18.1 比例线段（第1课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第18章 相似形 18.1 比例线段 （第1课时）比例线段的概念与比例的基本性质 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 这一课要解决什么 理解 知道四条线段成比例的含义。 运用 会用比例的基本性质判断、求值。 表达 能说明比例变形的依据和分母条件。 复习引入 从同一地图的缩放说起 观察 两幅大小不同的北京市地图，地点的相对位置相同。 操作 分别测量两图中相对应的两段距离，比较它们的比值。 随堂探究 探究　测量结果怎样比较 大图两段距离为6 cm、9 cm，小图对应距离为4 cm、6 cm，两次缩放的比相同吗？ 答：相同，都为。 解 ，。 对应距离虽不同，比值保持一致。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 什么是比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 判断的是四条线段之间的数量关系。 列比之前先统一长度单位。 知识讲授 写比例时看清次序 四个量 中，为外项，为内项。 比的意义 同单位线段长度相比，得到无单位的比值。 例题讲解 例 1 线段，，，。请判断这四条线段成比例吗？并说明理由。 答：这四条线段成比例。 解 ，。 所以。 方法：从已知条件建立关系 注意：先确定对应关系 随堂探究 探究　例1变式：换一种排列 仍用1、2、3、6这四个长度，能写出不同于的比例式吗？ 答：。 解 两边同为。 调换次序后要重新核对比值，不能任意排列。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 随堂探究 探究　从等比到等积 若，怎样消去分母？ 答：。 解 比例式两边同乘。 由分母有意义，且。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 比例的基本性质 如果，那么。 两外项的积等于两内项的积。 先确认比例式有意义。 知识讲授 从等积回到比例 如果，且，那么。 等式两边同除以非零数。 不能省略分母不为零的条件。 随堂探究 探究　等积判断更快捷 线段长2、5、6、15依次作为比例四项，成比例吗？ 答：成比例。 解 ，。 内项积与外项积相等。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 等积式可以怎样变形 选分母 从出发，选取非零的乘积作除数。 举例 若各量非零，除以可得。 例题讲解 例 2 如图，在中，分别是上的点，且。由此还可以得到哪些比例式？并对其中一个比例式简述成立的理由。 答：，。 解 由已知两边同时加1，得。 利用，。 方法：从已知条件建立关系 注意：先确定对应关系 随堂探究 探究　例2变式：给定部分比 ，求与。 答：，。 解 把一边分为2份与3份，全长就是5份。 对应另一边也按相同比例分段。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 合比的依据 直接变形 。 同加一个数 若，两边同时加1后仍相等。 知识讲授 差比的依据 直接变形 。 同减一个数 若，两边同时减1后仍相等。 课堂练习 练习1 在如图所示的三个矩形中，哪两个矩形的长和宽是成比例线段？ 答：第一个和第三个矩形。 解 ，。 第二个矩形长宽比。 方法：先读条件，再说明依据 注意：不能只凭图形外观判断 课堂练习 练习2 证明：如果，那么，。 答：两个等式都成立。 解 两边同时加1，得到第一个等式。 两边同时减1，得到第二个等式。 方法：把新比例拆成原比例与1 注意：都不能为0 课堂练习 练习3 已知，求： （1） （2） 解第（1）题 。 解第（2）题 。 方法：拆分分子 注意：分母保持为b 方法：拆分分子 注意：减法次序不交换 随堂探究 探究　练习3变式：分母也变化 已知，求。 答：。 解 设，。 原式。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 设份数法 设元 可设。 约去公共因子 所有相关式子都用同一个，化简后公共因子约去。 随堂探究 探究　反例检查：不能同加分子 ，把两边分子都加1，比例还成立吗？ 答：不成立。 解 ，。 同加1的对象应是整个比值。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 随堂探究 探究　解比例方程 线段长度满足，求。 答：。 解 。 解得，长度为正，符合题意。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 随堂探究 探究　统一单位后再判断 30 cm、0.5 m、12 cm、20 cm依次成比例吗？ 答：成比例。 解 0.5 m=50 cm。 。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 课堂练习 辨析　容易忽略的条件 （1）由一定能写成。 × 理由：还需非零。 （2）比例线段比较前应统一单位。 √ 理由：否则数值的比没有同一尺度。 方法：同时检查等式与分母 注意：长度通常为正，字母比例仍须看条件 知识讲授 用两种方法交叉检查 比值法 分别计算两个比，检查是否相等。 乘积法 比较外项积与内项积，避免循环小数造成误判。 随堂探究 探究　一道题中的两种关系 已知，且，求。 答：。 解 设，则。 ，分别求出。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 课堂总结 本课知识与方法 认比例 统一单位，比值相等 用性质 外项积等于内项积 变比例 合比、差比或设份数 解问题 列比例，检验结果 特别提醒：比例变形必须保留非零分母条件。 针对训练 训练1　判断比值 2、3、8、12依次成比例吗？ 答：成比例。 解 。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练2　选择比例式 已知且，选择正确式：A.；B.。 答：选B。 解 等式两边同除以。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练3　单位转换 60 cm与1.5 m的比是多少？ 答：。 解 1.5 m=150 cm。 。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练4　求第四比例项 ，求。 答：。 解 。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练5　合比求值 ，求。 答：。 解 设，和为。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练6　差比求值 ，求。 答：。 解 。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练7　换分母 ，求。 答：。 解 设，全量为。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练8　由差比还原 ，求。 答：。 解 。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练9　证明等比变形 且，证明。 答：结论成立。 解 原式推出。 两边除以。 方法：从等积式变形 注意：新增分母也必须非零 针对训练 训练10　用和确定长度 两线段长度比5:7，长度之和36 cm，求各长。 答：15 cm与21 cm。 解 12份共36 cm，每份3 cm。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练11　用差确定长度 两线段长度比3:8，长度相差20 cm，求各长。 答：12 cm与32 cm。 解 5份相差20 cm，每份4 cm。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练12　检验错误比例 ，有人写，一定正确吗？ 答：不一定正确。 解 取，新比为。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练13　应用：地图距离 地图上4 cm对应实际10 km。相同地图上7 cm对应实际多少千米？ 答：17.5 km。 解 比例尺相同，。 解得。 方法：相同尺度下列对应比 注意：保持图距与实距的排列一致 针对训练 训练14　应用：按比例配料 实验材料甲乙按质量比2:7混合，共需450 g，应各取多少克？ 答：甲100 g，乙350 g。 解 9份共450 g，每份50 g。 甲取2份，乙取7份。 方法：把总量分成相应份数 注意：核验两份质量之和 方法总结 把方法带到下一题 比值与乘积互检 （1）先统一单位，再列对应比 （2）用交叉乘积检查计算 设份数解决和差问题 （1）同一比例使用同一份数t （2）利用和或差确定t $