18.5 相似三角形的判定（第1课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第18章 相似形 18.5 相似三角形的判定 （第1课时）平行构造与两角分别相等 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 这一课要解决什么 理解 理解平行线截三角形得到相似三角形。 运用 掌握两角分别相等的相似判定。 表达 能在重叠、交叉和旋转图形中找相等角。 复习引入 从定义出发寻找简便判定 已有知识 三组对应角相等、三组对应边成比例，可判定两个三角形相似。 本课问题 是否用更少的条件，就能保证全部对应关系成立？ 随堂探究 探究　平行给了哪些相等角 在中，分别在上且，找出三组相等角。 答：为公共角，，。 解 平行线的同位角相等。 对应角已全部找到。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 随堂探究 探究　平行还给了哪些边的比 在同一图形中，，能否直接得到？ 答：可以，但还需证明也与它相等。 解 平行线分两边成比例给出前两组比。 第三边并不在原来的两条截线上。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 把第三边移到底边上 辅助线 过作，交于。 平移关系 四边形是平行四边形，因此。 随堂探究 探究　完成第三边的比例证明 在上述图形中，且，怎样证明？ 答：。 解 平行截线给出。 两边用1相减，得到。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 平行线构造相似三角形 平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似。 平行先给对应角相等，再给三组对应边成比例。 证明建立在相似三角形的定义上。 随堂探究 探究　平行判定随堂运用 ，，，求。 答：。 解 。 。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 尝试只给两对相等角 作图 分别作两个三角形，使两组对应角都等于指定角。 观察 第三组角也相等，对应边的比看起来相同。 证明任务 测量只能提出猜想，需要把它转化为严格论证。 知识讲授 两角判定的证明思路 截取对应边 在或其延长线上截取。 构造相似 过作，使。 随堂探究 探究　把新三角形与目标三角形比较 已知。构造后，与有什么关系？ 答：全等。 解 。 两角及其夹边对应相等，用ASA判定全等。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 两角分别相等的判定 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似（简记为“两角分别相等，两三角形相似”）。 不必再证明第三组角相等或逐一验证三组边比。 相似式仍需按角的对应关系书写。 随堂探究 探究　一个角为什么不够 两个三角形各有一个60°角，是否一定相似？ 答：不一定。 解 可分别取角组60°、60°、60°与60°、40°、80°。 只有一组角相等，不能保证形状相同。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 随堂探究 探究　直角与等腰的快捷判断 一个锐角对应相等的两个直角三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？ 答：两种情形都相似。 解 直角三角形还有一组90°角相等。 等腰三角形顶角相等，其底角也对应相等。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 例题讲解 例 1 在中，是斜边上的高，请找出图中的相似三角形，并说明理由。 答：。 解 公共锐角与直角给出。 同理。 方法：从已知条件建立关系 注意：先确定对应关系 随堂探究 探究　例1延伸：一条直角边的平方 由，怎样得到？ 答：，交叉相乘即可。 解 先按相似式找出，。 两比方向保持相同。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 随堂探究 探究　例1延伸：另两条等积式 利用三个相似三角形，说明和。 答：两个关系都成立。 解 由，得。 由，得。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 随堂探究 探究　例1变式：用等积关系求高 ，是斜边上的高，求。 答：。 解 。 长度为正，取正平方根。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 例题讲解 例 2 和均为等边三角形，点分别在边上。请找出一个与相似的三角形，并说明理由。 答：。 解 。 与分别与的和都是120°，故相等。 方法：从已知条件建立关系 注意：先确定对应关系 随堂探究 探究　例2变式：同一角与120°的差 若，例2中与分别为多少度？ 答：都为72°。 解 在中，。 从点处的平角扣除60°与48°，仍为72°。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 课堂练习 练习1 在与中，，，，这两个三角形相似吗？为什么？ 答：相似。 解 。 且。 方法：先读条件，再说明依据 注意：不能只凭图形外观判断 课堂练习 练习2 如图，，请找出图中所有的相似三角形，并说明理由。 答：。 解 四个三角形都有公共顶角。 平行线给出另一组同位角相等。 方法：先读条件，再说明依据 注意：不能只凭图形外观判断 课堂练习 练习3 梯形的两条对角线相交于点。找出图中的相似三角形，并说明理由。 答：。 解 ，内错角对应相等。 交点处还有一组对顶角相等。 方法：先读条件，再说明依据 注意：不能只凭图形外观判断 课堂练习 练习4 已知一个三角形的两个角分别为70°和65°，请你画一个和这个三角形相似的三角形。 答：任作一线段，两端分别作70°和65°的角，两射线交点形成所求三角形。 解 两组角与原三角形对应相等。 由两角判定知两三角形相似。 方法：先读条件，再说明依据 注意：不能只凭图形外观判断 随堂探究 探究　练习4变式：第三个角 所作三角形第三个角是多少？若任意改变所选底边长，相似关系是否仍成立？ 答：第三角45°，相似关系仍成立。 解 。 底边大小不影响已确定的三角形角组。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 寻找相等角的四个入口 直接条件 题目给定相等角，或两个直角。 图形位置 公共角、对顶角、平行线所成角。 间接计算 内角和、等腰三角形性质、同角的补角或余角。 课堂练习 辨析　判定与对应顺序 （1）两对角分别相等，就可判定相似。 √ 理由：这正是两角判定。 （2）两个直角三角形一定相似。 × 理由：锐角不一定对应相等。 （3）写相似式时，顶点字母可以任意排序。 × 理由：对应关系由相等角决定。 方法：先判定再按角配对 注意：不能只抄两个三角形名称 课堂总结 本课知识与方法 平行构造 由定义证明相似 两角判定 两组对应角相等 找角入口 公共、对顶、平行 规范书写 判定与顶点顺序一致 特别提醒：相似式的顶点排列应与所证的角一一对应。 针对训练 训练1　角组判断 两个三角形角组分别为40°、60°、80°与80°、40°、60°，是否相似？ 答：相似。 解 可找到两组对应相等角。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练2　缺角计算 甲三角形有35°、75°两角，乙三角形有35°、70°两角，两者相似吗？ 答：相似。 解 甲第三角70°，乙第三角75°。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练3　反例判断 甲三角形角为30°、60°、90°，乙为45°、45°、90°，是否相似？ 答：不相似。 解 只有直角相等，锐角不同。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练4　公共角判定 在上、在上，且，写出相似式。 答：。 解 公共角相等，另一组角已知相等。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练5　平行求边 在△中，分别在线段上，，，，求。 答：12。 解 平行得到相似，。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练6　等腰三角形 两个等腰三角形顶角都是36°，是否相似？ 答：相似。 解 各底角都是72°，两角对应相等。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练7　梯形中的比 ，对角线交于，，求。 答：6。 解 。 。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练8　斜边高求高 直角三角形斜边被高分成长度1和16，求高。 答：4。 解 高的平方为。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练9　斜边高求直角边 斜边长25，直角边在斜边上的对应投影，求。 答：15。 解 。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练10　找角的等量关系 ，，能否得到？ 答：能。 解 两个等式同减。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练11　给判定补条件 两个三角形已有一组角相等，再增加什么角条件足以判定相似？ 答：再有另一组对应角相等。 解 两组相等角必须属于不同顶点。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练12　相似不等于全等 两个角组完全相同的三角形一定全等吗？ 答：不一定。 解 两角保证形状，边长仍可按比例变化。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练13　应用：斜坡截面 两块直角斜坡板与地面夹角相同。小板高0.6 m、水平长1.5 m，大板水平长5 m，求高。 答：2 m。 解 两角相等，直角三角形相似。 。 方法：从直角和坡角证明相似 注意：水平距离与竖直高度对应 针对训练 训练14　应用：支架放样 两个等腰三角形支架的顶角相等。小支架底边1.2 m、腰长1.8 m，大支架底边2 m，求其腰长。 答：3 m。 解 顶角及底角对应相等，两三角形相似。 。 方法：等腰性质转化出第二组相等角 注意：使用对应腰与底边的比 方法总结 把方法带到下一题 两角定位法 （1）先找明显的公共角或直角 （2）再利用平行或角和找第二组角 由相似到等积 （1）按对应顺序列边的比例 （2）交叉相乘后选取正长度 $