第14章 全等三角形 数学活动&小结-【教材笔记】2026-2027学年八年级上册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

数学活动 活动1利用全等设计图案 图1是两个根据全等形设计的图案.仔细观察一下，每个图案中有哪 些全等形？有哪些全等三角形？你能类似地设计一些图案吗？略 注意一下你的身边，哪些是全等形？哪些是全等三角形？各找几个例 >五星红旗上的 >同样的两个三 子与同学交流 小五角星等. 角形衣架等 图1 活动2用全等三角形证明拼图猜想 如图2，△ABC≌△A'BC.把△ABC,△'BC剪下来，用它们拼 图，使边BC与边BC'重合，顶点A与顶点'不重合，画出你拼出的图 形.在你画出的图形中，连接AA',用测量、折纸等方法猜想BC,AA'有 什么关系，然后用全等三角形的知识证明你的猜想· 图2 56 教材笔记数学八年级上册RJ 小结 一、本章知识结构图 注意：“SSA”“AAA”不 能判定两个三角形全等 边角边，角边角， 角角边， 边边边，斜边、直角边 书写顺序不能颠倒 判定 证明角相等 >线段相等 全等形 全等三角形 应用 定义、性质 性质 对应边相等，对应角相等 角的平分线 >性质、判定 二、 回顾与思考 本章我们首先通过生活实例认识了全等形，了解了全等三角形及其 性质.然后，从定义出发，利用几何直观，得出了判定三角形全等的基 本事实（“边角边”“角边角”“边边边”)；由“角边角”的基本事实， 通过推理论证得到了“角角边”的判定方法；并通过证明三角形全等得 出线段相等或角相等，最后，利用全等三角形的知识进一步研究了角的 平分线. 三角形的三条边、三个角之间的关系刻画了三角形的性质，全等三 角形的性质也是用它们的对应边、对应角之间的关系刻画的，由全等三角 形的性质可知，如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等，对应角相 等，三角形全等的判定方法则指明了两个三角形的边、角分别满足什么条 件时这两个三角形全等.对于直角三角形的全等，还可以用“斜边、直角 边”来判定. 先判定两个三角形全等，再利用全等三角形的性质，可以证明线段相 等或角相等，角的平分线的性质就是用这种方法证明的.今后，我们经常 使用这种利用三角形全等研究图形性质的方法，以进一步提升我们的推理 能力. 第十四章全等三角形 57 在本章中，我们还进一步学习了尺规作图，包括作一个角等于已知 角，已知三边、已知两边和它们的夹角或已知两角和它们的夹边作三角形， 作一个角的平分线，等等.我们经历了这些尺规作图的过程，理解了这些 尺规作图的原理和方法.在几何学习中，作出规范的图形往往有利于图形 性质的发现和问题的解决，对此你在后续的学习中会有进一步的体会. 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧， 1.你能举一些实际生活中全等形的例子吗？ 2.全等三角形有什么性质？ 3.从三角形的三条边分别相等、三个角分别相等中任选三个作为条件 来判定两个三角形是否全等时，哪些是能够判定的？两个直角三角形全等 的条件是什么？ 4.你对角的平分线有了哪些新的认识？你能通过判定三角形的全等证 明角的平分线的性质吗？ 5.你能举例说明证明一个几何命题的一般过程吗？ 6.从一些基本事实出发，通过推理论证得到图形的性质是几何研究的 常用方法.结合本章的学习，你对此有什么体会 复习题14 复习巩固 1.图中有三个正方形，请你说出图中所有的全等三角形. 1.略.提示：图中有三对全等三角形， B (第1题) (第2题) 2.如图，在长方形ABCD中，AF⊥BD,垂足为E,AF交BC于点F,连接DF (1)图中有全等三角形吗？2.（1)有，△ABD≌△CDB. (2)图中有面积相等但不全等的三角形吗？ (2)有，△ABD和△AFD,△ABF和△BFD,△CDB和△AFD,△ABE和△EFD. 58教材笔记数学八年级上册RJ 3.如图，AB=AC,AD=BD=AE=CE.求证∠D=∠E (AD-AE 3.证明：在△ADB和△AEC中， DB=EC,∴，△ADB≌△4EC(SSS)」 AB=AC .∴.∠D=∠E (第3题) (第4题) 4.如图，CA=CD,∠1=∠2，BC=EC.求证AB=DE 4.路，提示：证明△ABC≌△DEC(SAS) )CA⊥AB 5.如图，海岸上有A,B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A 的正北方，海岛D在观测点B的正北方.如果从观测点A看海岛C,D的视角 ->DB⊥AB ∠CAD与从观测点B看海岛C,D的视角∠CBD相等，那么海岛C,D到观测 5.略.提示：证明△ABC≌ 点A,B所在海岸的距离CA,DB相等.请你说明理由·△BAD(AAS). D C B (第5题) (第6题) 6.如图，AB=CD,AC⊥BD,垂足为E,AE=CE.求证BE=DE 6.路 是示：证明Rt△ABE≌Rt△CDE(L 7.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E, BD-CD F,BE=CF.求证：AD是△ABC的角平分线.7.略.提示：证明Rt△BDE≌ Rt△CDF(HL),得DE=DF B D (第7题) (第8题) 8.如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个 度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？ 8.如图所示，点P即为所求，提示：作三条公路围成三角形的任意两个角的平分线 它们的交点即为度假村的位置. 综合运用 9.如图，两车从路段AB的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时 AC∥BDK 第十四章全等三角形 59 .>AC=BD 间后分别到达C,D两地.C,D两地到路段AB的距离CE,DF相等吗？为什么？ 9.CE=DF.理由略.提示：光证明∠A=∠B,再证明△ACE≌△BDF 6】 B E (第9题) (第10题) (第11题) .->AC=CB -)∠ACD=∠B 10.如图，点C是AB的中点，CD∥BE,且CD=BE.求证AD∥CE 10.略.提示：证明△ACD≌△CBE(SAS). 11.如图，∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,AD= 2.5,DE=1.7.求BE的长. 11.0.8.提示：先证明∠ACD=∠CBE,再证明△ACD≌△CBE(AAS) 12.如图的三角形纸片ABC中，AB=8cm,BC=6cm,AC=5cm.沿过点B的直 线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD.求△AED的 周长.12.7Cm.提示：由折叠可知△DEB≌△DCB,从而得DE=DC,EB=CB. D C B'D' D (第12题) (第13题) (第14题) 13.如图，△ABC≌△A'BC',AD,A'D'分别是△ABC,△A'BC'的对应边上的 中线.AD与AD'有什么关系？证明你的结论 13.相等，证明略.提示：△ABD≌△ABD'(SSS). 拓广探索 14.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线.求证S△ABD:S△4CD=AB:AC. 14.略.提示：可以借助三角形的面积公式进行证明. 15.求证：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个 三角形全等. 15.略.提示：由“SSS”证明一对小三角形全等，得夹角相等，进而得证」 60 教材笔记数学八年级上册RJ