19.3 二次函数的性质（第1课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第19章 二次函数和反比例函数 19.3 二次函数的性质 （第1课时）增减性与最大值、最小值 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 今天要学会什么 观察与表达 观察抛物线，归纳二次函数的增减性与最值。 学习成果 会结合开口方向、对称轴描述变化范围，并解释最大值或最小值的取得条件。 随堂探究 实践　从左向右看函数值 画，观察函数值是否总随增大而增大，并指出最值。 -1 1 2 3 4 5 6 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 答：时减小，时增大；时最小值-7。 解 配方为。 开口向上，顶点是最低点。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 增减性要写区间 图象左侧 开口向上的抛物线，从左向右接近顶点时，高度下降。 图象右侧 越过顶点后继续向右，高度上升；不能只说整体递增。 知识讲授 把开口倒过来观察 开口向下 先升后降，顶点是最高点。 统一看法 对称轴把图象分成左右两部分，分别描述变化趋势。 知识讲授 二次函数性质表 a>0 在上减小，在上增大；当时有最小值。 a<0 在上增大，在上减小；当时有最大值。 例题讲解 例　从表达式判断性质 已知二次函数。 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 （1） 当在什么范围内取值时，随的增大而增大？在什么范围内减小？ （2） 有最大值还是最小值？当为何值时取得？求出这个值。 解第（1）题：时增大；时减小。 配方为，开口向下。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 例题讲解 例　从表达式判断性质 已知二次函数。 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 （1） 当在什么范围内取值时，随的增大而增大？在什么范围内减小？ （2） 有最大值还是最小值？当为何值时取得？求出这个值。 解第（2）题：当时有最大值3。 顶点是图象最高点。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 随堂探究 探究　检验顶点两侧的变化 在上例中比较时的函数值，以及时的函数值。 答：前组1、2.5、3递增；后组3、2.5、1递减。 解 分别代入同一个函数式验证图象观察。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 课堂练习 练习1 填写函数随增大而增大、减小时的取值范围。 （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 增大：；减小：。 开口向上，对称轴。 解第（2）题 增大：；减小：。 开口向上，对称轴。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 课堂练习 练习1 填写函数随增大而增大、减小时的取值范围。 （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 增大：；减小：。 开口向下，对称轴。 解第（4）题 增大：；减小：。 配方为。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 课堂练习 练习2 判断下列二次函数何时取得最大（或最小）值，并求出这个值。 （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 当时有最大值3。 开口向下，顶点。 解第（2）题 当时有最小值0。 开口向上，顶点。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 课堂练习 练习2 判断下列二次函数何时取得最大（或最小）值，并求出这个值。 （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 当时有最大值-3。 最大值可以是负数。 解第（4）题 当时有最大值11。 配方为。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 知识讲授 最值为何来自平方项 a>0 ，故，取等号时。 a<0 ，故，取等号时。 随堂探究 探究　最大值是负数也正常 有最大值吗？ 答：有，最大值-2。 解 所有函数值都不超过-2。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 同侧用增减，异侧看距离 同一侧 先确定这段图象是上升还是下降。 分居两侧 比较到对称轴的距离；等距则函数值相等。 随堂探究 探究　最值与最值点 的最小值和取得最小值的分别是什么？ 答：最小值4；。 解 顶点两个坐标表达不同含义。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 限定范围后多一步 顶点在范围内 极值可在顶点取得，但最大或最小的另一端还需比较边界。 顶点不在范围内 使用相应单调区间，比较两端的函数值。 随堂探究 探究　对称点函数值相等 在与时，函数值谁大？ 答：相等，均为17。 解 到的距离都为3。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 随堂探究 探究　由图象语言翻译成式 “当时最小值为-3”能写出哪个形式？ 答：，。 解 顶点且开口向上。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 端点用语 教材表述 常用、描述轴两侧变化。 转折点 在处函数达到极值，这一点单独说明。 随堂探究 探究　用两种方法求最值 求的最小值，并用顶点公式核验。 答：最小值-4，在时取得。 解 配方为；公式得顶点纵坐标。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 课堂总结 本课知识 开口 决定先减后增或先增后减 对称轴 划分增减区间 顶点 读最值与取得位置 比较 同侧增减、异侧距离 特别提醒：谈增减性必须附上自变量范围。 针对训练 训练1　顶点式性质 完成下列各题。 （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 时减小，时增大；时最小值。 先得到顶点式，再按开口方向分轴左右。 解第（2）题 时增大，时减小；时最大值。 先得到顶点式，再按开口方向分轴左右。 方法：轴两边分段判断 注意：同时写最值及其取得条件。 方法：轴两边分段判断 注意：同时写最值及其取得条件。 针对训练 训练1　顶点式性质 完成下列各题。 （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 时减小，时增大；时最小值。 先得到顶点式，再按开口方向分轴左右。 解第（4）题 时增大，时减小；时最大值。 先得到顶点式，再按开口方向分轴左右。 方法：轴两边分段判断 注意：同时写最值及其取得条件。 方法：轴两边分段判断 注意：同时写最值及其取得条件。 针对训练 训练2　一般式性质 完成下列各题。 （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 时减小，时增大；时最小值。 先得到顶点式，再按开口方向分轴左右。 方法：轴两边分段判断 注意：同时写最值及其取得条件。 针对训练 训练2　一般式性质 完成下列各题。 （1） （2） （3） （4） 解第（2）题 时增大，时减小；时最大值。 先得到顶点式，再按开口方向分轴左右。 方法：轴两边分段判断 注意：同时写最值及其取得条件。 针对训练 训练2　一般式性质 完成下列各题。 （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 时减小，时增大；时最小值。 先得到顶点式，再按开口方向分轴左右。 方法：轴两边分段判断 注意：同时写最值及其取得条件。 针对训练 训练2　一般式性质 完成下列各题。 （1） （2） （3） （4） 解第（4）题 时增大，时减小；时最大值。 先得到顶点式，再按开口方向分轴左右。 方法：轴两边分段判断 注意：同时写最值及其取得条件。 针对训练 训练3　跨轴比较大小 完成下列各题。 （1） ；比较和时的值。 （2） ；比较和时的值。 （3） ；比较和时的值。 （4） ；比较和时的值。 解第（1）题 分别为，前者小于后者。 两点到轴的距离为2与3；平方分别为4与9。 方法：比较到对称轴距离 注意：跨越顶点不可直接套同段增减性。 针对训练 训练3　跨轴比较大小 完成下列各题。 （1） ；比较和时的值。 （2） ；比较和时的值。 （3） ；比较和时的值。 （4） ；比较和时的值。 解第（2）题 分别为，前者大于后者。 两点到轴的距离为2与3；平方分别为4与9。 方法：比较到对称轴距离 注意：跨越顶点不可直接套同段增减性。 针对训练 训练3　跨轴比较大小 完成下列各题。 （1） ；比较和时的值。 （2） ；比较和时的值。 （3） ；比较和时的值。 （4） ；比较和时的值。 解第（3）题 分别为，前者小于后者。 两点到轴的距离为2与3；平方分别为4与9。 方法：比较到对称轴距离 注意：跨越顶点不可直接套同段增减性。 针对训练 训练3　跨轴比较大小 完成下列各题。 （1） ；比较和时的值。 （2） ；比较和时的值。 （3） ；比较和时的值。 （4） ；比较和时的值。 解第（4）题 分别为，前者大于后者。 两点到轴的距离为2与3；平方分别为4与9。 方法：比较到对称轴距离 注意：跨越顶点不可直接套同段增减性。 针对训练 训练4　限定区间观察 完成下列各题。 （1） 在上的最大、最小值。 （2） 在上的最大、最小值。 （3） 在上的最大、最小值。 （4） 在上的最大、最小值。 解第（1）题 最大值，最小值。 这一区间完全位于对称轴右侧。 利用该段单调性比较两端点。 方法：先看区间在轴哪边 注意：限定区间最值未必在顶点。 针对训练 训练4　限定区间观察 完成下列各题。 （1） 在上的最大、最小值。 （2） 在上的最大、最小值。 （3） 在上的最大、最小值。 （4） 在上的最大、最小值。 解第（2）题 最大值，最小值。 这一区间完全位于对称轴右侧。 利用该段单调性比较两端点。 方法：先看区间在轴哪边 注意：限定区间最值未必在顶点。 针对训练 训练4　限定区间观察 完成下列各题。 （1） 在上的最大、最小值。 （2） 在上的最大、最小值。 （3） 在上的最大、最小值。 （4） 在上的最大、最小值。 解第（3）题 最大值，最小值。 这一区间完全位于对称轴右侧。 利用该段单调性比较两端点。 方法：先看区间在轴哪边 注意：限定区间最值未必在顶点。 针对训练 训练4　限定区间观察 完成下列各题。 （1） 在上的最大、最小值。 （2） 在上的最大、最小值。 （3） 在上的最大、最小值。 （4） 在上的最大、最小值。 解第（4）题 最大值，最小值。 这一区间完全位于对称轴右侧。 利用该段单调性比较两端点。 方法：先看区间在轴哪边 注意：限定区间最值未必在顶点。 针对训练 训练5　最值与增减辨析 （1）开口向下时，最大值一定为正数。 × 理由：如最大值为-1。 （2）开口向上时没有最大值（自变量全体实数）。 √ 理由：两侧可无限升高。 （3）若，就有。 × 理由：必须看所在区间及开口。 方法：分清全体实数和限定区间 注意：最大值不等于最大点的横坐标。 针对训练 训练6　给变化范围求参数 随增大而增大的范围是（ ）。 A. B. C. D. 所有实数 答：选A。 解 开口向下，轴左侧从左向右上升。 方法：分轴左右判断 注意：逐项核对条件，不凭外形猜测。 针对训练 训练7　由最值求常数 的最小值为-4，求。 答：。 解 平方项最小为0。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练8　从最大值反求系数 最大值为7，求。 答：。 解 配方为。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练9　区间包含顶点 求在上的最大值、最小值。 答：最小值1，最大值10。 解 顶点在区间内；比较端点函数值5与10。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练10　比较三个点 点横坐标为-2、0、3，都在上，比较对应函数值。 答：分别为-5、3、0，故。 解 到对称轴距离为3、1、2，开口向下，越近越高。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练11　判断整体说法 函数是否在所有实数上随增大而减小？ 答：不是，只在的部分减小。 解 越过4之后随增大而增大。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练12　从代数证明最小值 不用图象说明的最小值。 答：最小值-5，在时取得。 解 平方非负，乘正数后仍非负。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练13　实际应用：温度模型 实验温度，，单位℃与min。何时最低？最低多少？ 答：3min时最低18℃。 解 顶点时间3在实际范围内。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练14　实际应用：最高轨迹 模型球的高度，。求最高高度及高度上升的时间段。 答：2s时最高9m；期间上升。 解 开口向下，顶点左侧递增。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 方法总结 把本课方法带走 用图象读性质 （1）找轴并分左右两侧 （2）沿x增大方向看升降 用平方判断最值 （1）先化成顶点式 （2）核对自变量实际范围 $