5.1 任意角和弧度制 讲义--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“任意角和弧度制”核心知识点，系统构建从角的概念（正角、负角、零角）到终边相同角的表示（角度制与弧度制），再到象限角、轴线角的判断及弧长、扇形面积公式应用的递进式学习支架，形成完整知识脉络。 资料以题型为导向，每个题型配套“解题知识”与典例、变式，如通过集合关系辨析第二象限角、钝角与大于90°角的关系培养抽象能力（数学眼光），结合折扇、斐波那契螺旋线等实例应用公式发展应用意识（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后通过过关验收帮助学生查漏补缺，强化逻辑推理（数学思维）。

5.1 任意角和弧度制 内 容 导 航 题型1 任意角的概念 题型2 终边相同的角（角度制） 题型3 象限角、轴线角 题型4 终边相同的角（弧度制） 题型5 弧长公式 题型6 扇形面积公式 考 点 演 练 题型1 任意角的概念 解｜题｜知｜识 一、角的有关概念 1．从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角． 2．从终边位置来看，可分为象限角与轴线角． 3．若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ+α（k∈Z）． 【典例1】已知A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{大于90°的角}，那么A、B、C关系是（　　） A．B＝A∩C B．B∪C＝C C．A⫋C D．A＝B＝C 【答案】B 【解答】解：第二象限角是指终边落在第二象限的角， 钝角范围为（90°，180°），角的终边落在第二象限； 大于90°的角指（90°，+∞）， ∴B∪C＝C． 题型2 终边相同的角（角度制） 解｜题｜知｜识 终边相同的角： k•360°+α（k∈Z）它是与α角的终边相同的角，（k＝0时，就是α本身），凡是终边相同的两个角，则它们之差一定是360°的整数倍，应该注意的是：两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一定相等，也就是说，终边相同是两个角相等的必要条件，而不是充分条件． 还应该注意到：A＝{x|x＝k•360°+30°，k∈Z}与集合B＝{x|x＝k•360°﹣330°，k∈Z}是相等的集合． 相应的与x轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°，k∈Z}；与x轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+180°，k∈Z}；与y轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+90°，k∈Z}；与y轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+270°，k∈Z} 【典例1】与2026°角终边相同的角是（　　） A．26° B．116° C．134° D．226° 【答案】D 【解答】解：因为2026°＝5×360°+226°， 与2026°角终边相同的角是226°． 故选：D． 【变式1】设集合A＝{α|α＝k•360°+90°，k∈Z}，集合B＝{α|α＝k•180°+90°，k∈Z}，集合C＝{α|α＝k•90°，k∈Z}，则集合A，B，C之间的关系为（　　） A．A⊆C B．B⊆A C．A∪B＝C D．B∩C＝A 【答案】A 【解答】解：因为集合A＝{α|α＝k•360°+90°，k∈Z}＝{α|α＝（4k+1）•90°，k∈Z}， 集合B＝{α|α＝k•180°+90°，k∈Z}＝{α|α＝（2k+1）•90°，k∈Z}， 集合C＝{α|α＝k•90°，k∈Z}，所以A⊆B⊆C，A∪B＝B，B∩C＝B． 故选：A． 【变式2】如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（　　） A．{α|﹣45°≤α＜120°} B．{α|120°＜α≤315°} C．{α|﹣45°+k•360°≤α＜120°+k•360°，k∈Z} D．{α|120°+k•360°＜α≤315°+k•360°，k∈Z} 【答案】C 【解答】解：由图象知，所求角的集合是{α|﹣45°+k•360°≤α＜120°+k•360°，k∈Z}． 故选：C． 【变式3】下列各角中，与370°角终边重合的是（　　） A．300° B．30° C．﹣300° D．10° 【答案】D 【解答】解：与370°角终边重合的角的集合是{α|α＝370°+k•360°，k∈Z}， 当k＝﹣1时，α＝10°． 故选：D． 题型3 象限角、轴线角 解｜题｜知｜识 在直角坐标系内讨论角 （1）象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就认为这个角是第几象限角． （2）若角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （3）所有与角α终边相同的角连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α+k•360°，k∈Z}． 【典例1】已知α是锐角，那么2α是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角 【答案】C 【解答】解：因为α是锐角，所以α∈（0°，90°）， 所以2α∈（0°，180°）． 故选：C． 【变式1】“α是锐角”是“α是第一象限角”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解答】解：因为α是锐角，故0°＜α＜90°，则α一定是第一象限角， 若α是第一象限角，不妨取﹣330°，则α不是锐角， 所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分不必要条件． 故选：A． 【变式2】若α＝﹣3，则它是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【解答】解：由题意可得，故α＝﹣3是第三象限角． 故选：C． 题型4 终边相同的角（弧度制） 解｜题｜知｜识 终边相同的角： 2kπ+α（k∈Z）它是与α角的终边相同的角，（k＝0时，就是α本身），凡是终边相同的两个角，则它们之差一定是2π的整数倍，应该注意的是：两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一定相等，也就是说，终边相同是两个角相等的必要条件，而不是充分条件． 【典例1】下列各角中，与终边相同的角是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：与终边相同的角为α，k∈Z． 当k＝3时，α． 故选：B． 【变式1】终边在y轴的非负半轴上的角的集合是（　　） A．{α|α＝kπ，k∈Z} B． C．{α|α＝2kπ，k∈Z} D． 【答案】D 【解答】解：由题意，所求集合为． 故选：D． 【变式2】下列与的终边相同的角的集合中正确的是（　　） A．{α|α＝2kπ+60°，k∈Z} B． C．{α|α＝k•360°﹣300°，k∈Z} D． 【答案】C 【解答】解：对于A，B，集合表达式中混合使用了角度制与弧度制，表示错误，故A，B错误； 对于D，当k＝0时，不成立，故D错误； 与的终边相同的角的集合为：{α|α＝k•360°+60°，k∈Z}＝{α|α＝k•360°﹣300°，k∈Z}，故C正确． 故选：C． 【变式3】下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（　　） A． B．k•360°（k∈Z） C．k•360°﹣210°（k∈Z） D． 【答案】C 【解答】解：与角的终边相同的角表达式为： 2kπ，k∈Z，或k•360°﹣210°（k∈Z）． 故选：C． 题型5 弧长公式 解｜题｜知｜识 弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为Slrr2α． 【典例1】把一张半径为2的圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧BC的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：过点O作OH⊥AB于H，连接OA，OB， 由折叠性质可得1，AB∥CD， 又OB＝OA＝2， 所以， 所以， 所以∠BOC＝π﹣∠BOD＝π， 所以劣弧BC的长是． 故选：D． 【变式1】安徽省广德市王氏制扇技艺被列入第五批国家级非遗代表性项目名录．如图是王氏明德折扇的一款扇面，若该扇形的中心角的弧度数为3，外弧长为60cm，内弧长为21cm，则连接外弧与内弧的两端的线段长均为（　　） A．7cm B．8cm C．13cm D．15cm 【答案】C 【解答】解：由题知，内弧对应扇形的半径为， 设连接外弧与内弧的两端的线段长均为a，则，所以a＝13， 连接外弧与内弧的两端的线段长均为13cm． 故选：C． 【变式2】如图所示，用6个小正方形拼成一个大矩形，然后在每个小正方形中以边长为半径绘制圆弧，这些圆弧连起来得到一段螺旋形的曲线，我们称之为“斐波那契螺旋线”．若图中最大的矩形面积为416，则这段斐波那契螺旋线的长度为（　　） A．10π B．13π C．20π D．26π 【答案】C 【解答】解：设正方形的边长分别为a1，a2，a3，a4，a5，且边长即为圆弧的半径， 则， 所以，解得a1＝2， 所以长度为． 故选：C． 【变式3】半径为3cm，圆心角为210°的扇形的弧长为（　　） A．630cm B． C． D． 【答案】D 【解答】解：圆心角210°化为弧度为，则弧长为． 故选：D． 题型6 扇形面积公式 解｜题｜知｜识 弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为Slr＝r2α． 【典例1】若扇形的周长为16cm，圆心角为2rad，则扇形的面积为（　　） A．12cm2 B．14cm2 C．16cm2 D．18cm2 【答案】C 【解答】解：设扇形的半径为R， 由扇形的周长为16cm，圆心角为2rad， 可得：2R+2R＝16，解得R＝4； 扇形的面积． 故选：C． 【变式1】已知圆心角为72°的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：因为扇形的圆心角为72°， 设该扇形的圆心角弧度为α，则， 则． 故选：A． 【变式2】已知某扇形的圆心角为，其所对的弦长为，则该扇形的面积为（　　） A．6π B．18π C． D． 【答案】B 【解答】解：设该扇形的半径为r， 因为扇形的圆心角为，其所对的弦长为， 则， 则该扇形的面积为． 故选：B． 【变式3】我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中弧与弦AB围成的弓形的面积为（　　） A．4π B．8 C．4π﹣8 D．8π﹣8 【答案】C 【解答】解：由题意锯口深CD＝4﹣2，锯道AB＝4， 设圆的半径为r， 则OD＝r﹣CD＝r﹣（4﹣2），ADAB＝2， 由勾股定理可得OD2+AD2＝OA2，即[r﹣（4﹣2）]2+（2）2＝r2， 解得r＝4， 所以OA＝OB＝4，OD＝AD＝2， 所以∠AOD，∠AOB， 因此S弓形＝S扇形AOB﹣S△AOB4π﹣8． 故选：C． 过 关 验 收 1．时钟的时针走过了1小时40分钟，则分针转过的角度为 　 　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意得分针顺时针转过的角度为． 故答案为：． 2．与800°角终边相同的角可以表示为（　　） A．k•360°+100°，k∈Z B．k•360°+90°，k∈Z C．k•360°+80°，k∈Z D．k•360°+70°，k∈Z 【答案】C 【解答】解：因为800°＝360°×2+80°， 所以与800°角终边相同的角可以表示为k•360°+80°，k∈Z． 故选：C． 3．与2022°角终边相同的角是（　　） A．﹣138° B．﹣72° C．42° D．222° 【答案】AD 【解答】解：∵2022°＝222°+5×360°， 又﹣138°＝222°﹣360°，﹣72°＝288°﹣360°，42°与222°终边显然不同， ∴选项中只有﹣138°和222°与2022°终边相同． 故选：AD． 4．在0°﹣360°的范围内，与﹣571°终边相同的角是 　 　 ． 【答案】149°． 【解答】解：因为﹣571°＝2×（﹣360°）+149°， 所以0°﹣360°的范围内，与﹣571°终边相同的角是149°． 故答案为：149°． 5．下列说法中正确的个数是（　　） ①终边相同的角一定相等； ②钝角一定是第二象限角； ③第一象限角可能是负角； ④小于90°的角都是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：对于①，终边相同的角可以相差360°的整数倍，不一定相等，故错误； 对于②，钝角是大于90°且小于180°的角，一定是第二象限角，故正确； 对于③，第一象限角可以是正角，也可以是负角，故正确； 对于④，小于90°的角可以是锐角，也可以是负角，故错误， 综上，正确的个数是2． 故选：B． 6．下列选项正确的是（　　） A．已知角2α的终边始终在x轴上方，那么α是第一象限角 B．若α＝k•180°+45°（k∈Z），则α是第一或第二象限角 C．已知角α的终边与120°角的终边关于x轴对称，则是第二或第四象限角 D．已知α是锐角，那么2α是第一或第二象限角 【答案】C 【解答】解：对于选项A：由题意，设2α＝450°，则α＝225°是第三象限角，故A错误； 对于选项B：若α＝k•180°+45°（k∈Z），取k＝1，则α＝180°+45°＝225°，该角是第三象限角，故B错误； 对于选项C：由题意可知α＝k•360°﹣120°（k∈Z）， 因此， 当k为偶数时，令k＝2n，n∈Z，则，该角终边在第四象限； 当k为奇数时，令k＝2n+1，n∈Z，则，该角终边在第二象限； 故C正确； 对于选项D：由题意可知0°＜α＜90°，可得0°＜2α＜180°， 当2α＝90°时，该角终边在y轴正半轴，不属于任何象限，故D错误． 故选：C． 7．已知扇形的圆心角为75°，周长为24+5π，则该扇形的面积为（　　） A．15π B．30π C．45π D．60π 【答案】B 【解答】解：因为，设扇形的半径为r， 所以，解得r＝12， 所以该扇形的面积为． 故选：B． 8．若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是（　　） A．（，） B．（，） C．[，] D．[2kπ，2kπ]（k∈Z） 【答案】D 【解答】解：角α的终边落在如图所示的阴影部分内， 则角α在一个周期内的范围是[，]， 则角α的取值范围是[2kπ，2kπ]（k∈Z）， 故选：D． 9．已知点P（a﹣3，2﹣a）在第二象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵点P（a﹣3，2﹣a）在第二象限， ∴，解得a＜2，故C选项符合题意． 故选：C． 10．设扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角是（弧度）（　　） A．1 B．4 C．π D．1或4 【答案】D 【解答】解：设扇形的半径为 r，所以弧长为：6﹣2r，扇形的圆心角为：，因为扇形的面积为：2，所以（6﹣2r）r＝2 解得r＝1或r＝2，所以扇形的圆心角为：4或1． 故选：D． 11．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面釈所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2）．弧田，由圆弧和其所对弦所围成．公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，弦长等于2米的弧田．按照《九章算术》中弧田面积的经验公式竍算所得弧田面积（单位，平方米）为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：如图，在圆心角∠AOB为，弦长AB等于2米的弧田中， 可得半径为2，圆心到弦的距离为， 于是，矢＝2， 所以，弧田面积（弦×矢+矢2）[2×（2）+（2）2]3． 故选：D． 12．与角终边相同的角是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【解答】解：由题意可知，与角终边相同的角是， 当k＝﹣1时，；当k＝0时，；当k＝1时，， 所以A，D满足题意， 故选：AD． 13．与角终边相同的角是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解答】解：与角终边相同的角为2k，k∈Z， 结合选项可知，与角终边相同的角是和． 故选：AC． 14．若，，则M　 　 N．（填“⊂”或“⊃”或“＝”） 【答案】＝． 【解答】解：对于， ＝{α|α＝2k或α＝（2k﹣1）π，k∈Z}＝{α|，n∈Z}， 故M＝N． 故答案为：＝． 15．角α的集合为，则集合A∩[﹣4π，2π]＝　 　 ． 【答案】． 【解答】解：， 则A∩[﹣4π，2π]． 故答案为：． 16．若扇形的圆心角是108°，弧长为3π，则扇形的半径为　　 ． 【答案】5． 【解答】解：由， 故该扇形的半径为． 故答案为：5． 17．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，这个扇形圆心角的弧度数是 　 ． 【答案】 【解答】解：设这个扇形圆心角的弧度数为α，半径为r． ∵一个扇形的弧长与面积的数值都是5， ∴5＝αr，5， 解得α． 故答案为：． 18．2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射成功，执行此次飞行任务的航天员有蔡旭哲、宋令东、王浩泽．所有航天员都需要在载人离心机中进行超重耐力与适应性训练．如图所示，离心机的座舱绕离心机的中心在水平面内做匀速圆周运动，若圆周运动的半径为8m，速度为每秒圈，则座舱运动40πm需要的时间为 　　 s． 【答案】3． 【解答】解：由圆周运动的半径为8m，速度为每秒圈， 可得每秒座舱旋转，故座舱每秒运动m， 所以座舱运动40πm需要的时间为秒． 故答案为：3． 19．若扇形的圆心角为120°，半径为30，则扇形的周长为　 　 ． 【答案】20π+60． 【解答】解：因为扇形的圆心角为120°，扇形的半径为30， 所以扇形的弧长为，则周长为l+2r＝20π+60． 故答案为：20π+60． 20．已知一个扇形的圆心角为α，所在圆的半径为R． （1）若α＝120°，R＝6cm，求扇形的面积； （2）若扇形的周长为8cm，面积为3cm2，求扇形圆心角的弧度数； （3）若扇形面积为16cm2，求扇形周长的最小值，及此时的圆心角α． 【答案】（1）扇形的面积为12πcm2； （2）扇形圆心角的弧度数为6或； （3）扇形周长的最小值为16cm，此时圆心角α＝2 （弧度）． 【解答】解：（1）由题意圆心角为， 可得扇形的面积12πcm2； （2）扇形周长C＝2R+αR＝8，面积， 联立方程，可得（R﹣1）（R﹣3）＝0，解得或， 故扇形圆心角的弧度数为6或； （3）因为16，可得， 代入周长公式得16，当且仅当R＝4时等号成立，此时圆心角α＝2 （弧度）． 21．折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值．如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面的面积为（　　） A．1000cm2 B．900cm2 C．800cm2 D．700cm2 【答案】B 【解答】解：如图， 延长AD与BC交于圆心O， 设扇形半径OA＝r，圆心角∠AOB＝α，则，解得α＝1.5，r＝40， 所以该扇面的面积为． 故选：B． 22．扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流．如图，该折扇扇面画的外弧长为51，内弧长为21，且该扇面所在扇形的圆心角约为135°，则该扇面画的面积约为（　　）（π≈3） A．960 B．480 C．320 D．240 【答案】B 【解答】解：易知，根据题意可知扇面的面积为． 故选：B． 23．如图，等边△ABC的边长为4，把△ABC的各边分别向两个方向延伸，且延伸长度为a的一段，然后分别以三个顶点A，B，C为圆心画圆弧，使得△ABC三个内角所对的圆弧的半径均为4+a，它们的对顶角所对的圆弧的半径均为a，由这样的六条圆弧组成的图形叫做圆弧六边形．已知某圆弧六边形的周长为6π，则该圆弧六边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意，圆弧六边形的面积， 由于圆弧六边形的周长为6π， 可得圆弧六边形的周长，即a＝1， 所以． 故选：A． 24．如图，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意可知AD＝AO＝OD＝2，所以△ADO是等边三角形， 所以，， 所以△AOD的面积为，扇形AOD的面积为， 又半圆的面积为， 所以图中阴影部分的面积为． 故选：B． 25．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB，再在该扇形内剪下一个同心小扇形OCD（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面ABCD．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知AD＝20cm，弧AB的长为20πcm，则此扇面的面积为（　　） A．300πcm2 B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设OA＝Rcm， 因为圆心角，弧AB的长为lAB＝20πcm， 可得20π，解得R＝30， 所以OD＝30﹣20＝10， 可得， ， 所以此扇面的面积． 故选：B． 26．已知扇形的半径为，圆心角∠AOB＝120°，则扇形的面积为　　 cm2． 【答案】4π． 【解答】解：因为扇形的半径为，圆心角∠AOB＝120°， 所以扇形的面积为． 故答案为：4π． 27．如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径⊙A的与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是 　 　 ．（结果保留π） 【答案】4 【解答】解：由∠EPF＝40°， 则， 又AE＝2， 则扇形AEF的面积为， 又， 即图中阴影部分的面积是4， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1 任意角和弧度制 内 容 导 航 题型1 任意角的概念 题型2 终边相同的角（角度制） 题型3 象限角、轴线角 题型4 终边相同的角（弧度制） 题型5 弧长公式 题型6 扇形面积公式 考 点 演 练 题型1 任意角的概念 解｜题｜知｜识 一、角的有关概念 1．从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角． 2．从终边位置来看，可分为象限角与轴线角． 3．若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ+α（k∈Z）． 【典例1】已知A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{大于90°的角}，那么A、B、C关系是（　　） A．B＝A∩C B．B∪C＝C C．A⫋C D．A＝B＝C 题型2 终边相同的角（角度制） 解｜题｜知｜识 终边相同的角： k•360°+α（k∈Z）它是与α角的终边相同的角，（k＝0时，就是α本身），凡是终边相同的两个角，则它们之差一定是360°的整数倍，应该注意的是：两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一定相等，也就是说，终边相同是两个角相等的必要条件，而不是充分条件． 还应该注意到：A＝{x|x＝k•360°+30°，k∈Z}与集合B＝{x|x＝k•360°﹣330°，k∈Z}是相等的集合． 相应的与x轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°，k∈Z}；与x轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+180°，k∈Z}；与y轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+90°，k∈Z}；与y轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+270°，k∈Z} 【典例1】与2026°角终边相同的角是（　　） A．26° B．116° C．134° D．226° 【变式1】设集合A＝{α|α＝k•360°+90°，k∈Z}，集合B＝{α|α＝k•180°+90°，k∈Z}，集合C＝{α|α＝k•90°，k∈Z}，则集合A，B，C之间的关系为（　　） A．A⊆C B．B⊆A C．A∪B＝C D．B∩C＝A 【变式2】如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（　　） A．{α|﹣45°≤α＜120°} B．{α|120°＜α≤315°} C．{α|﹣45°+k•360°≤α＜120°+k•360°，k∈Z} D．{α|120°+k•360°＜α≤315°+k•360°，k∈Z} 【变式3】下列各角中，与370°角终边重合的是（　　） A．300° B．30° C．﹣300° D．10° 题型3 象限角、轴线角 解｜题｜知｜识 在直角坐标系内讨论角 （1）象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就认为这个角是第几象限角． （2）若角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （3）所有与角α终边相同的角连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α+k•360°，k∈Z}． 【典例1】已知α是锐角，那么2α是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角 【变式1】“α是锐角”是“α是第一象限角”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式2】若α＝﹣3，则它是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 题型4 终边相同的角（弧度制） 解｜题｜知｜识 终边相同的角： 2kπ+α（k∈Z）它是与α角的终边相同的角，（k＝0时，就是α本身），凡是终边相同的两个角，则它们之差一定是2π的整数倍，应该注意的是：两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一定相等，也就是说，终边相同是两个角相等的必要条件，而不是充分条件． 【典例1】下列各角中，与终边相同的角是（　　） A． B． C． D． 【变式1】终边在y轴的非负半轴上的角的集合是（　　） A．{α|α＝kπ，k∈Z} B． C．{α|α＝2kπ，k∈Z} D． 【变式2】下列与的终边相同的角的集合中正确的是（　　） A．{α|α＝2kπ+60°，k∈Z} B． C．{α|α＝k•360°﹣300°，k∈Z} D． 【变式3】下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（　　） A． B．k•360°（k∈Z） C．k•360°﹣210°（k∈Z） D． 题型5 弧长公式 解｜题｜知｜识 弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为Slrr2α． 【典例1】把一张半径为2的圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧BC的长是（　　） A． B． C． D． 【变式1】安徽省广德市王氏制扇技艺被列入第五批国家级非遗代表性项目名录．如图是王氏明德折扇的一款扇面，若该扇形的中心角的弧度数为3，外弧长为60cm，内弧长为21cm，则连接外弧与内弧的两端的线段长均为（　　） A．7cm B．8cm C．13cm D．15cm 【变式2】如图所示，用6个小正方形拼成一个大矩形，然后在每个小正方形中以边长为半径绘制圆弧，这些圆弧连起来得到一段螺旋形的曲线，我们称之为“斐波那契螺旋线”．若图中最大的矩形面积为416，则这段斐波那契螺旋线的长度为（　　） A．10π B．13π C．20π D．26π 【变式3】半径为3cm，圆心角为210°的扇形的弧长为（　　） A．630cm B． C． D． 题型6 扇形面积公式 解｜题｜知｜识 弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为Slr＝r2α． 【典例1】若扇形的周长为16cm，圆心角为2rad，则扇形的面积为（　　） A．12cm2 B．14cm2 C．16cm2 D．18cm2 【变式1】已知圆心角为72°的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知某扇形的圆心角为，其所对的弦长为，则该扇形的面积为（　　） A．6π B．18π C． D． 【变式3】我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中弧与弦AB围成的弓形的面积为（　　） A．4π B．8 C．4π﹣8 D．8π﹣8 过 关 验 收 1．时钟的时针走过了1小时40分钟，则分针转过的角度为 　 　 ． 2．与800°角终边相同的角可以表示为（　　） A．k•360°+100°，k∈Z B．k•360°+90°，k∈Z C．k•360°+80°，k∈Z D．k•360°+70°，k∈Z 3．与2022°角终边相同的角是（　　） A．﹣138° B．﹣72° C．42° D．222° 4．在0°﹣360°的范围内，与﹣571°终边相同的角是 　 　 ． 5．下列说法中正确的个数是（　　） ①终边相同的角一定相等； ②钝角一定是第二象限角； ③第一象限角可能是负角； ④小于90°的角都是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 6．下列选项正确的是（　　） A．已知角2α的终边始终在x轴上方，那么α是第一象限角 B．若α＝k•180°+45°（k∈Z），则α是第一或第二象限角 C．已知角α的终边与120°角的终边关于x轴对称，则是第二或第四象限角 D．已知α是锐角，那么2α是第一或第二象限角 7．已知扇形的圆心角为75°，周长为24+5π，则该扇形的面积为（　　） A．15π B．30π C．45π D．60π 8．若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是（　　） A．（，） B．（，） C．[，] D．[2kπ，2kπ]（k∈Z） 9．已知点P（a﹣3，2﹣a）在第二象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 10．设扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角是（弧度）（　　） A．1 B．4 C．π D．1或4 11．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面釈所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2）．弧田，由圆弧和其所对弦所围成．公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，弦长等于2米的弧田．按照《九章算术》中弧田面积的经验公式竍算所得弧田面积（单位，平方米）为（　　） A． B． C． D． 12．与角终边相同的角是（　　） A． B． C． D． 13．与角终边相同的角是（　　） A． B． C． D． 14．若，，则M　 　 N．（填“⊂”或“⊃”或“＝”） 15．角α的集合为，则集合A∩[﹣4π，2π]＝　 　 ． 16．若扇形的圆心角是108°，弧长为3π，则扇形的半径为　　 ． 17．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，这个扇形圆心角的弧度数是 　 ． 18．2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射成功，执行此次飞行任务的航天员有蔡旭哲、宋令东、王浩泽．所有航天员都需要在载人离心机中进行超重耐力与适应性训练．如图所示，离心机的座舱绕离心机的中心在水平面内做匀速圆周运动，若圆周运动的半径为8m，速度为每秒圈，则座舱运动40πm需要的时间为 　　 s． 19．若扇形的圆心角为120°，半径为30，则扇形的周长为　 　 ． 20．已知一个扇形的圆心角为α，所在圆的半径为R． （1）若α＝120°，R＝6cm，求扇形的面积； （2）若扇形的周长为8cm，面积为3cm2，求扇形圆心角的弧度数； （3）若扇形面积为16cm2，求扇形周长的最小值，及此时的圆心角α． 21．折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值．如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面的面积为（　　） A．1000cm2 B．900cm2 C．800cm2 D．700cm2 22．扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流．如图，该折扇扇面画的外弧长为51，内弧长为21，且该扇面所在扇形的圆心角约为135°，则该扇面画的面积约为（　　）（π≈3） A．960 B．480 C．320 D．240 23．如图，等边△ABC的边长为4，把△ABC的各边分别向两个方向延伸，且延伸长度为a的一段，然后分别以三个顶点A，B，C为圆心画圆弧，使得△ABC三个内角所对的圆弧的半径均为4+a，它们的对顶角所对的圆弧的半径均为a，由这样的六条圆弧组成的图形叫做圆弧六边形．已知某圆弧六边形的周长为6π，则该圆弧六边形的面积为（　　） A． B． C． D． 24．如图，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 25．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB，再在该扇形内剪下一个同心小扇形OCD（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面ABCD．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知AD＝20cm，弧AB的长为20πcm，则此扇面的面积为（　　） A．300πcm2 B． C． D． 26．已知扇形的半径为，圆心角∠AOB＝120°，则扇形的面积为　　 cm2． 27．如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径⊙A的与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是 　 　 ．（结果保留π） 学科网（北京）股份有限公司 $