19.2 二次函数的图象（第1课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第19章 二次函数和反比例函数 19.2 二次函数的图象 （第1课时）y=ax²的图象 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 今天要学会什么 观察与表达 用列表、描点、连线作图象，辨认开口、顶点和对称轴。 学习成果 通过具体点与式的联系理解抛物线，准确比较的正负和绝对值。 知识讲授 先预测，再作图 原点 在中，时，图象经过原点。 对称 互为相反数的平方相同，左右两侧点成对。 知识讲授 抛物线与顶点 由此可知，二次函数的图象是通过原点，分布在第一、第二象限，且以轴为对称轴的一条曲线，我们称这条曲线为抛物线。它与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。 原点在坐标轴上，不属于任何象限。 这里的顶点是。 -3 -2 -1 1 2 -1 1 2 3 4 5 随堂探究 探究　把表格变成图象 对取，求函数值并作图。 -3 -2 -1 1 2 -1 1 2 3 4 答：。 解 依次平方；按横坐标从小到大描点连线。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 例题讲解 例 1 在同一坐标系中，作出下列函数的图象： -3 -2 -1 1 2 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 ① ② ③ （1） （2） （3） 解第（1）题：顶点，开口向下。 可取，对应。 解第（2）题：顶点，开口向上。 对应。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 例题讲解 例 1 在同一坐标系中，作出下列函数的图象： -3 -2 -1 1 2 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 ① ② ③ （1） （2） （3） 解第（3）题：顶点，开口向下。 对应。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 知识讲授 比较三条曲线 共同点 均过原点，以轴为对称轴，顶点都为。 不同点 的正负决定开口方向；同一横坐标下，越大，离轴越远。 知识讲授 开口方向 当时，抛物线的开口向上；当时，抛物线的开口向下。 这里研究的函数是，且。 顶点均为，对称轴均为轴。 课堂练习 练习1 分别在同一坐标系内作出下列函数的图象。 -3 -2 -1 1 2 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 ① ② （1） ， （2） ，， 解第（1）题：两图关于轴对称。 分别代入；开口一上一下。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 课堂练习 练习1 分别在同一坐标系内作出下列函数的图象。 -3 -2 -1 1 2 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ① ② ③ （1） ， （2） ，， 解第（2）题：顶点均为原点；前后向上，中间向下。 取相同的值，分别计算三组函数值。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 课堂练习 练习2 指出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和开口方向。 （1） （2） （3） 解第（1）题 对称轴轴，顶点，开口向上。 。 解第（2）题 对称轴轴，顶点，开口向下。 。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 课堂练习 练习2 指出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和开口方向。 （1） （2） （3） 解第（3）题 对称轴轴，顶点，开口向下。 。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 知识讲授 列表不是随便选点 取点位置 先定对称轴，再在两侧取等距离的横坐标。 核对依据 同高点成对出现，顶点单独出现。 随堂探究 探究　用三个点检查草图 对于，求顶点及横坐标比顶点多1、少1的两点。 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 答：、、。 解 先写顶点，再令括号内为。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 对称轴是一条直线 书写要求 对称轴写成，不能只写数字。 点与线 顶点是一个点，须写两个坐标；两者不能混淆。 知识讲授 连接的方式决定图形 正确连线 按横坐标从小到大，用平滑曲线连接描出的点。 错误提醒 把点用线段依次连接会成为折线，无法体现抛物线形状。 随堂探究 探究　判断一点是否落在曲线上 点和哪个在上？ 答：只有在。 解 同一个只能对应一个函数值。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 形状与位置分开研究 形状因素 固定其他条件，控制开口方向及图象宽窄。 位置因素 平移保留，改变顶点位置。 随堂探究 探究　从图象返回算式 抛物线上横坐标分别为和的两点为什么一样高？ 答：代入后括号内互为相反数，平方相等。 解 二者都代入。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 作图后怎样自查 查三个要素 开口方向、对称轴和顶点是否符合表达式。 查已知点 重新代入至少一个非顶点，确认纵坐标位置。 随堂探究 探究　零点与截距的区分 求与轴的交点时，应令哪个量为0？ 答：令。 解 轴上所有点的横坐标均为0。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 课堂总结 本课知识 形状 抛物线 顶点 原点 对称轴 轴 开口 正上负下 特别提醒：图象经过原点；分布象限与坐标轴上的点要区分。 针对训练 训练1　读图象特征 完成下面各题，写出必要理由。 （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 开口向下，对称轴，顶点。 把表达式与本课标准形式对照。 符号确定开口，括号确定横坐标，常数确定纵坐标。 方法：读形式与特征 注意：顶点横坐标注意相反符号。 针对训练 训练1　读图象特征 完成下面各题，写出必要理由。 （1） （2） （3） （4） 解第（2）题 开口向上，对称轴，顶点。 把表达式与本课标准形式对照。 符号确定开口，括号确定横坐标，常数确定纵坐标。 方法：读形式与特征 注意：顶点横坐标注意相反符号。 针对训练 训练1　读图象特征 完成下面各题，写出必要理由。 （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 开口向下，对称轴，顶点。 把表达式与本课标准形式对照。 符号确定开口，括号确定横坐标，常数确定纵坐标。 方法：读形式与特征 注意：顶点横坐标注意相反符号。 针对训练 训练1　读图象特征 完成下面各题，写出必要理由。 （1） （2） （3） （4） 解第（4）题 开口向上，对称轴，顶点。 把表达式与本课标准形式对照。 符号确定开口，括号确定横坐标，常数确定纵坐标。 方法：读形式与特征 注意：顶点横坐标注意相反符号。 针对训练 训练2　准确代入求值 完成下面各题，写出必要理由。 （1） ，求时的。 （2） ，求时的。 （3） ，求时的。 （4） ，求时的。 解第（1）题 。 代入得。 先算平方，再乘系数。 解第（2）题 。 代入得。 先算平方，再乘系数。 方法：代入函数求值 注意：负数平方要带括号。 方法：代入函数求值 注意：负数平方要带括号。 针对训练 训练2　准确代入求值 完成下面各题，写出必要理由。 （1） ，求时的。 （2） ，求时的。 （3） ，求时的。 （4） ，求时的。 解第（3）题 。 代入得。 先算平方，再乘系数。 解第（4）题 。 代入得。 先算平方，再乘系数。 方法：代入函数求值 注意：负数平方要带括号。 方法：代入函数求值 注意：负数平方要带括号。 针对训练 训练3　寻找对称点 完成下面各题，写出必要理由。 （1） 点在上，求同高的另一点。 （2） 点在上，求同高的另一点。 （3） 点在上，求同高的另一点。 （4） 点在上，求同高的另一点。 解第（1）题 。 对称轴，两横坐标之和为。 方法：用轴对称配对 注意：若原点在对称轴上，另一点与自身重合。 针对训练 训练3　寻找对称点 完成下面各题，写出必要理由。 （1） 点在上，求同高的另一点。 （2） 点在上，求同高的另一点。 （3） 点在上，求同高的另一点。 （4） 点在上，求同高的另一点。 解第（2）题 。 对称轴，两横坐标之和为。 方法：用轴对称配对 注意：若原点在对称轴上，另一点与自身重合。 针对训练 训练3 完成下面各题，写出必要理由。 （1） 点在上，求同高的另一点。 （2） 点在上，求同高的另一点。 （3） 点在上，求同高的另一点。 （4） 点在上，求同高的另一点。 解第（3）题 。 对称轴，两横坐标之和为。 方法：用轴对称配对 注意：若原点在对称轴上，另一点与自身重合。 针对训练 训练3 完成下面各题，写出必要理由。 （1） 点在上，求同高的另一点。 （2） 点在上，求同高的另一点。 （3） 点在上，求同高的另一点。 （4） 点在上，求同高的另一点。 解第（4）题 。 对称轴，两横坐标之和为。 方法：用轴对称配对 注意：若原点在对称轴上，另一点与自身重合。 针对训练 训练4　检验图象上的点 完成下面各题，写出必要理由。 （1） 点是否在上？ （2） 点是否在上？ （3） 点是否在上？ （4） 点是否在上？ 解第（1）题 在。 代入后。 解第（2）题 在。 代入后。 方法：坐标代入验证 注意：不能凭图形大致位置判断。 方法：坐标代入验证 注意：不能凭图形大致位置判断。 针对训练 训练4　检验图象上的点 完成下面各题，写出必要理由。 （1） 点是否在上？ （2） 点是否在上？ （3） 点是否在上？ （4） 点是否在上？ 解第（3）题 在。 代入后。 解第（4）题 在。 代入后。 方法：坐标代入验证 注意：不能凭图形大致位置判断。 方法：坐标代入验证 注意：不能凭图形大致位置判断。 针对训练 训练5　辨析图象语言 （1）平移抛物线会改变开口方向。 × 理由：平移不改变二次项系数。 （2）抛物线只有一个顶点。 √ 理由：顶点是它与对称轴的交点。 （3）的图象与对称轴的交点一定是原点。 √ 理由：本课形式的顶点始终是。 方法：区分形状、位置和方向 注意：平移与翻折不同。 针对训练 训练6　从条件反求系数 已知过，求。 答：。 解 把点的横、纵坐标代入对应表达式。 由一元一次方程确定。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练7　从对称读横坐标 抛物线上两点纵坐标相同，一个点横坐标为，另一个是多少？ 答：。 解 两点横坐标平均数为对称轴横坐标。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练8　作图顺序 为什么画抛物线时，优先找到顶点，再成对取点？ 答：顶点定位，对称取点减少计算且便于检查。 解 对称轴两侧等距离的点高度相同。 用平滑曲线连接，不能画成折线。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练9　核对错误数据 某同学说在时函数值是0。这句话一定正确吗？ 答：正确，本式顶点纵坐标为0。 解 把取为对称轴横坐标，平方项等于0。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练10　在图与式之间转换 给定，写出图象与轴交点。 答：。 解 与轴相交时。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练11　一组对称点 在上取与，两点纵坐标是什么？ 答：都为。 解 两点到对称轴的水平距离都为2。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练12　图象能否重合 的图象特征是（ ）。 A. 开口向上，顶点原点 B. 开口向下，轴 C. 开口向下，轴轴 D. 经过 答：选C。 解 系数为负，开口向下；顶点原点，对称轴为轴。 方法：直接识别y=ax² 注意：逐项核对条件，不凭外形猜测。 针对训练 训练13　实际应用：正方形 正方形面积与边长满足。画图时保留哪一部分？边长3cm面积多少？ 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答：保留的图象；面积9cm²。 解 数学图象包含负横坐标，实际边长只能取正。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练14　实际应用：圆形喷灌 圆形喷灌面积，半径由2m变为4m，面积变为原来的几倍？ 答：4倍。 解 半径变为2倍，平方变为4倍。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 方法总结 把本课方法带走 列表描点作图 （1）选取成对横坐标 （2）按顺序用平滑曲线连接 观察系数a （1）符号决定开口方向 （2）比较同一横坐标的函数值 $