18.2 黄金分割（第1课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第18章 相似形 18.2 黄金分割 （第1课时）黄金比的推导与黄金分割点作图 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 这一课要解决什么 理解 理解黄金分割、黄金分割点和黄金比。 运用 会求黄金分割后的长短两段。 表达 能用代数与几何两种方法说明作图依据。 复习引入 从五角星的一条线段说起 量一量 在五角星的水平线段上找出分点，比较较长段与全长。 猜一猜 这一比值是否只由图形的结构决定？ 随堂探究 探究　比较两种比 一条线段分成较长段6.18与较短段3.82，求较长段与全长、较短段与较长段的比。 答：两个比都约为0.618。 解 全长为10，。 。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 观察与证明怎样衔接 观察 测量能帮助发现接近0.618的比例。 证明 精确结论要用等式建立，不能由一次测量直接断定。 知识讲授 黄金分割 点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比。 这里为较长段，为较短段。 长段比全长，等于短段比长段。 知识讲授 把定义译成等积式 比例关系 。 等积关系 。 随堂探究 探究　先把全长看成1 设，且，用表示并列出方程。 答：，。 解 。 交叉相乘并移项。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 随堂探究 探究　求出黄金比 解方程，并结合线段长度选择合适的根。 答：。 解 两根为与。 负根不符合线段长度为正，舍去。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 精确值与近似值 精确值 黄金比为。 近似值 保留三位小数约为0.618；0.618不是精确值。 随堂探究 探究　求另一段占全长的比例 若较长段占全长的比例为，较短段占全长的比例是多少？ 答：。 解 两段之和等于全长。 用1减去较长段的比例。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 求长度的两条公式 较长段 全长为，较长段为。 较短段 较短段为，两段相加为。 随堂探究 探究　给定全长求长短段 把长10 cm的线段黄金分割，求较长段和较短段。 答：较长段 cm；较短段 cm。 解 分别用全长10乘两个比例。 近似为6.180 cm和3.820 cm。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 作图准备 给定 给定线段，求作黄金分割点。 工具 直尺与圆规；先在端点处构造直角三角形。 知识讲授 作图第一步 作垂线 过点作。 截取长度 使，准备利用勾股定理。 知识讲授 作图第二、三步 在斜边上取点 连接，在上截取。 回到原线段 在上截取，得到点。 随堂探究 探究　作图为什么成立 设，则，求和。 答：，。 解 由勾股定理，。 。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 随堂探究 探究　把长度还原为比例 在上述作图中，，，为什么是黄金分割点？ 答：，等于黄金比。 解 是所求较长段。 其与全长的比符合黄金分割的精确值。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 课堂练习 练习　比较短段与长段 已知点是线段的黄金分割点，求的近似值（结果精确到0.001）。你发现了什么规律？用式子怎样表示？ 答：；。 解 沿用本节为较长段的标记。 黄金分割定义已经给出两个比相等。 方法：先读条件，再说明依据 注意：不能只凭图形外观判断 随堂探究 探究　练习变式：交换分点方向 线段长10 cm，黄金分割点一定只有一个吗？ 答：有两个。 解 以为起点，较长段约6.18 cm，得一个分点。 以为起点同样作出一个分点，两点关于中点对称。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 黄金矩形的含义 宽与长 宽与长的比值等于黄金比的矩形称为黄金矩形。 构造 先确定长，再按黄金比得到宽，作矩形。 随堂探究 探究　画一个黄金矩形 已知矩形长8 cm，宽应取多少才能成为黄金矩形？ 答：宽为 cm，约4.944 cm。 解 宽=长×黄金比。 长度关系满足宽小于长。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 随堂探究 探究　去掉正方形以后 黄金矩形长为1、宽为，其中。截去边长的正方形，余下矩形仍是黄金矩形吗？ 答：仍是黄金矩形。 解 余下长为、宽为。 ，宽长比保持不变。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 阅读：不仅仅是美 数学联系 将周角分成137.5°与222.5°，两者的比约为0.618。 表达边界 阅读材料中的自然现象是近似举例，不能据此断言所有生物都严格符合黄金比。 随堂探究 探究　用计算核对阅读中的近似 计算，保留三位小数，并与黄金比比较。 答：约为0.618，与黄金比近似。 解 。 近似相等不等于精确相等。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 课堂练习 辨析　黄金分割的三个判断 （1）黄金比精确等于0.618。 × 理由：0.618是保留三位小数的近似值。 （2）黄金分割把线段分成相等两段。 × 理由：较长段约占0.618。 （3）短段与长段的比等于长段与全长的比。 √ 理由：这是定义中的比例关系。 方法：回到定义和精确值 注意：不要把黄金分割当作二等分 知识讲授 反向求全长 已知较长段 若较长段为，全长为，为黄金比。 再求较短段 用全长减去较长段，不把两个比混淆。 随堂探究 探究　一道反向计算 黄金分割后较长段为2 cm，求全长的精确值。 答： cm。 解 全长。 分母有理化得到。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 课堂总结 本课知识与方法 定关系 长/全=短/长 求比值 列方程，取正根 求长度 总长乘相应比例 作分点 构造直角三角形 特别提醒：0.618是近似值，求精确长度保留根式。 针对训练 训练1　识别定义 长段为、短段为，写出黄金分割关系。 答：。 解 全长是。 方法：先认清长段短段全长 注意：不要颠倒分母 针对训练 训练2　判断分割 线段分为6 cm和4 cm，是否黄金分割？ 答：不是。 解 ，。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练3　精确值选择 黄金比是还是？ 答：。 解 长段小于全长，所求比小于1。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练4　长段近似值 将全长20 cm黄金分割，较长段约多少厘米？ 答：约12.36 cm。 解 。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练5　短段近似值 将全长15 cm黄金分割，较短段约多少厘米？ 答：约5.73 cm。 解 。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练6　比较两个比 黄金分割中，长段:全长与短段:长段是否相等？ 答：相等。 解 两者都是黄金比。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练7　精确求长段 把长6 cm的线段黄金分割，求长段精确值。 答： cm。 解 。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练8　精确求短段 把长4 cm的线段黄金分割，求短段精确值。 答： cm。 解 全长减长段。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练9　方程核验 设，证明。 答：等式成立。 解 是的正根。 移项得到。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练10　反求全长 长段为 cm，求原线段全长。 答：2 cm。 解 用长段除以黄金比。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练11　作图求斜边 在Rt△中，，，，求。 答： cm。 解 。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练12　辨析二等分 线段中点能否同时是黄金分割点？ 答：不能。 解 中点分出的长段/全长为。 短段/长段为1，两比不等。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练13　应用：展板比例 设计宽长比为黄金比的展板，长120 cm，宽约多少厘米？ 答：约74.16 cm。 解 。 方法：先确定比的方向 注意：黄金比是宽除以长 针对训练 训练14　应用：装饰线分段 一条长2 m的装饰线按黄金分割设置灯点，灯点离较近端约多少米？ 答：约0.764 m。 解 较近端对应较短段。 。 方法：先判断所求是哪一段 注意：不是用总长乘0.618 方法总结 把方法带到下一题 代数方法 （1）用长段、短段、全长列比例 （2）解方程后舍去不合题意的根 几何作图 （1）作半长的垂线段 （2）用勾股定理说明作图依据 $