18.6相似三角形的性质（教学课件）数学新教材北京版九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形性质，系统讲解对应高、中线、角平分线的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。课堂导入通过回顾已学性质，引出三角形其他元素，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以问题驱动新知探究，通过小组合作推导性质培养推理意识，结合草坪图纸、河宽测量等实例渗透模型意识。课堂小结系统归纳性质，助力学生构建知识体系，既提升学生逻辑思维与应用能力，也为教师提供清晰教学流程与丰富例题。

第十八章 相似形 18.6 相似三角形的性质 导入新课 前面，我们学了哪些相似三角形的性质？ 相似三角形的对应角相等、对应边成比例。 回顾一下，我们学三角形时，三角形除了角和边这两种元素外，还有哪些元素？ 高、角平分线、中线，周长、面积等 思考：如果两个三角形相似，那么对应的这些元素之间有什么关系呢？ 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比（重点） 理解并掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方（重点） 能运用相似三角形的性质解决相关的计算和证明问题 （难点） 新知探究 如图，∆ABC∽∆A'B'C'，且相似比为k.其中AD，A'D'分别为BC，B'C'边上的高，那么AD和A'D'的比与相似比k有什么关系? 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 ∠B=∠B′. ∠ADB=∠A′D′B′=90° 对应边的比 相似比. = △ABD∽△A′B′D′. 先找角， 新知探究 解：∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B=∠B′. 又∠ADB=∠A′D′B′=90°， ∴△ABD∽△A′B′D′. ∴= =k． 如图，∆ABC∽∆A'B'C'，且相似比为k.其中AD，A'D'分别为BC，B'C'边上的高，那么AD和A'D'的比与相似比k有什么关系? 你能得到什么结论？ 相似三角形对应高的比等于相似比. 新知探究 问题1：两个三角形相似时，它们对应角平分线的比是否也等于相似比? 问题2：两个三角形相似时，它们对应中线的比是否也等于相似比? 小组合作学习 时间：5分钟 展示小组合作学习成果 新知探究 问题1：两个三角形相似时，它们对应角平分线的比是否也等于相似比? 如图，已知△ABC∽△A′B′C′ ， AT， A′T′分别为对应角∠BAC，∠B′A′C′的角平分线=吗？ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 △ABT∽△A′B′T′. ∠BHT=∠B′H′T′ 先找角，再找边 先找两角 ∠AHB=∠A′H′B′=90° ∠B=∠B′ ∠BAC=∠B′A′C′ ∠BHT=∠BAC ∠B′H′T′=∠B′A′C′ ∠BHT=∠B′H′T′ 新知探究 问题2：两个三角形相似时，它们对应中线的比是否也等于相似比? 已知△ABC∽△A′B′C′ ，若AD，A′D′分别为△ABC，△A′B′C′的中线，则 = 成立吗？ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 △ABD∽△A′B′D′. 先找角，再找边 只找到一个角相等 再找这个角的夹边 A′ B′ C′ D′ A B C D 三角形中线的定义BD=BC,B′D′=B′C′ 新知探究 总结归纳 相似三角形的性质定理 相似三角形对应线段的比等于相似比. 1.相似三角形对应高的比等于相似比. 2.相似三角形对应的角平分线的比等于相似比. 3.相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. 新知探究 如图，有一块三角形的草坪，其中一边的长是20m.在这块草坪的图纸上，这条边的长为5cm，其他两边的长都为3.5cm，你能求出这块草坪的实际周长与面积吗? 已知一组对应边 相似比 要找出周长、面积与相似比有什么关系？ 新知探究 如图，△ABC∽△A'B'C'且它们的相似比为k，它们的周长比与k有什么关系呢？ △ABC∽△A'B'C' == 对应边成比例 为什么？ 比例的等比性质 =k 相似三角形周长的比等于相似比. 新知探究 如图，△ABC∽△A'B'C'且它们的相似比为k，它们的面积比与k有什么关系呢？ 找底和找高 ==k·k= 相似三角形面积的比等于相似比的平方. △ABC∽△A'B'C' 分别过点A、点A'作AD⊥BC于点D,AD'⊥BC于点D' D D' 例 如图，∆ABC∽∆A'B'C'，它们的周长分别为60cm和72cm, 且AB=15 cm, B'C'=24 cm. 求 BC, AC, A'B', A'C'的长 典例分析 相似三角形周长的比等于相似比. 解:∵∆ABC∽∆A'B'C', ∴=== ∴把AB=15，B'C'=24代人上式， 解得 A'B'=18，BC=20. ∴AC=60-15-20=25(cm), A'C'=72-18-24=30 (cm). 新知探究 如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'. (1)连接相应的对角线AC，A'C'，所得的∆ABC与∆A'B'C'相似吗? ∆ACD与∆A'C'D'呢?如果相似， 它们的相似比相等吗?为什么? (2)四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长比、面积比与相似比有什么关系? 如果两个五边形相似，还有相同的结论吗? 两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似 相等 四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 基础巩固题 新知应用 1、两个相似三角形对应边比为7:9，那么相似比为 ，对应边上的高之比为 ，对应边上的中线比为 ，对应角的角平分线比为 。 2、两个相似三角形对应角的角平分线比为5:4，可直接得到对应边上的高之比为 ，对应边上的中线比为 。 7:9 7:9 7:9 7:9 5:4 5:4 相 似 三 角 形 对应高的比 对应中线的比 对应角平分线的比 都等于相似比. 基础巩固题 新知应用 4、已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的面积比为（　　） A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：16 3、若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长比为（　　） A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1： D B 结论：相似三角形的周长比等于______． 相似比 结论：相似三角形面积的比等于相似比的______. 平方 基础巩固题 新知应用 5、已知△ABC与△DEF相似且相似比为4：1，则△DEF 与△ABC的对应边上的高之比为（　　） A．4：1 B．1：4 C．16：1 D．2：1 B 6．如图，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD＝4，A′D′＝3．若BE＝6，则B′E′的长为______． 　 相似三角形对应高的比等于相似比. 相似比是有顺序的. 相似三角形对应线段的比等于相似比. 基础巩固题 新知应用 8.已知两个相似三角形的周长比为2:3，它们的面积之差为40，那么它们的面积之和为　 　． 104 相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 7.两个相似三角形对应边的比为0.4，那么这两个相似三角形的周长比为 , 面积比为 . 0.4 0.16 基础巩固题 新知应用 9.如图，在正方形网格上有顶点均在格点上的△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形相似吗?如果相似，求△A1B1C1和△A2B2C2的面积比. 解：设网格中的小正方形的边长为1，则 A1B1=2B1C1=2,A1C1=4, A2B2=,B2C2=A2C2=2 ∵ ∴== ∴△A1B1C1∽△A2B2C2 △A1B1C1和△A2B2C2的面积比为4：1. 基础巩固题 新知应用 10.如图，一条河的两岸有一段是近似平行的，在河的南岸边每隔8m有一棵树，在北岸边每隔40m有一根电线杆.小红站在离南岸边30m的某一点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有两棵树，你能求出河的宽度吗?(树的宽度忽略不计). C A B D E 解： 如图，AB=40m,DE=8FG⊥AB ∵DE∥BC ∴∆CDE ∽∆CAB ∴= ∴= FG=20m F G 能力提升题 新知应用 11.如图，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD=4， A′D′=3，BE=6，求B′E′的长. ∵ AD=4， A′D′=3， BE=6， ∴B′E′=4.5. 解：∵ △ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线， 能力提升题 新知应用 12.如图，在□ABCD中，点E是CD延长线上的一点，BE与AD相交于点F， DE＝CD． (1)求证：△ABF∽△CEB； 证明∶∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AB∥CD． ∴∠ABF＝∠CEB． ∴△ABF∽△CEB． (2)若△DEF的面积为1，求□ABCD的面积. 能力提升题 新知应用 (2)若△DEF的面积为1，求□ABCD的面积. 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD． ∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF. ∵DE＝CD，∴＝()2＝，＝()2＝. ∵S△DEF＝1，∴S△CEB＝16，S△ABF＝9. ∴S四边形BCDF＝S△CEB－S△DEF＝16－1＝15. ∴S□ABCD＝S四边形BCDF＋S△ABF＝15＋9＝24. 课堂小结 对应线段 相似三角形对应高、角平分线、中线的比等于相似比 周长 面积 相似三角形的性质 相似三角形的周长比等于相似比。 相似三角形的面积比等于相似比的平方. 感谢聆听! $