19.2 二次函数的图象（第4课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第19章 二次函数和反比例函数 19.2 二次函数的图象 （第4课时）y=a(x-h)²+k的图象 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 今天要学会什么 观察与表达 认识顶点式的图象和平移关系。 学习成果 会读顶点与对称轴，求坐标轴交点，结合关键点画示意图。 知识讲授 把两种平移合起来 先左右 从到，向右3。 再上下 再加5，整体向上5，顶点从变为。 课堂练习 实践　组合平移 比较函数图象的位置关系。 （1） 、与 （2） 、与 解第（1）题 分别向上5、向下5。 括号部分相同，只比较末项。 解第（2）题 分别右3上5、左3下5。 顶点分别为、。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 知识讲授 顶点式的图象特点 1. 当时，抛物线的开口向上；当时，抛物线的开口向下。 2. 抛物线的对称轴是，顶点的坐标是。 对应函数为。 它由经过左右、上下平移得到。 例题讲解 例 2 已知二次函数。 （1） 指出图象可以看做是的图象经过怎样的变换得到的。 （2） 指出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 （3） 求图象与坐标轴的交点坐标，并画出示意图。 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解第（1）题：向右1个单位，再向上8个单位。 顶点从移到。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 例题讲解 例 2 已知二次函数。 （1） 指出图象可以看做是的图象经过怎样的变换得到的。 （2） 指出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 （3） 求图象与坐标轴的交点坐标，并画出示意图。 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解第（2）题：开口向下；；。 。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 例题讲解 例 2 已知二次函数。 （1） 指出图象可以看做是的图象经过怎样的变换得到的。 （2） 指出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 （3） 求图象与坐标轴的交点坐标，并画出示意图。 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解第（3）题：与轴交于；与轴交于。 令得；令得。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 随堂探究 探究　用对称性检查交点 例2中两横轴交点的横坐标-3和5是否符合对称性？ 答：符合，平均数为1。 解 ，与对称轴一致。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 课堂练习 练习1 指出和的图象之间有怎样的关系，画出示意图。 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 ① ② 答：第一条向左6、向下2得到第二条。 解 顶点分别为与。 二次项系数相同，形状相同。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 课堂练习 练习2 指出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 （1） （2） （3） 解第（1）题 向下；；。 直接对照顶点式。 解第（2）题 向上；；。 。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 课堂练习 练习2 指出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 （1） （2） （3） 解第（3）题 向下；；。 根式不改变读取方法。 方法：按定义或性质逐项判断 注意：结论写全条件。 知识讲授 列表不是随便选点 取点位置 先定对称轴，再在两侧取等距离的横坐标。 核对依据 同高点成对出现，顶点单独出现。 随堂探究 探究　用三个点检查草图 对于，求顶点及横坐标比顶点多1、少1的两点。 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 答：、、。 解 先写顶点，再令括号内为。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 对称轴是一条直线 书写要求 对称轴写成，不能只写数字。 点与线 顶点是一个点，须写两个坐标；两者不能混淆。 知识讲授 连接的方式决定图形 正确连线 按横坐标从小到大，用平滑曲线连接描出的点。 错误提醒 把点用线段依次连接会成为折线，无法体现抛物线形状。 随堂探究 探究　判断一点是否落在曲线上 点和哪个在上？ 答：只有在。 解 同一个只能对应一个函数值。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 形状与位置分开研究 形状因素 固定其他条件，控制开口方向及图象宽窄。 位置因素 平移保留，改变顶点位置。 随堂探究 探究　从图象返回算式 抛物线上横坐标分别为和的两点为什么一样高？ 答：代入后括号内互为相反数，平方相等。 解 二者都代入。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 作图后怎样自查 查三个要素 开口方向、对称轴和顶点是否符合表达式。 查已知点 重新代入至少一个非顶点，确认纵坐标位置。 随堂探究 探究　零点与截距的区分 求与轴的交点时，应令哪个量为0？ 答：令。 解 轴上所有点的横坐标均为0。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 合理设置坐标轴刻度 范围 使顶点与关键点都能显示在图中。 刻度 横纵轴可以采用不同单位，但每个轴内要等距。 课堂总结 本课知识 系数a 开口与形状 横坐标h 对称轴位置 纵坐标k 顶点高度 交点 横轴y=0，纵轴x=0 特别提醒：求两轴交点时，令零的变量不能写反。 针对训练 训练1　读图象特征 完成下面各题，写出必要理由。 （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 开口向下，对称轴，顶点。 把表达式与本课标准形式对照。 符号确定开口，括号确定横坐标，常数确定纵坐标。 方法：读形式与特征 注意：顶点横坐标注意相反符号。 针对训练 训练1　读图象特征 完成下面各题，写出必要理由。 （1） （2） （3） （4） 解第（2）题 开口向上，对称轴，顶点。 把表达式与本课标准形式对照。 符号确定开口，括号确定横坐标，常数确定纵坐标。 方法：读形式与特征 注意：顶点横坐标注意相反符号。 针对训练 训练1　读图象特征 完成下面各题，写出必要理由。 （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 开口向下，对称轴，顶点。 把表达式与本课标准形式对照。 符号确定开口，括号确定横坐标，常数确定纵坐标。 方法：读形式与特征 注意：顶点横坐标注意相反符号。 针对训练 训练1　读图象特征 完成下面各题，写出必要理由。 （1） （2） （3） （4） 解第（4）题 开口向上，对称轴，顶点。 把表达式与本课标准形式对照。 符号确定开口，括号确定横坐标，常数确定纵坐标。 方法：读形式与特征 注意：顶点横坐标注意相反符号。 针对训练 训练2 完成下面各题，写出必要理由。 （1） ，求时的。 （2） ，求时的。 （3） ，求时的。 （4） ，求时的。 解第（1）题 。 代入得。 先算平方，再乘系数。 方法：代入函数求值 注意：负数平方要带括号。 针对训练 训练2 完成下面各题，写出必要理由。 （1） ，求时的。 （2） ，求时的。 （3） ，求时的。 （4） ，求时的。 解第（2）题 。 代入得。 先算平方，再乘系数。 方法：代入函数求值 注意：负数平方要带括号。 针对训练 训练2　准确代入求值 完成下面各题，写出必要理由。 （1） ，求时的。 （2） ，求时的。 （3） ，求时的。 （4） ，求时的。 解第（3）题 。 代入得。 先算平方，再乘系数。 方法：代入函数求值 注意：负数平方要带括号。 针对训练 训练2　准确代入求值 完成下面各题，写出必要理由。 （1） ，求时的。 （2） ，求时的。 （3） ，求时的。 （4） ，求时的。 解第（4）题 。 代入得。 先算平方，再乘系数。 方法：代入函数求值 注意：负数平方要带括号。 针对训练 训练3　寻找对称点 完成下面各题，写出必要理由。 （1） 点在上，求同高的另一点。 （2） 点在上，求同高的另一点。 （3） 点在上，求同高的另一点。 （4） 点在上，求同高的另一点。 解第（1）题 。 对称轴，两横坐标之和为。 方法：用轴对称配对 注意：若原点在对称轴上，另一点与自身重合。 针对训练 训练3　寻找对称点 完成下面各题，写出必要理由。 （1） 点在上，求同高的另一点。 （2） 点在上，求同高的另一点。 （3） 点在上，求同高的另一点。 （4） 点在上，求同高的另一点。 解第（2）题 。 对称轴，两横坐标之和为。 方法：用轴对称配对 注意：若原点在对称轴上，另一点与自身重合。 针对训练 训练3 完成下面各题，写出必要理由。 （1） 点在上，求同高的另一点。 （2） 点在上，求同高的另一点。 （3） 点在上，求同高的另一点。 （4） 点在上，求同高的另一点。 解第（3）题 。 对称轴，两横坐标之和为。 方法：用轴对称配对 注意：若原点在对称轴上，另一点与自身重合。 针对训练 训练3 完成下面各题，写出必要理由。 （1） 点在上，求同高的另一点。 （2） 点在上，求同高的另一点。 （3） 点在上，求同高的另一点。 （4） 点在上，求同高的另一点。 解第（4）题 。 对称轴，两横坐标之和为。 方法：用轴对称配对 注意：若原点在对称轴上，另一点与自身重合。 针对训练 训练4　检验图象上的点 完成下面各题，写出必要理由。 （1） 点是否在上？ （2） 点是否在上？ （3） 点是否在上？ （4） 点是否在上？ 解第（1）题 在。 代入后。 方法：坐标代入验证 注意：不能凭图形大致位置判断。 针对训练 训练4　检验图象上的点 完成下面各题，写出必要理由。 （1） 点是否在上？ （2） 点是否在上？ （3） 点是否在上？ （4） 点是否在上？ 解第（2）题 在。 代入后。 方法：坐标代入验证 注意：不能凭图形大致位置判断。 针对训练 训练4　检验图象上的点 完成下面各题，写出必要理由。 （1） 点是否在上？ （2） 点是否在上？ （3） 点是否在上？ （4） 点是否在上？ 解第（3）题 在。 代入后。 方法：坐标代入验证 注意：不能凭图形大致位置判断。 针对训练 训练4　检验图象上的点 完成下面各题，写出必要理由。 （1） 点是否在上？ （2） 点是否在上？ （3） 点是否在上？ （4） 点是否在上？ 解第（4）题 在。 代入后。 方法：坐标代入验证 注意：不能凭图形大致位置判断。 针对训练 训练5　辨析图象语言 （1）平移抛物线会改变开口方向。 × 理由：平移不改变二次项系数。 （2）抛物线只有一个顶点。 √ 理由：顶点是它与对称轴的交点。 （3）抛物线与对称轴的交点一定是原点。 × 理由：顶点可以在别处。 方法：区分形状、位置和方向 注意：平移与翻折不同。 针对训练 训练6　从条件反求系数 已知过，求。 答：。 解 把点的横、纵坐标代入对应表达式。 由一元一次方程确定。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练7　从对称读横坐标 抛物线上两点纵坐标相同，一个点横坐标为，另一个是多少？ 答：。 解 两点横坐标平均数为对称轴横坐标。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练8　作图顺序 的对称轴与顶点是（ ）。 A. ， B. ， C. ， D. ， 答：选D。 解 顶点式中的。 方法：读取顶点式中的h、k 注意：逐项核对条件，不凭外形猜测。 针对训练 训练9　核对错误数据 某同学说在时函数值是0。这句话一定正确吗？ 答：不正确，此时。 解 把取为对称轴横坐标，平方项等于0。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练10　在图与式之间转换 给定，写出图象与轴交点。 答：。 解 与轴相交时。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练11　一组对称点 在上取与，两点纵坐标是什么？ 答：都为。 解 两点到对称轴的水平距离都为2。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练12　图象能否重合 与能通过水平平移重合吗？ 答：不能，仅水平平移不改变顶点纵坐标。 解 两个顶点的纵坐标相差1。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练13　实际应用：喷水轨迹 喷泉轨迹（米），求最高点位置与落地点横坐标（取）。 答：最高点；落地点横坐标6。 解 顶点直接读得；令解得或6。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练14　实际应用：通道净高 通道截面（横纵坐标单位均为米），车顶两角横坐标为2与4，求这两处拱顶高度。 答：两处均为4m。 解 到对称轴距离均为1。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 方法总结 把本课方法带走 读顶点式作图 （1）先找顶点与对称轴 （2）再取成对点或坐标轴交点 分析组合平移 （1）比较前后顶点坐标 （2）保持二次项系数不变 $