18.6 相似三角形的性质（第1课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第18章 相似形 18.6 相似三角形的性质 （第1课时）对应高、周长与面积的比 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 这一课要解决什么 理解 掌握相似三角形对应高、周长和面积的比例关系。 运用 能由长度比求面积比，也能反向求相似比。 表达 会把相似多边形分成对应的三角形。 复习引入 边长都放大，面积怎样变 已知 两个相似三角形的对应边都按同一个比变化。 问题 高、周长和面积是否也按同一个比变化？ 随堂探究 探究　先用正方形猜想 正方形边长从2变成6，周长与面积分别变成原来的几倍？ 答：周长3倍，面积9倍。 解 周长由8变24，面积由4变36。 面积的变化比例与长度不同。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 从相似三角形的对应高入手 作高 分别为对应边上的高。 看直角三角形 比较与。 随堂探究 探究　对应高的比怎样证明 ，相似比为，对应高为，证明。 答：两直角三角形相似，高的比等于对应斜边比。 解 两三角形有直角，且。 。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 对应高的比 相似三角形对应高的比等于相似比。 对应高必须落在对应边上。 高是长度量，随边长按同一个比例变化。 随堂探究 探究　由边比求高 两个相似三角形的相似比为3:5，小三角形的高为9 cm，求大三角形的对应高。 答：15 cm。 解 。 解得。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 周长由三条边相加 设边长 若。 相加提取k 三条边相加，得。 随堂探究 探究　用字母证明周长比 相似三角形的三组对应边比均为，周长分别为，求。 答：。 解 每条边都是对应边的倍。 和也为对应和的倍。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 面积比多了一个长度比 面积公式 。 对应长度 底按倍变化，对应高也按倍变化。 结果 面积按倍变化。 随堂探究 探究　把面积公式写成比 ，相似比为，对应高为，求面积比。 答：。 解 面积比等于。 两因子都等于。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 周长比与面积比 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 长度与周长按一次比例变化。 面积按平方比例变化，反求边比要开正平方根。 例题讲解 例　用周长比还原各边 如图，，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且。求的长。 答：（cm）。 解 相似比，先求。 用各自周长减去已知两边，得其余边。 方法：从已知条件建立关系 注意：先确定对应关系 随堂探究 探究　例题变式：继续求面积比 在上例中，两三角形的面积比是多少？ 答：25:36。 解 周长比等于相似比5:6。 面积比为。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 随堂探究 探究　草坪的实际周长 三角形草坪图纸一边5 cm，另两边各3.5 cm；实际中5 cm对应20 m，求实际周长。 答：48 m。 解 实际另两边各为 m。 周长 m。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 随堂探究 探究　草坪的实际面积 三角形草坪三边为14 m、14 m、20 m，求面积。 答： m²，约97.98 m²。 解 底边20被高平分为两段10，高。 。 方法：先作等腰三角形底边上的高 注意：面积单位是平方米 知识讲授 把多边形分成三角形 连对应对角线 在相似四边形中连接，比较分出的三角形。 共同相似比 各组对应三角形的相似比都等于原多边形的相似比。 随堂探究 探究　分块面积的比能否相加 两个对应三角形面积分别满足，，求整个四边形的面积比。 答：仍为。 解 两等式相加。 。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 相似多边形的推广 一般地，相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 先用对应边的比例求周长比。 面积可分割为对应的三角形再相加。 课堂练习 练习1 两个相似三角形对应边的比为0.4，那么这两个相似三角形周长的比为多少，面积的比为多少？ 答：周长比0.4，面积比0.16。 解 周长比等于相似比。 面积比。 方法：先读条件，再说明依据 注意：不能只凭图形外观判断 课堂练习 练习2 在正方形网格上有和，这两个三角形相似吗？如果相似，求它们的面积比。 答：相似；面积比4:1。 解 三组对应边长分别成2:1，可用三边判定。 面积比为。 方法：先读条件，再说明依据 注意：不能只凭图形外观判断 随堂探究 探究　用格数独立核对面积比 上题两个三角形的水平底边分别为4格、2格，对应高分别为2格、1格，直接计算面积比。 答：4:1。 解 两个面积为与。 与相似性质所得结果一致。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 课堂练习 练习3 两个相似三角形的面积比是3:2，那么它们周长的比是多少？ 答：。 解 设相似比为，则。 ，周长比等于。 方法：先读条件，再说明依据 注意：不能只凭图形外观判断 随堂探究 探究　对应角平分线的比 两个三角形相似，对应角平分线的比是否等于相似比？ 答：等于相似比。 解 角平分线使对应顶角的一半仍相等。 两角判定得到对应小三角形相似，角平分线比等于对应边比。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 随堂探究 探究　对应中线的比 两个三角形相似，对应中线的比是否等于相似比？ 答：等于相似比。 解 底边中点使对应半底边仍按相似比变化。 半底边与邻边成比例，夹角相等，小三角形相似。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 课堂练习 辨析　平方关系辨析 （1）相似比为2，面积比也为2。 × 理由：面积比为4。 （2）两个相似三角形的面积比为9:16，周长比为3:4。 √ 理由：相似比取正平方根。 （3）面积相等的任意两个三角形一定相似。 × 理由：性质不能倒推成未经证明的判定。 方法：先判断所求是长度还是面积 注意：性质的前提是图形已经相似 知识讲授 把单位转换放在最前面 长度比 实际与图纸的比应先把米与厘米统一。 面积比 长度比若为1:100，面积比为1:10000。 表达 最后按题目要求写回适当单位。 课堂总结 本课知识与方法 长度 对应高、中线等比k 周长 对应边和的比k 面积 底与高共同给出k² 逆向 面积比开正平方根 特别提醒：周长和高用一次比，面积用平方比。 针对训练 训练1　边比到周长比 相似三角形边比2:7，周长比是多少？ 答：2:7。 解 周长比等于相似比。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练2　边比到面积比 相似三角形边比3:8，面积比是多少？ 答：9:64。 解 分别平方。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练3　面积比到边比 相似三角形面积比16:25，边比是多少？ 答：4:5。 解 对面积比开正平方根。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练4　求对应高 相似比4:9，第一个三角形的高为8 cm，第二个对应高多长？ 答：18 cm。 解 。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练5　求周长 两相似三角形边比5:6，较小三角形周长35 cm，较大周长多少？ 答：42 cm。 解 。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练6　求面积 两相似三角形边比2:3，小三角形面积20 cm²，大三角形面积多少？ 答：45 cm²。 解 面积比4:9，。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练7　反求周长 两相似三角形面积比4:9，小三角形周长24 cm，大三角形周长多少？ 答：36 cm。 解 边比2:3，。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练8　判断面积翻倍 三角形的三边长全部变为原来的2倍，面积是原来的几倍？ 答：4倍。 解 相似比2，面积比。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练9　分块面积 在△中，分别在线段上，，，△面积为45，求△面积。 答：5。 解 三角形相似，面积比1:9。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练10　余下梯形面积 上一题中，梯形的面积是多少？ 答：40。 解 整体面积45减去小三角形面积5。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练11　中线长度 两相似三角形面积比25:49，小三角形中线长10，大三角形对应中线长多少？ 答：14。 解 边比5:7，中线比也为5:7。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练12　不满足前提 两个三角形周长相等，能否断定面积也相等？ 答：不能。 解 没有相似前提，不能使用面积比性质。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练13　应用：模型涂色 两块相似三角形木板对应边长20 cm与50 cm，小板面积120 cm²，大板面积多少？ 答：750 cm²。 解 大比小为。 。 方法：面积乘相似比的平方 注意：不能只乘2.5 针对训练 训练14　应用：地图面积 比例尺为1:200的图纸上，相似三角形绿地面积25 cm²，实际面积多少平方米？ 答：100 m²。 解 实际面积 cm²。 除以10000转为100 m²。 方法：先求面积比例，再换单位 注意：平方厘米与平方米相差10000倍 方法总结 把方法带到下一题 按量纲选比例 （1）先判断所求量属于长度还是面积 （2）分别使用k或k² 双向转换法 （1）边比平方得到面积比 （2）面积比开正平方根得到边比 $