18.2黄金分割（教学课件）数学新教材北京版九年级上册

该初中数学课件聚焦“黄金分割”核心知识点，通过建筑（东方明珠）、艺术（舞者、维纳斯雕像）等实例导入，以相似形为基础，引导学生观察比值、用方程推导黄金比，再通过尺规作图和实际问题应用，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以“数学眼光观察现实世界”，用生活实例激发兴趣，结合“数学思维思考”，通过方程推导和尺规作图证明培养推理能力，“数学语言表达”体现在书籍宽长比、高跟鞋问题等应用中。采用情境教学与探究式学习，课堂小结系统梳理定义和注意事项，助力学生感悟数学之美与应用价值，教师可借助丰富实例提升教学效率。

第十八章 相似形 18.2 黄金分割 导入新课 美，隐匿于万物的秩序之中。从宏伟的建筑奇观，到优雅的艺术杰作，那些令人心动的瞬间，往往遵循着一个亘古不变的数学法则—— 建筑之美 · 几何韵律 东方明珠的结构比例，完美契合黄金分割的秩序之美。 艺术之姿 · 动态平衡 舞者的肢体线条与姿态，展现出黄金分割的灵动美感。 黄金分割。 什么是黄金分割呢？ 今天，我们一起来学习它。 学 习 目 标 1 2 3 理解黄金分割的定义，能确定一条线段的黄金分割点 （重点） 掌握黄金比的推导过程，记住黄金比的近似值和精确值（重点） 能运用黄金分割的知识解决简单的实际问题，感受黄金分割在生活中的广泛应用，体会数学之美（难点） 新知探究 1.图18-3是顶角为36°的等腰三角形，请你量出底边长和腰长，并计算两者的比值。 2.图18-4是我们常见的五角星，分别量出点C到点A，B的距离，再计算的值. 3.在建筑和艺术中，比也随处可见.通过查阅资料，找一张古希腊的著名雕像--爱与美之神维纳斯的图片，量一量维纳斯的肚脐到脚底的距离，再量一量她的身高，计算它们的比值. 思考：比较这三个比值，你有什么发现？ AC=1.23cm 2..28cm AB=1.99cm 1.41cm 2.06cm 3.33cm 三个比值都接近0.618 黄金比 新知探究 公元前4世纪，古希腊数学家研究了这样一个问题:如何在线段AB上确定一个点C，使? A B C 求出AC或BC的长 那怎么求呢？ 在数学上，已知量与量之间的关系，通常用方程的思想来解决 设AB＝1，AC＝x， 则BC＝1－x . ∴ = ∵ = ∴ x2＝1×（1－x） 即x2＋x－1＝0 解这个方程，得x， x （不合题意，舍去） 所以， ≈ 0.618 在线段AB上确定一个点C 黄金分割点 新知探究 总结归纳 黄金分割： 点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC），如果 = ，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比. A B C 线段AB被点C黄金分割 黄金比 线段AB的黄金分割点 注意：一条线段存在两个黄金分割点：一个靠近端点A，另一个靠近端点B，二者对称分布，共同构成了线段的和谐比例关系。 新知探究 我们能不能用尺规作图找到黄金分割点吗？ 如图，已知线段AB，画出线段AB的黄金分割点C. （1）过点B作BD⊥AB，使BD＝AB； （2）连接AD，在DA上截取DE＝DB； （3）在AB上截取AC＝AE； 点C即为所求的黄金分割点. A B D E C 画法： 为什么说点 C 是线段 AB 的黄金分割点? 新知探究 你能说出上述画法中的道理吗？ A B D E C 设BD＝1，则AB＝2， ED＝1 . 在Rt∆ABD中，根据勾股定理得AD== 所以AE＝AD-ED=， 所以AC=AE= 所以 所以点 C 是线段 AB 的黄金分割点。 也就是说要证明 1 1 2 例1 已知线段AB的长度为10cm，点C是AB的黄金分割点（AC > BC），求线段AC和BC的长度。 典例分析 A B C 解：根据黄金分割定义： 代入 AB = 10cm： 所以，AC = ·AB ==5()= (5 - 5) cm 所以，BC = AB - AC = (15 - 5) cm 新知探究 帕提侬神庙 泰姬陵 东方明珠 蒙娜丽莎的微笑 黄金分割比被认为是美的比例关系. 研究表明：符合黄金分割的比例形式很容易使人产生视觉上的美感. 黄金分割的应用 新知探究 请你参考蒙德里安的格子画(图18-8)，尝试运用黄金矩形的相关知识，创作一幅别致的格子画，使该格子画由各种色块的小黄金矩形组成. 黄金矩形 如果一个矩形的宽与长的比正好是黄金比，人们就称它为“黄金矩形” 巴黎圣母院 建筑正面的高宽比、窗户与门廊的布局设计均巧妙融入黄金分割原理，使其成为哥特式建筑美学与数学比例完美融合的典范。 黄金矩形曾一度统治着西方的建筑美学。 基础巩固题 新知应用 1．点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果= ，那么下列说法错误的是 ( ) A．线段AB被点C黄金分割 B．点C叫作AB的黄金分割点 C．AC与AB的比叫作黄金比 D．AC＝BC D 基础巩固题 新知应用 2．已知点C是线段AB上的一个点，且满足AC2＝BC·AB，则下列式子成立的是(　　) B AC2＝BC·AB 转化 线段AB被点C黄金分割 基础巩固题 新知应用 3.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金分割比，已知这本书的长为 20 cm，则它的宽约为( ) A.12.36 cm B.13.6 cm C.32.36 cm D.7.64 cm A 基础巩固题 新知应用 4．如图，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，α与β的比通常用黄金比来设计，这样的扇子造型美观，若取黄金比为0.6，则α＝________。 135° 5.黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉 字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点，分别在习字格 的边， 上，且，“晋”字的笔画“ ”的位置在 的黄金 分割点处，且，若 ，则的长为_________ （结果保留根号）. 能力提升题 新知应用 6.已知线段 AB，点 P 是它的黄金分割点，AP＞BP，设以 AP 为边的正方形的面积为 S1，以 PB、AB 为边的矩形面积为 S2，则 S1 与 S2 的关系是（ ） A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1 = S2 D．S1≥S2 P A B C 基础巩固题 新知应用 7.自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也可能蕴含着“黄金分割”.如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AB的长度为20cm，求BP的长度. 解：根据黄金分割定义： 代入 AB = 20cm： 所以，AP = ·AB ==10()= (10 - 10) cm 所以，PB = AB - AP = (20 - 10) cm 能力提升题 新知应用 8.如图所示，乐器上的一根弦 AB = 80 cm，两个端点 A、B 固定在乐器板面上，支撑点 C 是靠近点 B 的黄金分割点，支撑点 D 是靠近点 A 的黄金分割点，则 AC= cm，DC = cm. 【解析】由黄金分割定义可知，AC = BD =×AB=(40- 40) cm， AD = AB - BD=(120 - 40) cm， 所以 DC = AC - AD=(80- 160) cm. (120 - 40) (80- 160) 能力提升题 新知应用 9.古希腊时期，人们认为最美人体的肚脐至脚底的长度与身高之比 约为 ，著名的“断臂维纳斯”便是如此.若王老师身高， 肚脐到脚底的长度为 ，为使王老师穿上高跟鞋以后更接近 最美人体比例，选择高跟鞋的跟高约为( ) B A. B. C. D. 能力提升题 新知应用 10.如图，在矩形ABCD中，AB=，AD=2,且四边形ABEF是正方形，请问:点E是线段BC的黄金分割点吗?如果是，请说明理由。 解:点E是线段BC的黄金分割点.理由如下: 由题意,得CE=BC-BE=AD-AB=2-()=3-, 所以. 又因为, 所以， 所以点E是线段BC的黄金分割点。 黄金分割： 点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC），如果 = ，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比. A B C 线段AB被点C黄金分割 黄金比 线段AB的黄金分割点 注意：一条线段存在两个黄金分割点：一个靠近端点A，另一个靠近端点B，二者对称分布，共同构成了线段的和谐比例关系。 课堂小结 感谢聆听! A．eq \f(AC,BC)＝eq \f(\r(5)－1,2) B．eq \f(AC,AB)＝eq \f(\r(5)－1,2) C．eq \f(BC,AB)＝eq \f(\r(5)－1,2) D．eq \f(CB,AC)＝eq \f(\r(5)＋1,2) $