精品解析：辽宁省实验中学2025-2026学年高二上学期期初测试数学试题

辽宁省实验中学27届高二上学期期初测试 数学 一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. 13 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用共轭复数概念以及复数的模公式求解判断. 【详解】，. 故选：D. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的四则运算法则可求得，结合复数的几何意义求解即可. 【详解】由，可得，所以在复平面内对应的点为，位于第四象限， 故选:D 3. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标表示，求出对应的m的取值范围，再根据充分必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，，，故得， 由，得，即，解得：或，故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 【点睛】本题结合向量数量积的坐标表示，考查充分必要条件，属于容易题. 4. 若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角三角函数之间的关系式可得，根据即可求得结果. 【详解】将两边同时平方可得，， 可得， 又，所以； 易知， 可得； 又，所以. 故选：B 5. 是两条不同直线，是三个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】AB选项，可举出反例；C选项，得到；D选项，作辅助线，由面面垂直的性质和线面垂直的判定定理可得D正确. 【详解】A选项，如图，满足，但不平行，A错误； B选项，若，则可能平行，可能相交，B错误； C选项，若，则，C错误； D选项，如图，设，点是平面内一点（不在上）， 过点作，垂足为，过点作，垂足为， 因为且，且，， 所以，， 又，即，故，， 又，所以，D正确 故选：D 6. 正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（ ） A. B. C. D. 19 【答案】B 【解析】 【分析】正四棱台补成正四棱锥，根据长度比例关系结合锥体的体积运算求解即可. 【详解】将正四棱台补成正四棱锥，如图所示： 因为，可知为相应棱的中点， 则，可得， 所以该棱台的体积. 故选：B. 7. 若角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件结合两角和余弦公式可得，两边平方可求，根据同角三角函数关系可得，由此可得结论. 【详解】因为，， 所以，故， 两边平方，可得，又， 所以， 因为， 所以． 故选：C． 8. 设函数，若，满足，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据得出，分别为最大值点和最小值点，再结合以及可以得到答案 【详解】，且， ，分别为最大值点和最小值点， 又， ，，整理得， 又， ，，整理得，， 又， 的最小值为4. 故选：B 9. 在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理求出，再根据三角形内角范围及余弦函数的单调性求出范围. 【详解】由余弦定理得，当且仅当时取等号， 因为，在单调递减，所以，即A的最大值为． 故选：B． 10. 如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ） A. 5 B. 10 C. 13 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】分别取线段的中点为，则可求得和，再根据即可求出. 【详解】分别取线段的中点为， 因为圆心，则， 则，， 又为边的中点，则， 则. 故选：C 二、选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 11. 已知向量，，，则的值可以是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，坐标表示，求得的值，根据的取值范围，得到的取值范围即可求解. 【详解】解：因为，，所以， 则. 因为，所以， 故.结合选项可知选ABC. 故选：ABC. 12. 把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）． A. 的最小正周期为 B. 直线是图象的一条对称轴 C. D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据辅助角公式化简可得，再由三角函数的图象变换可得，利用三角函数的周期性、对称性、单调性的判断方法依次判断各选项即可. 【详解】，则， 对于A，的最小正周期，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，令，解得， 当时，，而在的范围内，故D正确. 故选：ACD. 13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若不存在，则a的取值范围为 B. 若存在唯一，则a的取值范围为 C. 若存在两个符合条件的，则a的取值范围为 D. 若为锐角三角形，则a的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦求出，再利用正弦定理逐项分析判断. 【详解】在中，由及正弦定理， 得，而，则， 由正弦定理得， 对于A，由不存在，得，解得，A正确； 对于B，当时，，，唯一，B错误； 对于C，存在两个符合条件的，则且，解得，C正确； 对于D，当时，，则，，为钝角三角形，D错误. 故选：AC 14. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为侧面内一动点，且平面，过三点作正方体截面，则（ ） A. 三棱锥的外接球表面积为 B. 动点的轨迹是一条线段 C. 三棱锥的体积是定值 D. 若为上一点，则线段长度的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，只需判断三棱锥的外接球即正方体的外接球则可求；对于B，分别取的中点，证明平面平面，即可判断点的轨迹；对于C，根据B项结论，证明平面，得到点到平面的距离为定值即可判断；对于D，先证明为的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面即为平面，从而线段长度的最大值为线段的长，最小值为四棱锥的底面上的高即可. 【详解】对于A，由题意三棱锥的外接球即为正方体的外接球， 因正方体的棱长为2，则其外接球的直径为， 故三棱锥的外接球表面积为，故A错误； 对于B，如图，分别取的中点，连接， 因为的中点，易得，则得， 故，因平面，平面，故平面， 又因，则得，故， 因，故，同理可得平面， 且平面，故平面平面， 又因平面，故平面，故点的轨迹为线段，故B正确； 对于C，由B项分析，点的轨迹为线段，因面，故平面， 则点到平面的距离为定值，而的面积也是定值， 则三棱锥的体积是定值，故C正确； 对于D，如图，设平面与平面交于，点在上， 因平面平面，平面平面，故， 同理可证，即得，故点为的中点. 在四棱锥中，显然侧棱最长，其长度为； 设四棱锥的高为，因，故四边形是菱形， 则的边上的高为面对角线长的一半，为，又， 故，而， 由可得：，代值解得， 综上，可知线段长度的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 15. 已知向量，，若在方向上的投影向量为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的公式和数量积、模长的坐标表示列式求解即可. 【详解】设的夹角为， 由题意在方向上的投影向量为， 所以，解得， 故答案为： 16. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得. 【详解】因为， 所以 . 故答案为： 17. 函数的最大值与最小值的和为___________ 【答案】 【解析】 【分析】将函数变形为，然后利用辅助角公式将其转化为一个三角函数的形式，再结合三角函数的值域来求解的最大值和最小值. 【详解】由函数，得，化简整理得，所以， 又根据正弦函数，得，即， 解不等式得， 所以. 故答案为： 18. 三棱锥的体积为，且，，则三棱锥的外接球半径的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据体积公式可得三棱锥的高，利用正余弦定理可得外接圆的半径，进而根据勾股定理列方程，即可求解. 【详解】过点作平面于点， 取的外心为，三棱锥的外接球球心为， 连接，过作交于， 故平面,则，进而可得四边形为矩形， 由余弦定理可得, 由正弦定理可得， 又解得， 设,外接球的半径为， 则，故， 因此，故， 所以,即， 故半径的最小值为， 故答案为： 四、解答题：本题共2小题，共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求； （2）若的面积为，且∠BAC的平分线交边BC于点D，求AD的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角转化后结合余弦定理可得，即可得； （2）利用三角形面积公式，结合基本不等式求解. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得. 因为，所以. 整理得. 故. 又，故 【小问2详解】 由的面积为，得，解得， ∵为内角的角平分线，∴， 由，得， 因此， ，当且仅当时取等号. 所以线段长的最大值为. 20. 已知函数． （1）求图象的对称轴方程； （2）若关于的方程在区间内有两个不同的根． （i）求实数的取值范围； （ii）求的值（用含的代数式表示）． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得，结合正弦函数的对称性运算求解； （2）（i）由题意结合辅助角公式得．其中，利用正弦函数的值域求得答案；（ii）当时，利用正弦函数的对称性得，利用诱导公式和二倍角公式运算得解；当时，利用正弦函数的对称性得，利用诱导公式和二倍角公式运算得解. 【小问1详解】 . 令，解得， 所以图象的对称轴方程为. 【小问2详解】 （i）由， 得， 化简整理得， 则．其中， 所以在内有两个不同的根， 当且仅当，即时，满足题意， 故实数的取值范围为. （ii）当时，，则， 所以， 又， 所以， 由（i）知，所以， 故； 当时，，则， 所以， 又， 所以， 因为，所以， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省实验中学27届高二上学期期初测试 数学 一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. 13 B. C. 5 D. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 不确定 5. 是两条不同直线，是三个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（ ） A. B. C. D. 19 7. 若角满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若，满足，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 9. 在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ） A. 5 B. 10 C. 13 D. 26 二、选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 11. 已知向量，，，则的值可以是（ ） A. B. C. 2 D. 12. 把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）． A. 的最小正周期为 B. 直线是图象的一条对称轴 C. D. 在上单调递增 13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若不存在，则a的取值范围为 B. 若存在唯一，则a的取值范围为 C. 若存在两个符合条件的，则a的取值范围为 D. 若为锐角三角形，则a的取值范围为 14. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为侧面内一动点，且平面，过三点作正方体截面，则（ ） A. 三棱锥的外接球表面积为 B. 动点的轨迹是一条线段 C. 三棱锥的体积是定值 D. 若为上一点，则线段长度的取值范围为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 15. 已知向量，，若在方向上的投影向量为，则________． 16. 若，则______． 17. 函数的最大值与最小值的和为___________ 18. 三棱锥的体积为，且，，则三棱锥的外接球半径的最小值为______. 四、解答题：本题共2小题，共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求； （2）若的面积为，且∠BAC的平分线交边BC于点D，求AD的最大值． 20. 已知函数． （1）求图象的对称轴方程； （2）若关于的方程在区间内有两个不同的根． （i）求实数的取值范围； （ii）求的值（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $