由问题背景进一步限制。 随堂探究 探究　整数限制 用个边长1cm的正方形拼图，面积。是否因图形有面积就一定是二次函数？ 答：不是，是正比例关系。 解 是否二次取决于表达式，不取决于单位。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 列式的核对方法 代入特殊值 在允许范围内代一个简单值，对照直接计算面积。 检查量纲 长度相乘得面积，不能把周长与面积相加。 随堂探究 探究　系数会变化吗 在中，固定且非零，是不是自变量？ 答：本题中是常数参数，是自变量。 解 先分清哪个量在本题中固定。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 随堂探究 探究　从文字区分差与积 两个数相差5，较大的数为，写这两个数的和与积。 答：和；积。 解 较小的数为，分别相加和相乘。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 遗漏项怎样处理 缺一次项 中，不是不存在。 缺常数项 中，仍符合一般式。 随堂探究 探究　给模型作一次检查 在围栏情境中，取直接计算面积，验证展开式。 答：两边8m与12m，面积96m²；。 解 直接计算与代入展开式应一致。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 课堂总结 本课知识 形式 条件 整理 展开、合并后识别 建模 关系式与取值范围 特别提醒：系数要连同符号读取；不能把增量当作总量。 针对训练 训练1　整理后判断 下列函数中，二次函数是（ ）。 A. B. C. D. 答：选B。 解 B的最高次数为2，二次项系数3非零。 方法：按整理后的最高次数判断 注意：逐项核对条件，不凭外形猜测。 针对训练 训练2　整理后判断 判断的类型；若为二次函数，写出系数。 答：二次函数，。 解 按、、常数顺序读系数。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练3　定义的必要条件 （1）二次函数中的不能为0。 √ 理由：否则最高次数不再是2。 （2）时一定不是二次函数。 × 理由：例如。 （3）是二次函数。 × 理由：化简为。 方法：先展开合并，再判定次数 注意：不能只看式子中出现过平方。 针对训练 训练4　让函数保持二次 函数是二次函数，求的范围。 答：。 解 二次项系数是。 它必须不等于0。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练5　整理后读出系数 把整理成一般形式，写出。 答：；。 解 先用平方差公式展开，再按的降幂排列。 一次项与常数项的负号都要保留。 方法：先展开，再读系数 注意：系数包括它前面的符号。 针对训练 训练6　缺项形式与函数值 在中，。写出表达式，并求时的。 答：；。 解 一次项系数为0，表达式中可省略一次项。 代入得。 方法：代入系数，再代入自变量 注意：负数平方要保留括号。 针对训练 训练7　边框面积建模 边长为6cm的正方形照片四周加宽cm的边框。写出边框面积(cm²)与的关系。 答：，。 解 外正方形边长为，边框面积为。 展开后得到二次函数，二次项系数为4。 方法：用外面积减去内面积 注意：左右两侧均有边框，边长增加2x。 针对训练 训练8　指数与系数同时检查 若是二次函数，求。 答：无符合条件的。 解 由指数得。 此时系数，不满足二次函数定义。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练9　展开识别 判断是否为二次函数。 答：不是，化简为。 解 先利用平方差公式展开。 二次项完全抵消。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练10　面积模型 一个直角三角形两直角边为cm和cm，列面积与的关系。 答：，。 解 两直角边相乘再除以2。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练11　总量与增量 边长固定的正方形每边增加，面积增加，写与的关系。 答：，。 解 新面积减原面积。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练12　反向构造 写一个二次项系数为、没有一次项、常数项为7的函数。 答：。 解 缺少一次项意味着。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练13　实践应用：花圃 用18m围栏借助直角墙角围矩形，一边m，列面积并说明范围。 答：，。 解 另一边为；面积为两边乘积。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练14　实践应用：连续降价 一件商品原价50元，连续两次以相同降价率降价，列最终价格；求时。 答：；元。 解 每次都乘，不能直接减去。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 方法总结 把本课方法带走 识别二次函数 （1）先整理成多项式 （2）最高次数为2且系数不为0 建立函数模型 （1）找等量关系并列式 （2）结合实际限定自变量范围 $