5.1任意角和弧度制（讲义）高一数学人教A版必修第一册

第五章 三角函数 5.1 任意角和弧度制 课标要点 1.结合旋转情境认识任意角，掌握正角、负角、零角概念，突破初中有限角范围，能正确识别任意角。 2.理解象限角、轴线角，掌握终边相同角的集合表示，能判断角的终边位置，建立“方向、大小、终边”判定逻辑。 3.理解弧度制定义，掌握角度与弧度互化，熟记特殊角弧度数，能规范完成换算。 4.掌握弧度制下弧长、扇形面积公式，能结合几何情境列式计算，区分角度制与弧度制公式用法。 5.会利用概念解决角度判定、互化、扇形计算问题，能检验结果的合理性。 学习重难点 重点： 1.任意角概念辨析，终边相同角的规范表示。 2.象限角、轴线角的判断。 3.角度与弧度互化、特殊角记忆。 4.弧度制弧长与扇形面积公式的基础应用。 难点： 1.理终边相同角的集合书写，区分相等角与终边相同角。 2.辨析锐角、象限角、小于某度角等易混淆概念。 3.结灵活运用弧度公式解决扇形综合、含参数问题。 4.建立弧度实数度量思维，摆脱角度制思维定式。 知识点 任意角的概念的推广 （1）定义：平面内________绕着它的________按箭头所示方向________到终止位置，形成角．其中点是角的顶点，射线是角的________，射线是角的________． （2）按照角的旋转方向，角分为三类：正角、负角、零角． （3）按照角的终边在平面直角坐标系的位置对角分类：角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，这个角就不属于任何象限． （4）终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合． 随学随练 1.（26-27高一上·全国·课后作业）将钟表的分针拨快20分钟，则时针转过了（　　） A． B． C． D． 知识点 终边相同的角关系式（重点） 所有与角α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S＝____________________，即集合S的每一个元素的终边都与终边相同，时对应元素为_______． 特别提醒:对终边相同的角的理解 （1） 为任意角，“”这一条件不能漏. （2） 与中间用“+”连接，可理解成. （3）当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.终边不同，则表示的角一定不同. 随学随练 1.（25-26高一下·辽宁抚顺·期中）下列各角中，与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 知识点 象限角、轴线角的概念 （1）象限角：若角的顶点在_______，角的始边与_______重合，则_________，就称这个角是第几象限角. （2）轴线角：若角的终边在______上，则这个角不属于任何象限. 【答案】 原点 x轴非负半轴 角的终边在第几象限 坐标轴 （3）若角的终边落在轴的正半轴上，则的取值集合为______； （4）若角的终边落在轴的负半轴上，则的取值集合为______； （5）若角的终边落在轴的正半轴上，则的取值集合为______； （6）若角的终边落在轴的负半轴上，则的取值集合为______； 随学随练 1.（26-27高一上·全国·课堂例题）下列说法中，正确的个数是（　　） ①终边相同的角一定相等；②锐角一定是第一象限角；③第一象限角可能是负角；④小于90°的角都是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 知识点 弧度制 定义 把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作 角α的弧度数公式 (弧长用表示) 角度与弧度的换算 ①；② 弧长公式 弧长____ 扇形面积公式 ____ 随学随练 1.（26-27高二·山东·学业考试模拟）把化成弧度，其结果是（   ） A． B． C． D． 题型 角的分类 解题贴士 1.熟记关于角的两个常用结论 (1)象限角 (2)轴线角 ▌例1．（26-27高二·山东·学业考试模拟）若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ▌对点练1-1．（26-27高三·全国·一轮复习）角－863°的终边所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ▌对点练1-2．（25-26高一下·辽宁辽阳·期末）角的终边所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ▌对点练1-3．（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）下列四个命题中正确的是（    ） A．是第二象限角 B．是第三象限角 C．是第四象限角 D．是第一象限角 ▌对点练1-4．（25-26高一上·上海·期末）下列说法正确的是（   ） A．第二象限角都比第一象限角大 B．将表的分针拨快10分钟，分针转过的角为 C．角和角是终边相同的角 D．若是第二象限角，则是第一象限或第三象限的角 题型 角度制和弧度制的转换 ▌例1．（25-26高一上·安徽宿州·期末）（多选）下列说法正确的是（ ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．与的终边相同 ▌对点练1-1．（25-26高一下·陕西汉中·期中）已知某时钟现在的时间为10:10，若校准时发现该时钟比标准时间快了5分钟，则至少需手动旋转分针（   ） A．15度 B．5度 C．弧度 D．弧度 ▌对点练1-2．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）（多选）以下说法正确的有（   ） A．化成弧度为 B．与的终边相同的角的集合是 C．将表的分针拨慢20分钟，则分针转过的角的弧度是 D．已知扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为 题型扇形的弧长和面积 ▌例1．（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.如图1，这是一幅扇形玉雕壁画，其平面图为图2所示的扇形环面（由扇形OCD挖去扇形OAB后构成）.已知该扇形玉雕壁画的周长为320厘米.    (1)若厘米.求该扇形玉雕壁画的曲边的长度； (2)若.求该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值. ▌对点练1-1．（26-27高三上·天津武清·阶段检测）已知扇形面积为，圆心角为弧度，则扇形的周长是_______． ▌对点练1-2．（25-26高一下·北京昌平·期末）当代水墨画常以扇环形构图.如图，若，，，则此扇环形水墨画的面积为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．（25-26高一下·河南驻马店·期中）下列说法正确的是（   ） A．1弧度的角与1°的角一样大 B．锐角一定是第一象限角 C．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 D．终边落在直线上的角的集合是 ▌对点练1-4．（25-26高一上·江西·期末）（多选）已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（   ） A．若该扇形的半径为1，则其面积为2 B．该扇形面积的最大值为1 C．当该扇形面积最大时，其圆心角弧度数的绝对值为2 D．的最小值为 ▌对点练1-5．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）图中质点在半径为的圆周上逆时针运动，其初始位置为. (1)指出终边落在直线上的角的集合； (2)当第次运动到位置时，求质点所经过的弧长和该弧长所在的扇形的面积. 基础通关 1.（25-26高一下·江西上饶·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．第一象限角都比第二象限角小 B．小于的角是锐角 C．终边相同的角一定相等 D．终边在轴非负半轴上的角的集合是 2.（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）下列与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·江西赣州·期中）若是第四象限角，则是（   ） A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角 4.（25-26高一下·全国·阶段检测）（多选）下列说法中，错误的是（   ） A．的角是第一象限角 B．第二象限角大于第一象限角 C．钝角都是第二象限角 D．小于的角都是锐角 5.（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）（多选）下列命题中正确的有（    ） A．是第一象限角 B．若与的终边关于轴对称，则 C．若，且角与角的终边相同，则的值是或 D．终边在直线上的角的集合可以表示为 6.（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）（多选）以下说法正确的有（   ） A．化成角度为 B．化成的形式是 C．如果是第一象限的角，则是第四象限的角 D．若是第二象限角，则是第二或第四象限角 7.（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）（多选）下列结论正确的是（    ） A．第四象限角不一定是负角 B．是第三象限角 C．若角为锐角，则角为钝角 D．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 8.（26-27高二·山东·学业考试模拟）一个钟表的分针长5cm，经过40min后，分针外端点转过的弧长是________cm． 9.（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）如图，已知扇形AOB的面积是，圆心角． (1)求扇形AOB的周长； (2)求图中阴影部分的面积． 10．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为. (1)若，，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长是6 cm，面积是，求该扇形的圆心角的弧度数. 素养提升 11.（26-27高三·全国·一轮复习）“角与终边相同”是“角是第三象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12.（25-26高一下·陕西渭南·期中）已知集合，，则之间的关系为（    ） A． B． C． D． 13.（25-26高一上·四川成都·期末）扇面是中国书画作品的一种重要表现形式如图，图为其结构简化图设扇面，间的圆弧长为，，间的弦长为，圆弧所对的圆心角为，则，和所满足的关系为（    ）    A． B． C． D． 14.（25-26高三·全国·一轮复习）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成的）．已知，，线段，与，的长度之和为30，圆心角为弧度．则铭牌的截面面积最大值为（   ） A． B． C．75 D． 15.（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）（多选）已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（    ） A．若该扇形的半径为1，则其面积为2 B．该扇形面积的最大值为1 C．当该扇形面积最大时，其圆心角为2 D．的最大值为 15.（25-26高一下·四川南充·阶段检测）如图，以轴的非负半轴为始边的角，的终边分别交圆（为坐标原点）于，两点，其中点在第一象限，已知扇形的弧长与面积的数值都是． (1)求圆心角的弧度数； (2)若点的横坐标为，求点的坐标． 迁移创新 16.（25-26高一下·贵州毕节·期中）公元3世纪，刘徽提出“割圆术”，用圆内接正多边形的周长逼近圆周长来求圆周率的近似值.设圆的半径为，圆内接正边形的周长为，下列说法错误的是（   ） A．圆内接正边形的边长为 B．用近似圆周长时， C．当时，的近似值为3 D．边数越大，的值越小于 17.（25-25高一下·贵州遵义·阶段检测）如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则    (1)求关于x的函数关系式； (2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值. 18.（25-26高一上·河北张家口·期末）如图，在一个半径为60的扇形中，，点为扇形中一点，且到和的距离分别为20和10，过点的直线与和分别交于点，．    (1)求的长． (2)求图中阴影部分的面积． (3)当为多长时，的面积最小？最小面积是多少？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 三角函数 5.1 任意角和弧度制 课标要点 1.结合旋转情境认识任意角，掌握正角、负角、零角概念，突破初中有限角范围，能正确识别任意角。 2.理解象限角、轴线角，掌握终边相同角的集合表示，能判断角的终边位置，建立“方向、大小、终边”判定逻辑。 3.理解弧度制定义，掌握角度与弧度互化，熟记特殊角弧度数，能规范完成换算。 4.掌握弧度制下弧长、扇形面积公式，能结合几何情境列式计算，区分角度制与弧度制公式用法。 5.会利用概念解决角度判定、互化、扇形计算问题，能检验结果的合理性。 学习重难点 重点： 1.任意角概念辨析，终边相同角的规范表示。 2.象限角、轴线角的判断。 3.角度与弧度互化、特殊角记忆。 4.弧度制弧长与扇形面积公式的基础应用。 难点： 1.理终边相同角的集合书写，区分相等角与终边相同角。 2.辨析锐角、象限角、小于某度角等易混淆概念。 3.结灵活运用弧度公式解决扇形综合、含参数问题。 4.建立弧度实数度量思维，摆脱角度制思维定式。 知识点 任意角的概念的推广 （1）定义：平面内________绕着它的________按箭头所示方向________到终止位置，形成角．其中点是角的顶点，射线是角的________，射线是角的________． （2）按照角的旋转方向，角分为三类：正角、负角、零角． （3）按照角的终边在平面直角坐标系的位置对角分类：角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，这个角就不属于任何象限． （4）终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合． 【答案】 一条射线 端点 旋转 始边 终边 随学随练 1.（26-27高一上·全国·课后作业）将钟表的分针拨快20分钟，则时针转过了（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正负角的定义和钟表指针转动规律求解. 【详解】因为钟表的时针1小时（60分钟）顺时针转过的角度是， 所以每分钟时针转过的角度为， 故拨快20分钟时，时针转过的总角度为. 知识点 终边相同的角关系式（重点） 所有与角α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S＝____________________，即集合S的每一个元素的终边都与终边相同，时对应元素为_______． 特别提醒:对终边相同的角的理解 （1） 为任意角，“”这一条件不能漏. （2） 与中间用“+”连接，可理解成. （3）当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.终边不同，则表示的角一定不同. 【答案】 随学随练 1.（25-26高一下·辽宁抚顺·期中）下列各角中，与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，求出合适的的值，即可得答案. 【详解】设与的终边相同， 则， 当时，. 知识点 象限角、轴线角的概念 （1）象限角：若角的顶点在_______，角的始边与_______重合，则_________，就称这个角是第几象限角. （2）轴线角：若角的终边在______上，则这个角不属于任何象限. 【答案】 原点 x轴非负半轴 角的终边在第几象限 坐标轴 （3）若角的终边落在轴的正半轴上，则的取值集合为______； （4）若角的终边落在轴的负半轴上，则的取值集合为______； （5）若角的终边落在轴的正半轴上，则的取值集合为______； （6）若角的终边落在轴的负半轴上，则的取值集合为______； 【答案】 随学随练 1.（26-27高一上·全国·课堂例题）下列说法中，正确的个数是（　　） ①终边相同的角一定相等；②锐角一定是第一象限角；③第一象限角可能是负角；④小于90°的角都是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】终边相同的角可以相差360°的整数倍，不一定相等，①错误； 锐角是大于0°且小于90°的角，一定是第一象限角，②正确； 第一象限角可以是正角，也可以是负角，③正确； 小于90°的角可以是锐角，也可以是负角，④错误． 综上，正确的个数是2. 知识点 弧度制 定义 把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作 角α的弧度数公式 (弧长用表示) 角度与弧度的换算 ①；② 弧长公式 弧长____ 扇形面积公式 ____ 【答案】 半径长 随学随练 1.（26-27高二·山东·学业考试模拟）把化成弧度，其结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角度制与弧度制的互化求解即可. 【详解】. 题型 角的分类 解题贴士 1.熟记关于角的两个常用结论 (1)象限角 (2)轴线角 ▌例1．（26-27高二·山东·学业考试模拟）若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】因为，所以与终边相同，都位于第三象限； 由题意得， 因此， 即，因此与终边相同，都在第二象限． ▌对点练1-1．（26-27高三·全国·一轮复习）角－863°的终边所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】，则和的终边相同，故角的终边在第三象限. ▌对点练1-2．（25-26高一下·辽宁辽阳·期末）角的终边所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】，所以所在的象限为第二象限． ▌对点练1-3．（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）下列四个命题中正确的是（    ） A．是第二象限角 B．是第三象限角 C．是第四象限角 D．是第一象限角 【答案】BCD 【分析】根据象限角的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】是第三象限角，故A错误； ＝π＋所以是第三象限角，故B正确； ，所以是第四象限角，故C正确； ，所以是第一象限角，故D正确. ▌对点练1-4．（25-26高一上·上海·期末）下列说法正确的是（   ） A．第二象限角都比第一象限角大 B．将表的分针拨快10分钟，分针转过的角为 C．角和角是终边相同的角 D．若是第二象限角，则是第一象限或第三象限的角 【答案】D 【分析】由任意角的周期性的概念结合正负角即可求解. 【详解】对于A，由任意角的概念，第二象限角不一定比第一象限角大， 例如是第二象限角，是第一象限角，但，故A错误； 对于B，数学中规定逆时针为正角， 故表的分针拨快10分钟，分针转过的角为，故B错误； 对于C，角和角相差，不是的整数倍，终边不同，故C错误； 对于D，若是第二象限角，则有，， 则，， 当时，，的终边在第一象限， 当时，，的终边在第三象限， 当时，，即，的终边在第一象限， 当k为偶数时，是第一象限角； 当k为奇数时，是第三象限角， 所以是第一象限或第三象限的角，故D正确. 题型 角度制和弧度制的转换 ▌例1．（25-26高一上·安徽宿州·期末）（多选）下列说法正确的是（ ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．与的终边相同 【答案】ABD 【分析】根据弧度与角度的互化即可判断ABC，根据终边相同的角的概念即可判断D． 【详解】对于A，对应的弧度为，所以对应的弧度为，故A正确； 对于B，对应的角度为，所以对应的角度为，故B正确； 对于C，对应的弧度为，故C错误； 对于D，，，所以这两个角的终边相同，故D正确； 故选：ABD． ▌对点练1-1．（25-26高一下·陕西汉中·期中）已知某时钟现在的时间为10:10，若校准时发现该时钟比标准时间快了5分钟，则至少需手动旋转分针（   ） A．15度 B．5度 C．弧度 D．弧度 【答案】C 【分析】由题意可得校准时要回拨5分钟，确定分针转的方向和大小后即可得答案. 【详解】因为时钟比标准时间快了5分钟， 所以校准时要回拨5分钟，也就是分针要逆时针转， 而弧度. ▌对点练1-2．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）（多选）以下说法正确的有（   ） A．化成弧度为 B．与的终边相同的角的集合是 C．将表的分针拨慢20分钟，则分针转过的角的弧度是 D．已知扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为 【答案】ABD 【分析】根据角的性质和弧度制逐一判断各个选项即可得到结论． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，所以与的终边相同的角的集合是，故B正确； 对于C，将表的分针拨慢20分钟，则分针逆时针旋转，故分针转过的角的弧度是，故C不正确； 对于D，设扇形的弧长，半径为，由于扇形的周长为，圆心角为， 则，解得，则该扇形的面积为，故D正确. 故选：ABD. 题型扇形的弧长和面积 ▌例1．（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.如图1，这是一幅扇形玉雕壁画，其平面图为图2所示的扇形环面（由扇形OCD挖去扇形OAB后构成）.已知该扇形玉雕壁画的周长为320厘米.    (1)若厘米.求该扇形玉雕壁画的曲边的长度； (2)若.求该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值. 【答案】(1)160厘米； (2)6400平方厘米. 【分析】（1）由题可得弧与弧的长度关系，结合条件可解； （2）利用扇形的面积公式，大扇形面积减去小扇形面积，利用基本不等式求最值. 【详解】（1）设弧的长度为厘米，弧的长度为厘米. 因为，所以，所以. 因为厘米，所以厘米. 因为该扇形玉雕壁画的周长为320厘米，所以， 所以，解得，即弧的长度为160厘米. （2）因为，所以，所以， 则扇形的面积，扇形的面积， 故该扇形玉雕壁画的扇面面积. 因为该扇形玉雕壁画的周长为320厘米，所以 所以， 则，从而，当且仅当时，等号成立， 故，即该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值为6400平方厘米. ▌对点练1-1．（26-27高三上·天津武清·阶段检测）已知扇形面积为，圆心角为弧度，则扇形的周长是_______． 【答案】 【分析】根据扇形的面积公式及弧长公式即可求解． 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则， 又圆心角为，且扇形面积为， 又，即，解得， 所以扇形的周长为． ▌对点练1-2．（25-26高一下·北京昌平·期末）当代水墨画常以扇环形构图.如图，若，，，则此扇环形水墨画的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：，，， 所以此扇环形水墨画的面积为. ▌对点练1-3．（25-26高一下·河南驻马店·期中）下列说法正确的是（   ） A．1弧度的角与1°的角一样大 B．锐角一定是第一象限角 C．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 D．终边落在直线上的角的集合是 【答案】BC 【分析】依据 1 弧度约为 判断 A 错,由锐角与第一象限角的范围差异判定 B 正确,代入扇形面积公式求出半径后用弧长公式算得弧长验证 C 正确,分析直线 终边对应的角集,对比 D 选项集合的含义,得出 D 错误. 【详解】根据弧度制的定义可知1弧度的角约等于，故A选项错误； 锐角，第一象限角（），B选项正确； 扇形面积公式：（为圆心角弧度数，r为半径）， 代入，，则，解得， 扇形弧长公式：，代入，，则，选项C正确； 直线即，过第二、四象限， 在内，终边在上的角为：，， 因此终边落在上的角的集合为：， 也可写成：， 而可以拆成：终边在直线上， 和：终边在直线上， 即该集合表示终边在或上的所有角， 与真正只落在上的集合S不相等，选项D错误； ▌对点练1-4．（25-26高一上·江西·期末）（多选）已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（   ） A．若该扇形的半径为1，则其面积为2 B．该扇形面积的最大值为1 C．当该扇形面积最大时，其圆心角弧度数的绝对值为2 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】由题意可知，，，直接利用公式可判断选项A，将扇形的面积表示为再利用二次函数的性质可判断选项BC，应用基本不等式计算判断选项D. 【详解】由题意知：，，， 对于选项A：当时，，可得，故选项A不正确； 对于选项B、C：，当时取等，该扇形面积的最大值为1，此时，，故选项B、C正确； 对于选项D： 当且仅当时，取最小值为，故选项D正确． 故选：BCD ▌对点练1-5．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）图中质点在半径为的圆周上逆时针运动，其初始位置为. (1)指出终边落在直线上的角的集合； (2)当第次运动到位置时，求质点所经过的弧长和该弧长所在的扇形的面积. 【答案】(1) (2)弧长，面积 【分析】（1）根据终边角的定义写出角的集合； （2）由弧长公式计算弧长，再结合面积公式计算即可. 【详解】（1）由题意可知，， 所以终边落在直线上的角的集合为 . （2）由题意得， 所以由弧长公式可知质点所经过的长度. 扫过的扇形的面积. 基础通关 1.（25-26高一下·江西上饶·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．第一象限角都比第二象限角小 B．小于的角是锐角 C．终边相同的角一定相等 D．终边在轴非负半轴上的角的集合是 【答案】D 【详解】选项A.是第一象限角，是第二象限角，但是，错误. 选项B.，但它不是锐角，错误. 选项C.终边相同的角相差的整数倍，不一定相等，错误. 选项D.终边在轴非负半轴上的角，就是加上的整数倍，集合表示为，正确. 2.（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）下列与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以与终边相同. 3．（25-26高一下·江西赣州·期中）若是第四象限角，则是（   ） A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角 【答案】B 【详解】解：因为是第四象限角，且与的终边关于x轴对称， 所以是第一象限角，将的终边按逆时针方向旋转，角的终边落在第三象限． 4.（25-26高一下·全国·阶段检测）（多选）下列说法中，错误的是（   ） A．的角是第一象限角 B．第二象限角大于第一象限角 C．钝角都是第二象限角 D．小于的角都是锐角 【答案】ABD 【分析】根据象限角的定义、锐角的定义逐一判断即可. 【详解】A．的角是指范围内的角，不属于任何象限，所以A不正确． B．是第二象限角，是第一象限角，显然，所以B不正确． C．钝角的范围是，显然是第二象限角，所以C正确． D．锐角的范围是，小于的角也可以是零角或负角，所以D不正确． 故选：ABD 5.（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）（多选）下列命题中正确的有（    ） A．是第一象限角 B．若与的终边关于轴对称，则 C．若，且角与角的终边相同，则的值是或 D．终边在直线上的角的集合可以表示为 【答案】BC 【详解】，故是第四象限角，A错误； 若与的终边关于轴对称，则，B正确； 若角与角的终边相同，则，即， 又，故的值是或，C正确； 终边在直线上的角的集合为，故D错误. 6.（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）（多选）以下说法正确的有（   ） A．化成角度为 B．化成的形式是 C．如果是第一象限的角，则是第四象限的角 D．若是第二象限角，则是第二或第四象限角 【答案】ABC 【分析】角度与弧度的转换，以及象限角的概念和性质，对每个选项进行分析判断. 【详解】对于A选项，，A正确； 对于B选项，，B正确； 对于C选项，如果是第一象限的角，则， 那么，这表明是第四象限的角，C正确； 对于D选项，若是第二象限角， 则，则， 当为奇数时，为第三象限角；当为偶数时，为第一象限角，所以是第一或第三象限角，D错误. 故选：ABC. 7.（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）（多选）下列结论正确的是（    ） A．第四象限角不一定是负角 B．是第三象限角 C．若角为锐角，则角为钝角 D．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 【答案】AD 【分析】根据象限角的定义即可判断A项；找到与终边相同的角即可判断B项；利用举反例可判断C项错误；利用扇形弧长与面积公式可判断D项. 【详解】对于A，因为第四象限角为，当时，均为正角，故A正确； 对于B，，即与终边相同，为第二象限角，故B错误； 对于C，若取为锐角，但也是锐角，故C错误； 对于D，设扇形半径为，依题意，，解得， 则扇形面积为，故D正确. 故选：AD. 8.（26-27高二·山东·学业考试模拟）一个钟表的分针长5cm，经过40min后，分针外端点转过的弧长是________cm． 【答案】 【分析】由40min确定分针转过的角度，再使用弧长公式即可求解. 【详解】设经过40min后，分针转过的角为，弧长为，则， 所以． 9.（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）如图，已知扇形AOB的面积是，圆心角． (1)求扇形AOB的周长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用扇形的面积、弧长公式求扇形周长； （2）扇形面积减去三角形面积为所求面积． 【详解】（1）设扇形AOB的半径为r，弧长为l， 则，解得， 所以扇形的周长为． （2）过O作，垂足为D， 由（1）知，，， 则，，． 所以的面积为， 所以图中阴影部分的面积为． 10．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为. (1)若，，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长是6 cm，面积是，求该扇形的圆心角的弧度数. 【答案】(1)cm (2)或 【详解】（1）由题设，则cm； （2）由题设，可得， 所以cm或cm， 当cm，则，当cm，则，均满足题设， 所以或. 素养提升 11.（26-27高三·全国·一轮复习）“角与终边相同”是“角是第三象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】若角与终边相同，则，. 当为偶数（设）时，，此时是第一象限角； 当为奇数（设）时，，此时是第三象限角. 充分性不成立. 若角是第三象限角，则， ， 此时角的终边落在第一、第二象限或与终边相同，不一定与终边相同； 必要性不成立. 综上，“角与终边相同”是“角是第三象限角”的既不充分也不必要条件. 12.（25-26高一下·陕西渭南·期中）已知集合，，则之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以集合中的元素是的奇数倍， ， 所以集合中的元素是的整数倍， 所以. 13.（25-26高一上·四川成都·期末）扇面是中国书画作品的一种重要表现形式如图，图为其结构简化图设扇面，间的圆弧长为，，间的弦长为，圆弧所对的圆心角为，则，和所满足的关系为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，连接，取的中点为，连接， 由题意可得，，， 设，在 中，，  又，   所以由可得， 即 .      14.（25-26高三·全国·一轮复习）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成的）．已知，，线段，与，的长度之和为30，圆心角为弧度．则铭牌的截面面积最大值为（   ） A． B． C．75 D． 【答案】A 【详解】根据题意，可算得弧，弧． 所以，所以． 依据题意，可知截面面积， 化简得：． 所以当，． 即当米时铭牌的面积最大，且最大面积为平方米． 15.（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）（多选）已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（    ） A．若该扇形的半径为1，则其面积为2 B．该扇形面积的最大值为1 C．当该扇形面积最大时，其圆心角为2 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】由题意可知，，，直接利用公式可判断选项A，将扇形的面积表示为再利用二次函数的性质可判断选项BC，根据基本不等式可判断D. 【详解】由题意可知，，， 对于A：当时，，可得，故A错误； 对于B，C：，当时，，此时，，故B，C正确； 对于D：，当且仅当，结合，即 时等号成立，所以的最小值为，故D错误. 故选：BC 15.（25-26高一下·四川南充·阶段检测）如图，以轴的非负半轴为始边的角，的终边分别交圆（为坐标原点）于，两点，其中点在第一象限，已知扇形的弧长与面积的数值都是． (1)求圆心角的弧度数； (2)若点的横坐标为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由扇形的面积和弧长公式，可以计算圆的半径，再由弧长与半径的比值得出圆心角； （2）通过点的横坐标，可以计算角的正弦与余弦，再通过角，的关系计算角的正余弦，由计算坐标. 【详解】（1）记圆的半径为，扇形的弧长为，圆心角为，面积为， 则由，且，，解得． 又因为，则．故圆心角的弧度数为． （2）因为点的横坐标为， 所以，则， 所以， 则． 所以，． 故点的坐标为． 迁移创新 16.（25-26高一下·贵州毕节·期中）公元3世纪，刘徽提出“割圆术”，用圆内接正多边形的周长逼近圆周长来求圆周率的近似值.设圆的半径为，圆内接正边形的周长为，下列说法错误的是（   ） A．圆内接正边形的边长为 B．用近似圆周长时， C．当时，的近似值为3 D．边数越大，的值越小于 【答案】D 【分析】根据“割圆术”思想，结合等腰三角形性质及近似圆周长分析判断即可. 【详解】对于A：圆内接正边形的中心角为，用正边形的一边与圆心构成等腰三角形， 则边长为，A正确. 对于B：正边形的周长，圆周长为， 用近似圆周长时，，即，B正确. 对于C：当时，圆内接正六边形的边长等于半径，周长， 近似圆周长，得，C正确. 对于D：边数越大，正边形的周长越接近圆周长，会越来越接近，而不是“越小于”，D错误. 17.（25-25高一下·贵州遵义·阶段检测）如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则    (1)求关于x的函数关系式； (2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用扇形弧长公式计算即可； （2）先计算扇环面积，再化简变形利用基本不等式计算最值即可. 【详解】（1）由题意可知：， 则，即， 又，所以即， 所以； （2）易知大扇形与小扇形的面积分别为：， 所以扇环的面积为， 结合（1）得， 则砖雕面积与雕刻费用之比为， 整理得 ，当且仅当时等号成立， 所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为5. 18.（25-26高一上·河北张家口·期末）如图，在一个半径为60的扇形中，，点为扇形中一点，且到和的距离分别为20和10，过点的直线与和分别交于点，．    (1)求的长． (2)求图中阴影部分的面积． (3)当为多长时，的面积最小？最小面积是多少？ 【答案】(1) (2) (3)，的面积最小为 【分析】（1）利用扇形的弧长公式求解即可； （2）过分别作和的垂线，垂足分别为，则图中阴影部分的面积等于，计算即可； （3）设，，根据可得，由结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）扇形的半径为60，， 则的长为； （2）过分别作和的垂线，垂足分别为，    所以，，，， 扇形的面积， ，， 矩形的面积 所以图中阴影部分的面积为， （3）设，， ，所以，即，则， 所以， ，当且仅当，即时取等， 所以， 所以当时，的面积最小，最小为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $