18.4 相似多边形（第1课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第18章 相似形 18.4 相似多边形 （第1课时）对应关系、相似比与相似三角形 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 这一课要解决什么 理解 理解相似多边形、相似三角形和相似比。 运用 会找对应顶点、对应角与对应边。 表达 能用定义求角度、长度并辨析常见错误。 复习引入 同一照片为何仍像同一个人 观察 同一底片洗出不同尺寸的照片，大小可以不同，形状相同。 思考 只改变某一个方向的长度，还能保持原来的形状吗？ 随堂探究 探究　等比例放大与拉伸 把宽4 cm、长6 cm的矩形变成宽8 cm、长12 cm或宽4 cm、长12 cm，哪一种保持形状？ 答：宽8 cm、长12 cm的矩形。 解 第一种两个方向都放大2倍。 第二种只把长度放大，长宽比改变。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 用角与边刻画形状 对应角 在形状相同的多边形中，同一位置的内角相等。 对应边 同一位置的边按统一的比例放大或缩小。 知识讲授 相似多边形与相似比 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。 两个条件必须同时满足。 相似比需要说明前后两个图形的顺序。 知识讲授 怎样读写相似符号 记法 五边形。 顺序 表示对应顶点的字母写在对应位置上。 相似比 ，其余对应边比相同。 随堂探究 探究　正方形、矩形与菱形 两个正方形一定相似吗？两个矩形呢？两个菱形呢？ 答：正方形一定相似；矩形与菱形不一定。 解 正方形的角都是90°，各边对应成比例。 矩形可能长宽比不同；菱形可能角度不同。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 例题讲解 例 1 如图，四边形，求线段的长度和的大小。 答：，，。 解 ，求得两条边。 ，。 方法：从已知条件建立关系 注意：先确定对应关系 随堂探究 探究　例1变式：相似比的方向 例1中大四边形与小四边形的相似比是多少？反过来呢？ 答：分别为与。 解 大比小为。 交换顺序后相似比互为倒数。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 从多边形到三角形 最简单的情形 相似三角形是相似多边形中的三边形。 定义条件 三组对应角相等，三组对应边成比例。 知识讲授 相似三角形的对应关系 在和中，如果有，，，，那么和相似，记作“”。 写出相似符号之前先确定顶点对应。 角相等与边成比例都能由相似得到。 例题讲解 例 2 如图，，指出它们的对应顶点、对应边和对应角。 答：对应顶点：。 解 对应边：。 对应角：。 方法：从已知条件建立关系 注意：先确定对应关系 随堂探究 探究　例2变式：边名相近不代表对应 在中，对应吗？ 答：不对应，对应。 解 顶点依次对应。 必须按相似式的字母位置找边。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 随堂探究 探究　几类常见三角形 两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？两个等边三角形呢？ 答：直角三角形不一定；后两类一定。 解 一般直角三角形锐角可能不同。 等腰直角三角形三角为45°、45°、90°，边比固定；等边三角形亦然。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 例题讲解 例 3 如图，，。 （1） 如果，求和。 （2） 如果，求的长。 解第（1）题：，。 对应角相等，。 用三角形内角和求另一角。 方法：对应角与内角和结合 注意：不要把对应角顺序颠倒 例题讲解 例 3 如图，，。 （1） 如果，求和。 （2） 如果，求的长。 解第（2）题：。 。 。 方法：先求整边，再列对应比 注意：50是部分长度，不是AC 随堂探究 探究　例3变式：由角判断平行 在例3图形中，与有什么位置关系？ 答：平行。 解 由相似有。 这是一对同位角，故。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 相似比与全等 倒数关系 交换两个相似三角形的顺序，相似比变为倒数。 特殊情形 相似比为1时，对应边相等，两个三角形全等。 包含关系 全等三角形是相似三角形的特殊情况。 课堂练习 练习1 正方形的边长，菱形的边长，它们相似吗？请说明理由。 答：不一定相似。 解 对应边比都为2。 菱形的角不一定是90°，只有它也为正方形时才相似。 方法：先读条件，再说明依据 注意：不能只凭图形外观判断 课堂练习 练习2 矩形草坪长20 m、宽10 m，沿草坪四周有1 m宽的小路。小路的内、外边缘所围成的矩形相似吗？请说明理由。 答：不相似。 解 内矩形长宽比。 外矩形长宽比，不相等。 方法：先读条件，再说明依据 注意：不能只凭图形外观判断 课堂练习 练习3 在下面的两组图形中，各有两个相似三角形，试确定的值。 （1）图（1）求；（2）图（2）求。 答：。 解 对应边比为。 。 方法：从已知边寻找统一比值 注意：同一比例方向保持一致 课堂练习 练习3 在下面的两组图形中，各有两个相似三角形，试确定的值。 （1）图（1）求；（2）图（2）求。 答：，，。 解 内角和得，。 。 方法：先找对应角，再找对应边 注意：n、m是角度数值 课堂练习 练习4 相似与全等的关系 （1）相似三角形是全等三角形。 × 理由：相似比不一定为1。 （2）全等三角形是相似三角形。 √ 理由：角对应相等，边的比都为1。 （3）全等三角形的相似比等于1。 √ 理由：对应边等长。 （4）相似三角形的相似比一定不等于1。 × 理由：也可以为1，此时全等。 方法：用定义与特殊情况判断 注意：“一定”需要覆盖所有情况 课堂练习 练习5 如果，，那么与相似吗？请说明理由。 答：相似。 解 对应角通过中间三角形传递相等。 两组对应边比相乘，得到同一乘积。 方法：先读条件，再说明依据 注意：不能只凭图形外观判断 随堂探究 探究　练习5变式：相似比怎样传递 甲与乙的相似比为2，乙与丙的相似比为3，甲与丙的相似比是多少？ 答：6。 解 取一组对应边。 。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 知识讲授 阅读：从雪花曲线谈起 构造 从等边三角形开始，把每边三等分，在中间一段外侧作等边三角形。 相似 每次出现的小等边三角形与原等边三角形相似，体现图形的重复结构。 随堂探究 探究　雪花中的缩小比例 第一步作出的小等边三角形边长是原边长的三分之一。小三角形与原三角形的相似比是多少？ 答：。 解 等边三角形的三组角对应相等。 三组对应边比均为。 方法：说明理由，再形成结论 注意：注意条件是否齐全 课堂总结 本课知识与方法 定义 角相等且边成比例 对应 顶点顺序决定边角 相似比 有方向，可取倒数 求值 对应关系转化为等式 特别提醒：四边形只有角相等或只有边成比例都不够。 针对训练 训练1　相似定义辨析 两个多边形只有对应角相等，就一定相似吗？ 答：不一定。 解 长宽不同的两个矩形角相等，但边不成比例。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练2　正多边形 两个正五边形是否相似？ 答：相似。 解 对应角都相等，全部边按边长比对应成比例。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练3　相似比求值 相似多边形甲与乙的一组对应边为9 cm、6 cm，甲与乙的相似比是多少？ 答：。 解 。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练4　反向比 甲与乙的相似比为，乙与甲的相似比是多少？ 答：。 解 交换比的分子、分母。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练5　对应边识别 ，对应哪条边？ 答：。 解 ，。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练6　对应角识别 ，对应哪个角？ 答：。 解 看第二个字母的位置。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练7　求边长 ，，求。 答：12。 解 。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练8　求未知角 两个相似三角形中，一个三角形的两个角为42°、68°，另一个三角形剩下的对应角为多少度？ 答：70°。 解 。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练9　与全等联系 相似三角形中一组对应边相等，可否说明两三角形全等？ 答：可以。 解 这一组边说明相似比为1。 三组对应边都相等。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练10　传递相似比 甲与乙相似比3:4，乙与丙相似比2:5，甲与丙相似比是多少？ 答：3:10。 解 。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练11　不能只看边 两个菱形边长分别2和6，能否仅据此断定相似？ 答：不能。 解 对应边成比例，但还需对应角相等。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练12　求全长 在△中，分别在线段上，，，求。 答：12.5。 解 。 。 方法：先找数量关系，再列式计算 注意：分子、分母的对应次序保持一致 针对训练 训练13　应用：照片放大 一张照片长12 cm、宽8 cm，保持形状放大到长30 cm，宽应为多少厘米？ 答：20 cm。 解 放大比。 宽。 方法：两个方向使用同一比 注意：保持形状才可用相似 针对训练 训练14　应用：模型尺寸 两个形状相同的三角形标牌，对应边分别45 cm与18 cm。小标牌另一边24 cm，大标牌对应边是多少厘米？ 答：60 cm。 解 大比小为。 。 方法：先定大、小顺序 注意：对应关系由形状和标记确定 方法总结 把方法带到下一题 按字母配对 （1）先列顶点对应表 （2）再按端点确定对应边 用比例求边 （1）固定两个图形的先后顺序 （2）把局部长度换成完整对应边 $