第18章 相似形 .综合与实践 测量旗杆的高度（第1课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第18章 相似形 综合与实践 测量旗杆的高度 （第1课时）设计测量方案、收集数据与撰写报告 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 这一课要解决什么 理解 设计利用相似三角形测量旗杆高度的方案。 运用 能记录数据、复测和估计测量结果。 表达 能撰写有图、有依据、有数据的测量报告。 复习引入 本次实践任务 任务 利用相似三角形的有关知识，与同学们一起测量自己学校旗杆的高度，并写出测量报告。 成果 一张几何示意图、一份测量记录、一段计算与结论。 知识讲授 把任务拆成可执行的问题 先确定方法 采用同时测影或平面镜反射等相似测量方案。 再确定数据 每个方案只记录其公式真正需要的长度。 最后验证 复测并比较两种方法，说明差异来源。 知识讲授 分工与工具 分工 测量者、标记者、记录者与复核者可轮换合作。 工具 卷尺、竖直标杆、记录表；可选小平面镜。 操作 在地面完成测量，选择不妨碍通行的观测位置。 知识讲授 方案一：同时测影 模型 旗杆和标杆竖直，地面水平，太阳光近似平行。 数据 标杆高、标杆影长、旗杆完整影长。 随堂探究 探究　写出测影方案的依据 旗杆和标杆同时在水平地面上投影，为什么？ 答：两个直角三角形有两角对应相等，所以相似。 解 竖直杆与地面形成直角。 同一时刻太阳光近似平行。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 布点和读数 标记影端 旗杆影端与标杆影端尽量同时标记。 量完整影长 从旗杆底部或顶点竖直投影位置量到相应影端。 标杆检查 保证标杆竖直，卷尺平直并沿影子方向拉开。 随堂探究 探究　示范数据的计算 示例数据：标杆高1.5 m，影长2 m；旗杆影长16 m。求旗杆高度。 答：示例计算结果12 m。 解 。 m。 方法：先代入同单位长度 注意：这是示例，不能写成校园实测结果 随堂探究 探究　测影方案的反向检验 用示例高度12 m和旗杆影长16 m，求高度与影长之比，与标杆相比。 答：都为。 解 。 ，比例一致。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 方案二：平面镜测高 放置 把小镜子水平放在旗杆与观察者之间的地面上。 观察 移动位置，使眼睛从镜中恰好看到旗杆顶端。 条件 利用反射角与入射角相等建立相似。 知识讲授 平面镜方案的几何图 符号 旗杆高，眼高，镜子位置为。 测量 旗杆到镜子的水平距离，观察者垂足到镜子距离。 随堂探究 探究　证明镜面方案中的相似 旗杆、眼高均垂直地面，水平镜面满足入射角等于反射角。为什么？ 答：两个直角相等，光线与水平面的角也相等。 解 入射角与反射角都是相对法线测量。 它们的余角即与镜面所成角，同样相等。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 随堂探究 探究　镜面方案的示范计算 示例数据：眼高1.6 m，镜子距旗杆9 m，观察者垂足距镜子1.2 m。求旗杆高。 答：示例计算结果12 m。 解 。 m。 方法：两组三角形的竖直边与水平边对应 注意：应测眼高而不是身高 随堂探究 探究　哪一个量不能用身高替代 镜面测高时，为什么公式中的要用眼睛到地面的高度？ 答：光线终点是眼睛，所选三角形的竖直边正是眼高。 解 头顶不在所选光线上。 用身高代替眼高会把相应竖直边取错。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 怎样选择测量方案 有清晰影子 优先考虑同时测影，数据容易直接读出。 影子被遮挡 若具备水平地面和镜面观测条件，可考虑镜面方案。 条件不足 先调整布点和方法，再开始读数。 随堂探究 探究　读一份有问题的记录 记录表只有“旗杆影长16 m、标杆高1.5 m”，是否已足够求旗杆高度？ 答：不够，还缺少同时测得的标杆影长。 解 比例式需要三个已知量。 不能凭经验随意补入缺失数据。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 设计测量记录表 基本信息 记录日期、时段、地点、方法与参与者。 每次读数 用同一长度单位记录，注明各量实际含义。 复测栏目 至少安排两到三次读数，并记录现场异常情况。 随堂探究 探究　示例复测：分别计算 同一标杆高1.5 m。三次同步影长记录为、、（m），分别求高度。 答：三次均为12 m。 解 分别代入。 每次使用同一行的配对数据。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 随堂探究 探究　不能跨时刻拼接数据 把第一次旗杆影长16 m与第二次标杆影长2.5 m配对，会算出多少？为何不能这样做？ 答：会算出9.6 m；数据不同步，比例前提不成立。 解 。 不同时间太阳角度可能改变。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 数据存在差异时怎么处理 先查原因 检查是否读错单位、漏掉底座、标杆倾斜或时间不同。 再做复测 能消除的操作错误应重新测量，保留原始记录。 合理合并 条件相同且无明显错误的结果可求平均，并报告波动。 随堂探究 探究　对接近的复测值求平均 示例中三次高度估计为11.8 m、12.1 m、12.1 m，求平均值及最大最小差。 答：平均12.0 m；极差0.3 m。 解 平均。 最大减最小为。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 随堂探究 探究　影长读数偏大的影响 在中，若只把旗杆影长读得偏大，计算高度会怎样变化？ 答：会偏大。 解 固定且为正，与成正比。 因此先核对较难辨认的旗杆影端。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 随堂探究 探究　标杆影长读数偏大的影响 若正确，只把标杆影长读得偏大，高度会怎样变化？ 答：会偏小。 解 分子不变，正分母变大，商变小。 短影子读数的小误差可能明显影响结果。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 报告应包含哪些内容 方法与图 说明选择方案的原因，图上标清对应三角形与长度。 数据与过程 列原始数据、相似依据、比例式与计算。 结论与反思 说明高度估计、精度与误差来源，给出改进方法。 随堂探究 探究　把结论写得有依据 只有“旗杆高12 m”一句话是否是一份完整的测量结论？ 答：不完整。 解 还应说明采用什么方案、数据怎样获得、计算依据是什么。 若为估测，宜写“根据本次测量，估计约为……”并说明精度。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 课堂实施与交流 小组行动 按方案完成测量，图、读数和计算由不同同学交叉复核。 展示讨论 交换报告，检查三角形对应、数据单位与相似前提。 保留空白 尚未实测的读数留空，待现场完成后填写。 课堂练习 辨析　测量报告的判断 （1）示例数据可以直接写成自己学校的实测数据。 × 理由：必须区分示例与实际测量。 （2）镜面测高应采用眼高。 √ 理由：光线到达眼睛，模型对应眼高。 （3）不同时间的数据可以任意配成一组。 × 理由：每组数据要满足同时测量条件。 方法：把数学模型与数据来源一起核验 注意：所有实测结论都要能回到原始记录 课堂总结 本课知识与方法 定方案 选测影或镜面模型 取数据 统一单位、同步记录 算高度 证相似并列比例 写报告 数据、过程、误差齐全 特别提醒：示例读数不能替代实际测量记录。 针对训练 训练1　明确待求量 测量任务中的待求量是什么？用哪个字母表示方便？ 答：旗杆的竖直高度，可记为。 解 先定义量，才能在图中对应线段。 方法：先明确测量对象 注意：高度不等于斜线长度 针对训练 训练2　测影必需量 测影法除旗杆影长外，还需哪些数值？ 答：标杆高度与同一时刻标杆影长。 解 三个已知量确定。 方法：按公式检查信息 注意：不能漏掉分母的影长 针对训练 训练3　写出测影公式 标杆高、影长，旗杆影长，写。 答：。 解 两相似三角形对应边成比例。 方法：先证相似后列比 注意：所有长度单位相同 针对训练 训练4　单位转换 标杆高150 cm，影长2 m，代入以米为单位的公式时高取多少？ 答：1.5 m。 解 100 cm=1 m。 方法：统一单位 注意：不要直接把150与米数混用 针对训练 训练5　示例计算一 标杆高1.2 m、影长1.5 m，旗杆影长15 m，求高。 答：12 m。 解 。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练6　示例计算二 标杆高2 m、影长2.5 m，旗杆影长17.5 m，求高。 答：14 m。 解 。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练7　镜面必需量 镜面测高公式中的竖直已知量是身高、眼高还是镜高？ 答：眼高。 解 所选光线连接眼睛与镜子。 方法：确定光线终点 注意：身高不是对应三角形的高 针对训练 训练8　镜面示例 眼高1.5 m，镜距旗杆8 m、距观察者垂足1 m，求旗杆高。 答：12 m。 解 。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练9　数据配对 上午的旗杆影长与下午标杆影长能否直接配对？ 答：不能。 解 太阳角度可能改变，应使用同时数据。 方法：维护测量前提 注意：只看长度比不够 针对训练 训练10　平均结果 三次估高13.8 m、14.1 m、14.1 m，求平均。 答：14.0 m。 解 三次总和42 m，除以3。 方法：无明显错误后再平均 注意：平均不能修复错误模型 针对训练 训练11　误差方向 旗杆影长读小了，其他量准确，高度估计偏大还是偏小？ 答：偏小。 解 高度与旗杆影长成正比。 方法：只改变一个量比较 注意：其余量保持不变 针对训练 训练12　有效记录 两组都算出12 m，但一组没有记录原始长度，可以只保留答案吗？ 答：不可以。 解 原始数据让计算可复核，也便于分析误差。 方法：保留过程证据 注意：答案相同不代表方法可复核 针对训练 训练13　应用：两法互检 测影法得到12.0 m，镜面法得到12.2 m。两者相差多少？下一步应做什么？ 答：相差0.2 m；检查条件并复测。 解 m。 检查水平、竖直、眼高、影端和卷尺读数。 方法：用不同方法交叉检验 注意：不能只挑自己喜欢的结果 针对训练 训练14　应用：完整报告计算 示例记录：标杆高1.6 m，三组同步影长为、、（m）。给出高度估计并写一句有依据的结论。 答：三次均为12 m，可写“按同时测影法，示例数据估得旗杆高约12 m”。 解 每组均满足。 实际报告需替换为本校现场记录。 方法：同组代入并核验复测一致性 注意：示例不冒充现场实测 方法总结 把方法带到下一题 设计与验证 （1）先说明相似成立的现场条件 （2）用另一种方法或复测核验结果 记录与报告 （1）保存每次测量的原始数据 （2）结论包含单位、近似和误差说明 $