18.7 应用举例（第1课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第18章 相似形 18.7 应用举例 （第1课时）影长测高、河宽测量与小孔成像 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 这一课要解决什么 理解 用相似三角形解释影长测高、河宽与小孔成像。 运用 能从实际情境中提取数学图形。 表达 会说明测量条件，检查比例中的长度含义。 复习引入 泰勒斯怎样测出金字塔高度 可测量 短木棍的高度与影长，金字塔的影长。 待求量 把难以直接测量的高度转化为可测长度的比例。 知识讲授 把影子现象画成直角三角形 竖直与水平 物体竖直、地面水平，产生一对直角。 同一时刻 太阳光近似平行，光线与地面形成相等的角。 随堂探究 探究　证明影长模型中的相似 木棍与金字塔均竖直，同一水平地面上同时测影，为什么两个三角形相似？ 答：一对直角与一对太阳光形成的角分别相等。 解 物高垂直地面，直角相等。 太阳光近似平行，倾斜角相等，满足两角判定。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 随堂探究 探究　列出高度与影长的关系 设两物体高为，影长为，同一时刻相同水平地面上怎样列比例？ 答：，或。 解 高度对应高度，影长对应影长。 固定先后次序列比。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 随堂探究 探究　金字塔高度计算 木棍高1 m，影长2 m；同时测得金字塔影长274 m。求金字塔近似高度。 答：约137 m。 解 。 m。 方法：建立同时影长比例 注意：影长从物体顶点的竖直投影量到影端 随堂探究 探究　金字塔影长从哪里量起 金字塔的顶点投影在底面内部，若只量到外边缘的影长，能直接当作完整影长吗？ 答：不能。 解 完整影长从塔顶在地面的竖直投影算起。 应把投影到边缘的相应水平距离补进去。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 随堂探究 探究　影长模型变式 同一时刻，1.5 m标杆影长2 m，大树影长12 m，求树高。 答：9 m。 解 。 直接相乘得。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 测量影长时注意什么 同时 太阳高度角会变化，尽量同步测量两物体影长。 同面 地面应平整，竖杆应垂直于地面。 同端点 影长是从物体底端的竖直投影到顶端影点的距离。 知识讲授 河宽怎样转化为岸上距离 布点 在对岸选目标，近岸选，使。 连线 确定与的交点，测量岸上距离。 随堂探究 探究　从河宽图中找相似 在河宽图中，，，写出相似三角形。 答：。 解 对顶角相等。 两直角对应相等，由两角判定。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 随堂探究 探究　计算河宽 在河宽测量图中，，求。 答：。 解 。 m。 方法：用相似把河宽换成岸上长度 注意：是两条直线交点，不是任意分点 随堂探究 探究　河宽问题变式 若布点方式不变，，河宽是多少？ 答：18 m。 解 。 。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 河宽模型中的对应表 待求与已知 河宽对应岸上垂线。 水平距离 对应。 斜线 对应，无需直接测量这两段也可求河宽。 随堂探究 探究　为什么不把AB代入比例 河宽图中已知，若误把写成，会发生什么？ 答：会算成24，而正确结果是16。 解 对应小三角形的水平边是，不是。 比值必须使用所选三角形自身的边。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 小孔成像中的几何关系 光线 光沿直线传播，上端成像在下方。 图形 物与像平行，两条通过小孔的光线形成交叉三角形。 随堂探究 探究　小孔成像的相似依据 图中物体与像平行，两条光线交于孔，为什么？ 答：平行线所成角与对顶角分别相等。 解 为对顶角。 物与像平行，另一组角相等。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 随堂探究 探究　由像高求距离 火焰高2 cm，倒立的像高5 cm，火焰根到孔的距离4 cm，求像点到孔的距离。 答：。 解 。 cm。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 随堂探究 探究　小孔成像变式 物高3 cm，像高6 cm，物上对应点到孔距离5 cm，像点到孔距离是多少？ 答：10 cm。 解 像与物的相似比为2。 对应距离也扩大2倍。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 课堂练习 练习1 在某一时刻，有人测得一高为1.8 m的竹竿的影长为3 m，某一楼的影长为60 m，那么楼的高度是多少米？ 答：36 m。 解 。 m。 方法：先读条件，再说明依据 注意：不能只凭图形外观判断 课堂练习 练习2 小明打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5 m的位置上，其他条件如图，求球拍击球的高度（假设网球的运行路线是直线）。 答：。 解 大三角形水平底边为 m。 ，所以 m。 方法：以落地点为公共顶点找相似 注意：10 m是击球点到网的水平距离 随堂探究 探究　网球模型变式：改变落点 仍在离网10 m处击球，网高0.8 m，球落在网后4 m，按直线模型求击球高度。 答：2.8 m。 解 总水平距离 m。 m。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 从实际到数学的四步 建模 找出水平、竖直、平行光线等几何条件。 论证 选取三角形，说明两角对应相等。 计算 列对应边比例，求值后写单位并解释。 随堂探究 探究　估算能帮助检查答案 楼影长为竹竿影长20倍，竹竿高1.8 m。答案若为3.6 m，怎样快速发现错误？ 答：高度也应为20倍，3.6 m只为2倍。 解 相似缩放应使用同一倍数。 预估约几十米，再检查乘法小数点。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 课堂练习 辨析　模型前提辨析 （1）不同时间测到的影长都可直接作比例。 × 理由：太阳角度变化，不能保证相似。 （2）影长是物体顶端在地面的竖直投影到顶端影点的水平距离。 √ 理由：必须找准与高度对应的完整底边。 （3）把网球运行路线视为直线是题设假设。 √ 理由：计算结论属于该简化模型。 方法：先说前提再用模型 注意：实际运动不应被误说成严格直线 随堂探究 探究　选一个可测的量 在河宽模型中，若已知，还需要测哪一条岸上距离就能求？ 答：。 解 。 这三个量都能在可到达岸边测量。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 应用题答案如何表述 写清对象 回答的是楼高、河宽还是像点到孔的距离。 说明近似 测量数据和模型都有误差，结果按题意保留精度。 核验方向 较长影子通常对应较高物体，倒立的像长度仍取正数。 课堂总结 本课知识与方法 抽图形 找直角与平行关系 证相似 两组对应角相等 列比例 整边与对应边配对 回实际 检查单位、精度与假设 特别提醒：先说明模型条件，尤其是同时测影和完整影长。 针对训练 训练1　影长求高 同一时刻2 m标杆影长3 m，树影长9 m，求树高。 答：6 m。 解 。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练2　影长反求 同一时刻1.2 m杆影长0.8 m，高9 m物体影长多少米？ 答：6 m。 解 。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练3　反求标杆高 同一时刻、同一水平地面上，竖直物体高18 m、影长12 m，竖直标杆影长1 m，求杆高。 答：1.5 m。 解 。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练4　完整影长 物体顶点投影到边缘4 m，边缘到影端8 m，完整影长多少米？ 答：12 m。 解 两段在同一影线方向且首尾相接，故相加。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练5　河宽计算 按本课河宽布点，（m），求。 答：21 m。 解 。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练6　河宽反求 同样布点，河宽24 m，，求。 答：8 m。 解 。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练7　像距求值 物高4 cm，像高10 cm，物上对应点到孔6 cm，求像点到孔距离。 答：15 cm。 解 。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练8　像高求值 物高6 cm，物距8 cm、对应像距12 cm，求像高。 答：9 cm。 解 像比物为。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练9　模型判断 树与标杆在坡度不同的地面上，直接使用影长比例是否可靠？ 答：不可靠。 解 竖直高度与两段地面可能形成不同夹角。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练10　运动模型总长 击球处离网8 m，落点离网4 m，总水平距离是多少？ 答：12 m。 解 以落点为共同顶点，底边包括两段。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练11　击球高度 网高0.9 m，击球点离网8 m，落点离网4 m，按直线模型求击球高。 答：2.7 m。 解 。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练12　错解诊断 河宽图中，有人写，哪里错了？ 答：把对应比的次序倒置。 解 对应时，应对应。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练13　应用：校园测高 同时测得1.6 m标杆影长2 m、教学楼完整影长22.5 m，估算楼高。 答：18 m。 解 。 方法：同步测影并核对投影起点 注意：地面水平且杆竖直 针对训练 训练14　应用：简易投影盒 投影盒中物高5 cm，想成像高8 cm。物上对应点到小孔10 cm，像点应离小孔多远？ 答：16 cm。 解 相似比为。 。 方法：先定所需放大倍数 注意：距离必须取对应点到孔的线段 方法总结 把方法带到下一题 相似测量法 （1）把不可到达量换成可测长度 （2）用两角相等说明相似依据 实际量核验法 （1）检查整段、部分与测量起点 （2）估计数量级并注明单位 $